线性代数习题解 习题一 A组 1.计算下列二阶行列式 （1） （2） （3） （4） 2.计算下列三阶行列式 （1）=1+8+27-6-6-6=18 （2） （3） （4） 3. 当k取何值时=0. 解：， 得 所以 或 。 4.求下列排列的逆序数. 解：(1) . (2) . (3) . (4) . 5.下列各え素乘积是否是五阶行列式 中一项?如果是,该项应取什么符号? 解:由系数行列式 此齐次方程组只有唯一的非零解. 17. 若齐次线性方程组 有非零解.则取何值? 解:由系数行列式 其齐次线性方程组有非零解,则 或 . 习题二 A组 1.计算下列矩阵的乘积. (1) . 解： . （2） (3) . 解： . （4） 解：=+++ 2. 计算下列各矩阵: (1) . 解： . （2） 解: = (3) . 解： = , 其中 . (4) 解： = 其中 , . 5. 证明：对任意矩阵与都是对称方阵；而当为阶对称方阵时，则对任意阶方阵为对称方阵. 证明： （1）为阶方阵， 又 为阶對称方阵 同理为阶对称方阵 （2）为阶方阵 为阶对称方阵 又 为阶对称方阵 6.设均为阶方阵.证明:如果 则 解: 由已知 则 .且 即 , 则 . 得 . 8.（3） 解： 9. 解下列矩陣方程: (1) 解: 由 , 得 . (3) 解: 由 , 即 . 11. 设 , 求 解: 由已知 因 存在, 则 由 所以 . 12.设均为n阶方阵，为n阶单位阵证明： （1） 若 则可逆； （2） 若 则可逆，并求. 解: （1）由已知 , 即, 所以 可逆,且. （2）由已知 , 所以 可逆,且. 14.设, 求 及. 解: , 由, 所以 . 由, 所以 . 15. 用初等变换把下列矩阵化为标准形: (1) 解: 16.求下列各矩阵的秩： （2） 所以 17.设，且矩陣的秩为2求 解：因为，所以=0 又因为 所以 即 习题三 A组 2. 设，其中 , 求向量. 解:由已知 , 即, 所以 3. 设向量组线性无关,而向量组 试判断向量组的线性相關性. 解:设数 使得 成立即 ， 得线性方程组其系数行列式 线性方程组只有唯一解，则向量组的线性无关. 5.已知向量组 问取何值时向量组线性無关或向量组线性相关. 解:设数 使得成立 得线性方程组 ， 其系数行列式. 所以 线性方程组有非零解 向量组线性相关; 线性方程组只有零解 向量組线性无关. 6.设向量组线性无关,证明向量组也线性