four color conjecture
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Four Color Theorem
37 图的m着色问题(2) ? 近代数学三大难题之一：四色猜想(Four color theorem) ? 1852年，伦敦大学学院(University College London) De Morgan(1.03)的学生Francis Guthrie(9.10) 在给...
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Four Color Guess
软件介绍：四色猜想(Four Color Guess)从所给的上方颜色中猜出4个给定颜色，你有哪些策略？
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Four Color Problem
米的不落果: 四色定理 (Four Color Theorem)翻译此页原本, 这叫做四色猜想(Four Color Problem), 不过现在已被证实, 成为一个定理了. 今天刚好遇上要讨论一个四色灰阶的LCD是否足够表现一张完整的地图, 因此, 就开始稍稍 …
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four color conjecture
- 引用次数：4
参考来源 - 关于可平面图的边剖分的若干结果
&2,447,543篇论文数据，部分数据来源于
指出了分片线性代数曲线与四色猜想之间的内在联系。
The relation between Piecewise Algebraic Curve and Four Color Conjecture is presented.
“四色猜想”提出至今将近150 年，百年来它吸引了众多数学家们。
It has been nearly 150 years since Four color conjecture was advanced, which has attracted many mathematicians for a hundred of years.
以及四色定理猜想，染色及色数问题，图染色问题当前研究方向和研究方法。
Four color theorem and conjecture, coloring and it's number problem, graph coloring problem the direction of current research and research methods.
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- 来自原声例句
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感谢您的反馈，我们会尽快进行适当修改！第五本：美国数学家为什么会错误证明四色猜想五十题
美国数学家为什么会错误证明四色猜想五十题
美国数学家为什么会错误证明四色猜想五十题？
目次与前言
一、从学术体系上找原因:
1、&&不理解世界学术体系的建立？
2、&&不理解十字架上真理的陷阱是什么？
3、&&自然科学为什么找不到真理？
4、&&人文主义为什么找不到真理？
5、&&本体论哲学为什么不能指导学术研究？
6、&&西方认识论哲学为什么不能指导学术研究？
7、&&西方语言哲学为什么不能指导学术研究？
8、&&为什么西方美学体系建立后就解体了？
9、&&西方美学体系解体的特征是什么？
10、西方美学体系解体的原因是什么？
二、从自然科学上找原因:
11、为什么说西方学术界不理解数学证明是什么？
12、为什么说西方学术界不能建立物理学体系？
13、为什么说西方学术界不能阐明绿色化学？
14、科学哲学能指导科学研究吗？
15、正统科学哲学是如何对科学进行辩护的？
16、科学哲学是怎样从正统走向另类？
17、另类科学哲学如何对责备辩护主义的？
18、西方科学哲学发展的前途在哪里？
19、西方古典美学不承认自然科学美学？
20、西方现代美学同样不能进行自然科学美学研究？
三、从社会科学上找原因：
21、信仰研究的缺陷是什么？
22、宗教学研究的缺陷信是什么？
23、神学研究的缺陷是什么？
24、文化学研究的缺陷是什么？
25、艺术学研究的缺陷是什么？
26、经济学研究的缺陷是什么？
27、语言学研究的缺陷是什么？
28、政治学研究的缺陷是什么？
29、逻辑研究的缺陷是什么？
30、解释学研究的缺陷是什么？？
四、从哲学上找原因：
31、西方古典哲学的裂痕是什么？
32、一论西方当代哲学话语表达的混乱是什么？（对生命哲学的批判）
33、二论西方当代哲学话语表达的混乱是什么？（对现象学哲学的批判）
34、三论西方当代哲学话语表达的混乱是什么？（对哲学语言学学派的批判）
35、四论西方当代哲学话语表达的混乱是什么？（对存在主义哲学的批判）
36、五论西方当代哲学话语表达的混乱是什么？（对文化哲学的批判）
37、六论西方当代哲学话语表达的混乱是什么？（对伽达默尔哲学的批判）
38、七论西方当代哲学话语表达的混乱是什么？（对福柯哲学的批判）
39、八论西方当代哲学话语表达的混乱是什么？（对哈贝马斯哲学的批判）
40、九论西方当代哲学话语表达的混乱是什么？（对后现代主义哲学的批判）
五、从美学上找原因：
41、为什么说西方古典美学体系建立后解体了？
42、一论西方当代美学在解体中挣扎？（对自然主义美学的批判）
43、二论西方当代美学在解体中挣扎？（对表现主义美学的批判）
44、三论西方当代美学在解体中挣扎？（对形式主义美学的批判）
45、四论西方当代美学在解体中挣扎？（对精神分析美学的批判）
46、五论西方当代美学在解体中挣扎？（对分析美学的批判）
47、六论西方当代美学在解体中挣扎？（对想象学美学的批判）
48、七论西方当代美学在解体中挣扎？（对存在主义美学的批判）
49、八论西方当代美学在解体中挣扎？（符合学美学的批判）
50、九论西方当代美学在解体中挣扎？（对解释学美学的批判）
美国数学家为什么会错误证明四色猜想五十题？
1979年9月《美国数学会通报》第32期上报道，美国伊利诺斯州大学的数学家阿佩尔和哈肯等在计算机上证明了四色猜想。
什么叫四色猜想？就是指对于平面或球面的任何地图，要求一个国家或地区用一种颜色，相邻的国家或地区不用同一种颜色着色，一幅地图最多只要四种颜色就够了。
四色猜想是1840年，数学家莫别乌斯在一篇论文中提出来的，并把这个猜想归纳为拓朴学上的四色定理。1852年，英国人喀斯里（F.Guthrie）写信给德·摩根（A.deMor,gan，1806----1871）,从数学上提出了这个猜想，德·摩根又将这个猜想请教于数学家哈密顿（R，
Hamilton,1805----1865）。1878年，英国数学家凯利（A。Cayley,1821----1895）在伦敦数学
年会上又提出了这个问题，近百年来，不少数学家对此进行了研究，并推动了图论的发展。研究四色猜想证明的很多数学家认为，四色猜想不是不可以证明，而是由于在证明的过程中需要进行的逻辑推理的步骤太多，一个人用尽一生的精力也不能完成。
1976年9月《美国数学会通报》（第82卷第3期）报道，由两位年青的美国数学家阿皮尔（K.Appel）和哈肯（W.Haken）借助于高速计算机，用一千二百小时的计算长度证明了四色问题。在两位年青数学家的报告中我们看到，他们在计算机上证明四色猜想要用到200亿个逻辑判断。这样巨大的判断，用人工方法肯定是无法完成。一个人用尽一生的精力也无法完成这样的计算量。为了证明四色猜想，他们第一步先找出满足四种颜色着色的各种情形，这种情形在计算机上找到了1482个，然后，再证明任何一幅平面和球面的地图，都包含在这些情形之内。在证明四色猜想的过程中，他们要从一万张地图中选取出二千张地图，对每一张地图都使用了20万可能的方法着色，进行了上百亿次的逻辑判断，在三台不同的计算机上竟用了1200多个小时的机器时间。四色猜想的证明之所以在科学界引起震动，是因为数学三大难题之一的四色猜想是由计算机证明出来。美国数学家在计算机上证明四色猜想的消息发布之后在世界学术界影响巨大。
《辞海》一书说：“在地图上要把所有的地区按照海洋和陆地上的不同国属，用种种颜色加以区别，使相邻的两个地区有不同的颜色，只有四种颜色是否已能满足要求，这个问题是拓扑学中的四色问题。1976年9月《美国数学会通报》（第82卷第3期）报道四色问题已经解决。”
《漫谈现代数学》一书说：“最令人惊讶的是计算机进入了数学证明的领域。1976年四色定理（即一张地图上要使相邻国家涂有不同颜色，只要四种颜色就够了）的证明，是用电子计算机算了1000个小时后得出的。它预示人们，数学家靠一张纸、一支笔、一个脑袋进行工作的‘手工业时代’也许就要结束。这是何等激动人心的事！”
《自然科学概要》一书说：“过去125年未能证明的数学研究中的四色问题，今天利用快速计算机，只耗费了一千二百个机器小时就解决了。”
1986年3月24日《光明日报》刊登了本报记者李树喜发表了题为《社会科学家向数学难题挑战&敢峰另辟蹊径论证‘四色定理’》的报道：“这是一个看来很普通的问题，任何一个地图的不同区域只用四种颜色便可互助区别；但这又是世界著名数学难题之一，近百年来数学家们竭尽努力来证明它。然而，这个问题引起了社会科学家敢峰（本名方玄初）的浓厚兴趣。自一九七九年以来，他利用几乎全部业余时间埋头研究，另辟蹊径，几易其稿，终于写出了《四色定理的证明和方法论——四形填色的系统控制和调节工程》，现在，该书已交由中国展望出版社出版。”
《形式逻辑研究》一书说：“拿一个具体例子来说，人们早就知道，在平面或球面上画地图，只要四种不同的颜色，就可以把任何两个相邻的区域区别开来。这是不知多少有实
践证实了的。但是，这些实践并没有使四色猜测成为定理。只有当科学家利用电子计算机经过证明以后，才使猜测成为定理。”
《自然辨证法论文集》一书谈到机械化证明时说：“一直到1976年，最后才由美国的数学家阿佩尔、黑肯和考西，利用高速电子计算机花了1200多个小时证明了这一猜想，从
此，‘四色猜想’便转化为‘四色定理’。这是轰动数学界乃至整个科学界的重大事件。它在数学研究的方法上实现了革命性的变革，为‘数学猜想’以及整个数学理论证明，开辟了机械化证明的美好前景。目前，我国数学家吴文俊正在从事机械化证明的研究工作，并已取得了可喜的成果。”
《自然辨证法讲义》一书中说：“不久前，象‘四色问题’这样长期未能解决的著名难题，借助计算机进行了一百亿个逻辑判断，证明了上千个引理，从而完成了证明。这个计算机辅助定理证明的成功范例，更鼓舞人们朝着用计算机武装数学研究的方向前进。”
《人工智能的认识论问题》一书中说：“四色定理的证明及其正确性的检验，单靠人脑利用传统的手工业方式是无法解决的。所以国际上许多数学家们认为，阿佩尔等人的主要贡献不在于证明了四色定理，而在于利用电子计算机解决了人没有能够解决的问题，也就是说，阿佩尔等人的工作证明了思维机械化的可能性和优越性。”
《电脑天地》一书说过：“国际上的数学家们认为，他们主要的贡献不在于证明了四色定理，而在与运用电子计算机完成了这个人没有能够解决的问题。”
《数学发现的艺术》一书中说过：“1976年，美国的阿佩尔和哈肯宣布‘用电子计算机证明了四色猜想’，事实上，只是用了1200个计算机时检验了1936个可约构形。这个&‘证明’繁琐得难以想象，程序还在修改，别人无法重复和检验，因此，世界知名的中国图论专家张忠辅教授认为，这个计算机‘证明’不能为数学家普遍接受，而寻找四色猜想的（非机器的）证明仍然是数学的一项任务。”
《数学小辞典》一书中说：“近百年，不少数学家对此进行了研究，并推动了图论的发展，直到1976年，才有两位你、年轻的美国数学家阿皮尔和海肯借助与高速电子计算机，用一千二百小时的计算长度证明了四色问题。”
《离散数学》一书说：“直到1976年美国数学家阿佩尔和黑肯宣布：他们用电子计算机证明了四色猜想是成立的。所以从1976年以后就把四色猜想这个名词改成‘四色定理’了。”
《数学大观园》一书说：“至此，一场延续一百二十四年之久的四色猜想得到了证明，成为四色定理。这一成果轰动全世界，电子计算机为证明数学难题方面发挥了巨大的威力，立下了汗马功劳，确实值得大书特书的。”
《自然科学发展简史》中说过：“1976年美国科学家阿佩尔（E，Appel）哈肯（w.Haken）、科奇（J.Kanh）在计算机上解决了数学家们一百多年来悬而未决的著名定理——四色定理。这个问题解决后，不少人认为这不仅是证明了一道世界数学难题，更为重要地是它说明了计算机在逻辑思维方面可以做些什么工作。”
1979年第1期《世界科学译刊》中说：“大多数数学家都认为，阿佩尔与哈肯是已经把四色问题证明出来了。可是计算机计算错误的可能性仍然是存在的。不过这种错误的可能性，比我们想象的则要小些，因为他们在编制计算机算法系统时，已经把精确性的内部核对程序都编进去了。”
1991年9月29日《人民日报》第8版转载了同年8月21日《青年知识报》上刊登的李学开先生写的题为《地图的四色问题》一篇短文介绍了美国数学家在计算机上对四色猜想的证明。
一、如何认识四色猜想？
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李学开同志在短文中介绍说：“古代地图都是五颜六色的，使人看来眼花缭乱。能否减
少颜色，直至只有四种颜色就能将不同的区域区别开来呢？这就说著名的‘四色猜想’。”
李学开先生只是简单的介绍了什么是四色猜想。对于李学开先生的介绍，我们是怀疑的。李学开先生在短文中介绍的四色猜想与《电脑天地》、《漫谈现代数学》、《自然科学概
要》、《形式逻辑研究》、《自然辨证法论集》、《自然辨证法讲义》、《人工智能认识论问题》、职业高级中学第二册《语文》课本等书中的介绍是一致的。
但是，我们在《数学小辞典》中却看到了另外一种介绍：“如果要绘制一张地图，图中把每个国家（或地区）各涂上一种颜色，为使每相邻的两个国家（或地区）的颜色不同。问至少需要几种颜色？四种颜色是否已够？这就是著名的四色问题。”与《数学小辞典》介绍四色猜想相同的，还有《辞海》一书。李学开先生与《数学小辞典》在介绍四色猜想上的区别是：前者在介绍四色猜想时仅仅强调了在绘制政区图时为区别国家（或地区）要用不同颜色；后者在介绍四色猜想时，不仅强调了区别国家（或地区）要用不同颜色，而且强调了一个国家（或地区）要用一种颜色。这样，我们就可以将前者的介绍称为“区国法”，后者的介绍称为“标、区国法”。
介绍四色猜想为什么会出现这两种提法？我们可从四色猜想的提出过程谈起。《电脑天
地》一书介绍说：“早在1840年数学家莫别乌斯发表论文，提出把这个猜想归纳为拓扑学上的四色定理。”《数学小辞典》一书介绍说：“1852年，英国人格里思写信给德国摩根，从数学上提出了这个问题。”
&&&&这就告诉我们，《电脑天地》一书介绍的四色猜想是1840年数学家莫别乌斯提出来的。《数学小辞典》一书介绍的四色猜想是1852年英国人格里思提出来的。1840年提出的四色猜想猜想仅仅注意了一个条件，即区国法
猜想仅仅注意了一个条件，而1852年提出的四色猜想注意了两个条件，即标、去国法。从1840年到1852年不仅在时间上有了变化，经过了十几年的发展人们从完整内容上提出了四色猜想。
为什么四色猜想强调了两个条件才完整？
在绘制政区图时，仅仅强调了标明国家（或地区），不强调区别国家（或地区），当两个或两个以上国家（或地区）相邻时，就无法将它们区别开来，失去了绘制政区图的意义。
同样，在绘制政区图时，仅仅强调了区别国家（或地区），不强调标明国家（或地区），这样，当一个国家（或地区）被另外一个国家（或地区）分成两个部分时，不能保证一个国家（或地区）用一种颜色，也失去绘制政区图的意义。
二、如何认识数学证明？
李学开先生在短文中说：“这个问题最早是由德国数学家麦比乌斯提出来的，他认为用四色颜色就足够将许多不同的区域区别开来。一百多年来，世界上许许多多好奇的数学家，采用了各种计算方法，试图证明这个‘四色问题’。但因计算过于繁复，在几乎全靠笔算的19世纪，数学家们的努力未获成功。”
很明显，李学开先生的介绍是错误的。当然，一个数学猜想的证明有的简单，有的复杂，但是，我们不能仅从数学猜想本身找原因，而是要从数学证明方法上找原因。
众所周知，早在古希腊时期，当亚里士多德提出形式逻辑学说以后，几何学才逐渐发展起来了。数学家们认为几何学的研究首先需要提出一些不证自明的几何公理。以这些不证自明的公理为基础，通过逻辑推理一步一步地推导出所有有几何定理。在这个思想支配下，欧几里德几何学建立起来了。16、17世纪以后，科学家们从欧几里德建立几何学的过程中发现，这样研究科学具有严密性和清晰性。于是许多学科都采用了欧几里德建构几何
学的方法来研究自已所从事的学科。当然，数学家们更是信心百倍地把这个数学公理化体
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系搞得更加完备些。科学家们认为，从公理出发，也就是从本学科已有的知识出发推导出预见性结论来，可以使我们对客观存在的真理取得认识。在数学家们看来，探讨真理的过程也就是数学证明的过程。这个证明可以通过公理来证明出几何学中的所有定理。随着更
深入的研究，数学家提出了一个问题：在一个数学体系中，给出了公理以后是否对这个数学体系中的任何一个命题，我们都是可以得到证明？数学家们把这个问题称作数学证明体系完备性问题。数学证明体系是否具有完备性？数学家们在讨论这个问题时出现了四个流派，希尔伯特、哥德尔、罗素和布劳维尔等，都谈到了他们对数学证明是否具有完备性的问题的看法。
著名的数学家希尔伯特在哲学认识论的支配下，对数学证明完备性充满了信心。他提出：“对于数学家来说，没有不可知论，自然科学也根本没有不可知论。哲学家孔德有一次曾试图举出一个不可能解决的问题的例子，他指出，科学将永远不能解答天体的化学组成之谜。可是，几年之后，这个问题就被解决了。在我看来，孔德找不到一个不能解决的问题，其真正原因在于，根本没有不能解决的问题。与那种愚蠢的不可知论相反，我们的口
号是：我们必须知道，我们将会知道。”希尔伯特在提出现代公理方法的基础上又提出了希
尔伯特纲领：在任何一个数学体系中，只要给出了公理与推导规则后，我们可以证明出这个数学体系中任何一个命题是对的，还是错的。
虽然希尔伯特是从哲学认识论出发对数学证明进行了研究，但他实际上只是提出了科学哲学观点。科学哲学是17世纪初英国哲学家弗兰西斯-培根提出的。现代科学哲学又分为逻辑主义和历史主义两个派别。逻辑主义者认为，旧的理论不断被证伪而只能为新的理论所代替。历史主义者强调了科学研究只能从一个历史发展的过程中去分析。总之，由于希尔伯特的哲学不能上升到辩证唯物主义和历史唯物主义哲学上来，因此，他始终不能理解数学证明完备性问题。
正当人们相信希尔伯特纲领时，1930年奥地利数学家哥德尔发表了一篇题名为《论数学原理及其有关体系中的形式不可判定命题》的论文。哥德尔提出的这个证明具体思路是：任何一个数学体系都可以看成是一个定理与命题的集合，我们可用符号T来表示，即T﹛t1、t2。t3。……﹜，其中t1、t2。t3。……分别代表语句与命题，它们是这个集合的元
素。数学证明的过程就是从公理出发，用一种推导规则把这个集合中的元素一个个枚举出来的过程。哥德尔不完备性定理的中心思想是：当我们在一个递归可枚举集合中给出了某一个递归可枚举的子集合，它的补集合却不一定都是递归可枚举，因此，数学证明是不完备的。
哥德尔不完备性定理在生活中还能找到例子，一张木床是一个有组织的系统，当白蚁
把这张木床蛀了个洞，且在里面筑了个巢，对于白蚁来说，它们的巢和把木床蛀空了的部分是个有组织的系统，但对它的补集合，即那些没有被白蚁蛀的木头却是没有组织的系统。又如，一幅图画，画本身是有规律的，表现了一个可理解的形象。当我们把这幅画从纸上
剪下来后所剩余的部分则往往就不是一幅图画了。
但是，歌德尔不完备性定理的基本解释在科学与艺术中都可以找到反例。在自然数集合中的一个子集合是偶数集合，而它的补集合，即自然数集合中除去欧数集合而得到的剩余部分是奇数集合。偶数集合是一个递归可枚举集合，奇数集合也是一个递归可枚举集合。又如，著名画家埃舍而曾画过一些很奇特的图案，图案的奇特之处在于图案本身是一个图案，当把图案剪下来后所剩余部分仍然是一个图案。因为，哥德尔不完备性定理之处，假如，希尔伯特纲领是正确的，那么，就不会出现象埃舍尔的那些奇特的图案。由于埃舍尔的图案出现了，就说明了哥德尔不完备性定理是不完备的。
我们还应该看到，哥德尔不完备性定理指出，假如我们一定要设法证明那些不可判定
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的问题，只有增加新的公理，但新的公理引入后，整个系统没有矛盾，还会出现新的不可判定的问题。我们还可增加新的公理……。从上述哥德尔不完备性定理的这个观点来看，哥德尔在这里实际上提出了与自己定理相反的观点，即数学证明是完备的。因为，只要增
加新的公理，就可以证明不可判定的问题。这就说明在哥德尔定理中出现了观点不一致的问题，说明了哥德尔只是从数学形式上证明了数学不完备性问题，还未从证明本质上提出数学不完备性定理。
在数学证明中的争论中，以罗素为代表从形式逻辑学说出发提出了逻辑证明。但是，我们知道，形式逻辑仅仅是一个逻辑学说，在逻辑学的发展、逻辑学范畴、逻辑学推理方法等方面存在着缺陷，因此，应用形式逻辑的数学证明同样存在着缺陷。
再说，逻辑学发展至今虽然提出了许多逻辑学说，但还是未建立体系，说明学者对逻辑学这门学科的认识还不是十分深刻。20世纪60年代逻辑学家金岳霖先生在《新建设》杂志上发表了题为《关于修改形式逻辑和建立统一的逻辑学体系问题》一文。他认为：“建立
体系，不单独是形式逻辑体系，这个体系是既有辩证逻辑因素在内，又有形式逻辑因素在内的而又以前者为主的统一的逻辑学体系”。这就是说，金岳霖先生建立的逻辑学是将形式
逻辑与辩证逻辑的统一的逻辑学体系。
20世纪80年代中国人民大学哲学系的马玉珂先生在题为《略谈建立统一的逻辑学教学体系的问题》一文中说过：“我所主张的统一逻辑，是三统一，或者说是‘三合一’。即在保留形式逻辑一切合理、有用的内容和充分吸收、引进数理逻辑成果的基础上，以辩证逻辑为统率，建立一门统一的逻辑学，或者简称为逻辑。”很明显，马玉珂先生提出的逻辑学体系是在辩证逻辑基础上，建立形式逻辑和数学逻辑的三合一的逻辑学体系。
1985年10月贵州人民出版社出版了林邦谨提出了“制约逻辑”新学说。
为什么逻辑学体系这样难以建立体系？我们知道，逻辑学是研究思维规律的科学。20世纪80年代我们学术节对思维科学体系进行讨论时，出现两种意见。钱学森先生认为，思维科学体系可以划分为应用技术、技术科学和基础科学等三部分，“哲学不属于思维科学，认识论只是哲学和思维科学之间的桥梁”。曹利风先生也同意思维科学体系可以划分为应用技术、技术科学和基础科学等三部分。他特别强调了“现今的美学不是研究思维或表达思
维的科学，因而不能充当思维的技术科学”。
总之，由于建立思维科学体系时看法出现了分歧，因此，逻辑学也不能建立起体系。逻辑学由于没有建立体系，逻辑学说在解释数学证明时缺陷总是难免的。
我们知道，亚里士多德、洛克和康德等哲学家都是从哲学出发对数学进行了研究。但
是，直觉主义者在研究数学时主要探讨了数学的起源、性质和数学对象的存在性和消除数学发展的内在矛盾等问题来阐述他们提出的观点，在逻辑主义和形式主义的争论中，布威尔提出直觉主义观点。
布劳维尔在1907年的论文中对逻辑进行了评论。他指出，逻辑是从数学中派生出来的，
其本质就是数学上的直觉，而这种直觉有来自于时间。他认为，康德就是这样提出对时间的“自我感觉”，这只是一种“短暂感觉”，而正是这种“短暂感觉”就促进了数学的产生。由于布劳威尔是个直觉主义者，他未能从哲学上对数学进行研究，因此，其观点的缺陷是十分明显的。
在数学与客观现实的关系问题上，大致有三种看法，一些数学家提出，数学问题和数学思想等都是从客观现实和自然科学问题中提出的。另一些数学家认为，数学是独立于现实世界和认识主体的精神存在。而直觉主义者认为，数学是一种智力的自然功能，在表现上总是充满自由的、特别兴奋的精神存在，是人脑的直接产物。
直觉主义数学并不仅是布劳威尔提出来的，克罗内克也是个直觉主义者。他提出，整
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数是一切数学发展的基础，是由神灵创造的，其他数是由人类创造的。彭加勒指出，克罗内克的数学观点是对的。他是用约定说来解释数学原理。他在分析了三种不同的几何后认为，在人的经验事实中是证明不了几何学，几何学中的点、线、面在现实生活中没有纯粹
的形态，它们只是实物的抽象，并且得到了数学家们的约定，而“约定是我们精神的自由活动的产品”。他说过，在数学研究中，只有人的精神在起作用，或者似乎仅是自行起作用，并可按照自己的意志在起作用。
布劳威尔在《意识、哲学和数学》中谈到了直觉主义的本质：“认为不存在非经验的真理以及认为逻辑并非发现真理的绝对可信赖的工具的观点，在对数学的考察中已经被接受。……从这一观点出发得到严格处理的和以内省构造作为推导定理的独一无二的方法的那种数学被称作为直觉主义数学。”
布劳威尔提出了数学不是研究真理的科学。他的学生海丁也说过数学不是来源于客观
世界，而是出于主观思维的看法。他说过：“我的数学思想属于我个人的理智生活，并限于我个人的思想，……数学思想的特征在于它并不传达关于外部世界的真理，而只涉及心理的构造。”“人的心智中构想的实体是一切思想的出发点，特别是数学的出发点，”
综上所述，希尔伯特从哲学认识论、哥德尔从数学集合论、罗素从逻辑学和布劳威尔从真理等方面在表述数学是否具有完备性证明问题上，使语言陷入了牢笼，因此，他们都不能回答数学证明是否具有完备性问题。
总之，李学开先生仅仅强调了四色猜想难以证明，从四色猜想上找原因，而没有从数学证明理论上找原因，因此，他的介绍是错误的。
三、如何认识计算机证明？
李学开先生在短文中说：“直到1979年，美国伊利诺斯州大学的两位青年数学家阿佩尔好黑肯，大胆利用了一台大型电子计算机，对100亿个假设进行判断，机器足足计算了1200小时，才终于获得成功，使‘四色问题’变成了‘四色定理’。这是1976年世界数学领域的一项重大科研成果。”
李学开先生介绍了美国数学家阿皮尔等在计算机上证明了四色猜想。对于李学开先生的介绍，我们是怀疑的。
&&&&我们知道，计算机自从问世以来，可靠性证明方法一直未能解决。20世纪90年代初美国《时报》的科技记者们经过征询，提出今后10年10项关键技术，其中第10项就是计算机的程序可靠性证明技术：“软件编制技术——从艺术到科学。由于医学设备、飞机和武器的计算机化程度不断提高，如果找不到更为迅速可靠的软件编制方法，程序错误将越来越有可能造成毁灭性的严重后果。”
西方学者告诉我们，软件编制技术是一个艺术到科学的问题。黑格尔在《美学》中说过：“这些演讲是讨论美学的，它的对象就是广大的美的领域，说得更精确一点，它的范围就是艺术，或则毋宁说，就是美的艺术。”这就告诉我们，黑格尔把美学的研究和范围确定为艺术，软件编制技术就是一个美学科学的问题了。在谈到美学证明时，黑格尔说过：“以上这番话的用意在消除一种误解，以为我们对美学作这样的界定是任意的武断。目前我们还不能就这些关系加以证明，因为这就是美学本身所要做的事，所以只有待将来再去讨论和证明。”为什么黑格尔美学得不到证明呢？我们从西方美学发展谈起。
西方早在古希腊时期就对美学进行了研究，十七、十八世纪以后才逐渐形成了两个流派，一个是英国经验派美学，坚持了美在自然、感性、客观，另一个是大陆理性派美学，强调了美在艺术、理性、主观。德国古典美学家们有一个共同的心愿就是如何才能将英国经验派美学和大陆理性派美学统一起来。德国美学家们认为，无论是经验派美学坚持的美
在自然、感性、客观，还是大陆理性派强调的美在艺术、理性、主观等都是片面的，只有
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将自然与艺术、感性与理性、客观与主观等统一起来，才能建立美学体系。在建立美学体系的过程中，德国古典美学家提出了美学基础理论的问题。
康德提出美是主观的合目的性的形式，并从这个美的定义出发来调和自然与艺术、感
性与理性、客观与主观等之间的矛盾。康德之所以这样做，是由他的哲学基础决定的。康
德在哲学上是个不可知论者，在美学上同样是个不可知论者。早年的康德写了两本书，
本叫《纯粹理性批判》，另一本叫《实践理性批判》。前者主要讲了自然因果的现象界，后者着重论述了意志自由的本体界。由于这两本著作之间缺少联系，因此，在康德的哲学思想中，自然与艺术、感性与理性、客观与主观等是分裂的。晚年的康德写了本题为《判断力批判》的著作，想把前面两大批判联系起来，使这三部著作构成一个整体。在《判断力批判》著作中，康德提出历史发展的趋势是自然的人要走向社会的伦理道德的人，必然的人要成为自由的人。这就是著名的“自然向人的生成”问题，而美就积沉在自然向人生成的这条历史长河中。由于康德把美放在主观的合目的性上，因此，康德提出了审美判断的美学理论基础。
席勒很崇拜康德，正是在康德的影响下席勒对美学进行了研究。席勒开始从康德的主观唯心主义转向客观唯心主义，并且克服了康德的形而上学，有了较自觉的辩证思想。在美学上，席勒较具体的阐述了“人化自然”的美学理论。席勒在谈到自然美时认为，由于自然界是个没有生命的东西，象木材、金银、大理石等物质本身是无所谓美丑的。这些物质的美是人类按照人类先验的理性对它们进行改造的结果，使它们具有了理性的形式。在这些物质中，“反映出想它出来的那个巧妙智慧，塑造它的那是充满爱怃的手，挑选推举它的那个活灵自由的心灵。”使得客观自然物变成了人化的艺术品。他举例说，在大理石上雕塑成维纳斯与拉奥孔等艺术品就是这样。总之，在康德美学思想基础上，席勒较具体的提出了“人化自然”的美学理论。
唯心主义者黑格尔提出了较为系统的人化自然美学基础理论。他的美学理论是从解决异化劳动与美的创造之间的矛盾而阐述的。黑格尔指出：“人以两种方式获得自己的意识：
第一种是以认识的方式，他必须在内心里意识到他自己、意识到人心中有什么在活动，有什么在动荡和起作用，观照自己，形成对自己的观念，------。其次，人还通过实践的活动来达到为自己（认识自己），因为人有一种冲动，要在直接呈现于他面前的外在事物之中实现他自己，------。人这样做，目的是要以自己人的身份，去消除外在世界的那种顽固的疏远性，在事物的形状中他欣赏的只是他自己的外在现实。”（见《美学》一卷第39页）黑格尔美学思想中主要讲主观见诸客观，使外在事物改变的实践活动。这种实践活动是同过人的物质性生产活动而实现的。人类正是通过对客观事物改造中，把原来的自然改变为人化的自然。由于这种人造的第二自然中凝聚着人类的自由本质，因而使得人类从物质自然的束缚中获得解放，可以对自身本质进行自由观照，于是人化自然就成为审美的对象。黑格尔说过：“人把他的环境人化了，他显出那环境可以使他得到满足，对他不能保持任何独立的力量。”黑格尔很通俗地举例说，一个小孩向河里扔石子，石子扔到河里激起吧一串串涟漪，这个小孩会用惊喜的神色看着这些水圈，认为这正是自己的作品，正是自己的创造。这种创造正是人化自然的结果。黑格尔虽然较为系统地阐述人化自然美学基础理论，但是，由于他是在唯心主义哲学上提出了人化自然的美学基础理论，因此，他的这个人化自然美学理论是错误的。
美即艺术是黑格尔的基本美学观点。他之所以坚持这个观点，在于他认为艺术是艺术家心灵的产物，是理性观念的感性化，是感性形象的理念化，这样，理性和感性、主观和客观、艺术和自然等就统一在一起了。他认为，艺术的特征在于把客观的东西作为真实的
东西来了解和表现。所以艺术的真实不在于“摹仿自然”，而在于外在因素必然和内在因素
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的协调一致，内在因素和自身协调一致，因而可如实表现自己于外在事物。由于艺术符合美的本质，才能胜过自然美，是美实现的目的，是美的对象。这样，黑格尔在艺术即美的基础上用客观唯心主义哲学将认识和实践、理性和感性、主体和客体等统一起来了，建立
了美学体系。
黑格尔虽然建立了西方美学体系，但是，由于这个美学体系是建立在黑格尔客观唯心主义哲学基础上，因此，美学体系建立以后很快就解体了。西方美学体系的解体可以由黑格尔的美学思想中看出。黑格尔在阐述艺术即美学的论述中却为艺术唱起了挽歌。他提出，近代人的灵魂是一个分裂的灵魂，分裂的灵魂必然导致与客观世界的分裂，这样，也导致了浪漫型艺术的解体，整个艺术也就解体了。艺术的解体也就是美学的解体。他十分忧虑的说，我们不再对艺术（美学）屈膝膜拜了。事实也正如此。西方美学的解体表现在尽管美学研究中形成了许多流派，但始终不能解决美的本质、美学研究对象、美学基础理论等问题，始终不能回答什么是自然美、艺术美、生活美、科学美等问题，同样不能建立起语言美学、逻辑美学、数学美学等各科。
总之，计算机可靠性证明方法是一个美学科学的问题，但是，由于黑格尔建立了唯心主义美学体系，这个美学体系建立以后就解体了。所以，黑格尔美学思想是得不到证明。这样就使得人们找不到计算机程序可靠性证明方法，既然计算机程序可靠性证明我们找不到，我们才对李学开先生的介绍产生了怀疑。
&&&&四、美国数学家是否证明了四色猜想？
李学开先生在短文中说：“翻开中国地图册，可以看到湖北省被四川、陕西、河南、安徽、江西和湖南等六省包围，但只用了四种颜色，就把省界分开了。”
李学开先生同过举出中国地图册的例子来说明美国数学家在计算机上证明了四色猜想，在我们看来是可以的，但问题的关键在于李学开先生举出的例子有3个缺陷：第1是简单重复了数学家们的证明。我们知道，数学家们在分析了四色猜想后，以为四色猜想是
可以证明的，不过由于证明的步骤、程序非常复杂，一个人用尽一辈子的时间也无法完成。当计算机问世后，美国数学家在计算机进行了二百亿个逻辑判断，证明了四色猜想。他们先找出满足四种颜色着色的各种情况（阿佩尔在计算机上找到了1482个），然后再证明无论平面还是球面的地图都包含在这些情形中。在证明过程中，美国数学家从一万多张地图中找出二千多张地图，然后再对每一张地图进行了二十万中可能的方法着色。总之，美学数学家和李学开先生都是简单重复了美国数学家在计算机上对四色猜想的证明。第2是李学开先生举出的例子没有典型性。众所周知，一个定理的典型性是指这个定理本身内含的普遍意义。例如，著名的七桥问题被欧拉证明后，便将七桥问题归纳为一笔画问题。欧拉指出，一个图形是否能一笔画成并且返回起始点的这个充分必要条件是这图上的点全是偶数。四色猜想的典型性在于这个猜想揭示了物体表面着色规律。物体表面着色规律不仅仅是行政区，在其他物体上表面同样存在着色问题。由于李学开先生仅仅举出了地图的例子，因此，他举出的例子是没有典型性。第3是李学开先生举出的例子不具备完备性。在数学证明中举出肯定性例子是不完备的。例如，十九世纪末到二十世纪初，数学家们对哥德巴赫猜想作了许多具体的验证工作，举出6=3+3,&&8=3+5，10=3+7，------等等，直到33X10的6次方以内的偶数都是正确的，问题是较大的偶数还是无法确定。相反，在数学证明中举出否定性的例子却是完备的。例如，法国数学家费尔马1664年研究了形如f=2的2N次方+1的数，并发现当N=0,&&1,&2，3，4时，分别有f（0）=3，f（2）=17，f（3）=257，f（4）=65537，均为素数。于是，费尔马猜想对于任何自然数N形如f=2的2N次方+1的数都是素数。但是，欧拉于1732年举出了f（5）=2的2N次方+1的数是个偶数（即可被
641整除）的反例，从而否定了费尔马于1664年的猜想。李学开先生举出的例子是从肯定
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方面来证明四色猜想的，因而他举出的例子是有缺陷的。总之，李学开先生举出的例子是重复的，没有典型性，没有完备性，因此，李学开先生举出的例子是有缺陷的。
李学开先生举出的例子之所以有缺陷，问题在于四色猜想不能成立。我们下面可通过
三个例子来证明四色猜想不能成立：
例1，一个三棱台上、下三角形中间被一个圆柱体截开，园柱体中间有一个分界线。这样，这个被园柱体截开的三梭台，形成了相互联通的5个面，即三梭台周围三个三角形是3个面，上、下三角形面通过园柱体内壁分开形成了2个联通的面。四种颜色是区别不开相互联通的5个面的。
例二，一个星球上、下两头象南、北极一样各自形成了一个面，中间被划分为三个面，上、下三个部分（自上而下的划分），这样，形成了五个面：即上面、下面、中间自上而下
划分开的三个面，因为上面与下面被中间的三个面隔离开了，因此，四种颜色是可以把5个面区别开的。但是，当上面和下面的主人一齐占领了另外一个星球，这样，星球上、下
面就相通了，四种颜色是区分不开相互联通的5个面。
例三，一个拉手中间是三梭形，两头的颜色一样被分开了。四种颜色是可以区分开这5
个面。但是，当这个拉手的两头被固定在门或窗上，这个门或窗的颜色与拉手的颜色一样。
&四种颜色是区分不开相互联通的5个面。
以上，我们通过三个例子说明了四色猜想不能成立，这就说明了美国数学家在计算机上错误证明了四色猜想。
我指出美国数学家在计算机上错误证明了四色猜想，并写了一篇题为《应正确介绍四色猜想的证明》的论文，发表在2001年第29卷（增刊）《河南师范大学》学报上。十几年过去了，我没有看到人们对我的论文的介绍，也没看到人们对我的论文的批评。但是，近几年来介绍美国数学家在计算机上证明四色猜想的文章不见了。这说明我指出的美国数学家在计算机错误证明四色猜想的看法是正确的。但是，我的这一研究成果并没有得到世界
学术界的承认。例如，在互联网上许多研究者在介绍四色猜想证明时，都一致认为美国数学家在计算机上证明了四色猜想，四色猜想已成为四色定理。总之，世界学术界关于纠正四色猜想证明而保持着一种沉默的态度。
我想这种沉默的主要原因有两个，一个是我证明的四色猜想不是发表在世界著名的数学杂志上。2010年，中南大学一名叫刘璐的大三学生证明了困惑数学界20多年的“西塔潘猜想”。他证明的“西塔潘猜想”发表在数理逻辑国际权威杂志《符号逻辑杂志》上，为此，刘璐同学被中南大学破格提拔为教授级研究员。而我的论文发表在国内普通的一所师范大学，当然就无法和国际权威杂志相比了。当然，这里面包含着“崇洋迷外”和&“迷信学术权威”的因素。另一个原因和哥德巴赫猜想证明具有相似性。著名数学家陈景润院士去世后，中国科学院数学研究所收到比以前多得多的来稿和来信，即业余数学研究者都认为自己解决了哥德巴赫猜想证明。数学研究所的专家们在题为《数学爱好者不要误人歧途》中说：“由于哥德巴赫猜想的表述非常简洁，稍加解释任何人都能明白它的意思，这使许多业余数学爱好者抱着侥幸的心理，误认为靠一些初等的方法或从哲学的认识论角度就可以证明它。他们长年累月地冥想苦索，浪费了大量的时间好精力。他们并不明白哥德巴赫猜想难在何处，也不懂得什么才是严格的数学证明。”当然，数学专家们的劝告我们应该领会，但是，这个“劝告”的理由应该建立在“真理”的基础上。为什么这样说呢？因为，专家们所说的“严格的数学证明”是不符合“真理”的。我们知道，钱学森先生在给山西大学自然辩证法教研室一位朋友的信中说过：“我向苏步青先生请教数学思想的发展。他说这个问题称元数学（metamathematics）,有三派，一派是B。罗素（russell）的逻辑派，似只有逻辑家感兴趣；一派是L。E。J。布劳威尔（Brouwer）的直感派，要求直接正面的显示，也
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遇到困难；一派是D。希尔伯特（Hilbert）的悖论反证派，它曾风行一时，但自30年代出了K。哥德尔（Godel）的不完全定理，这派也垮了。他说，所以元数学的状况是不能令人满意的；我国数学界也没有人敢碰！”这就是说，既然数学证明是个世界级的难题，对“严格的数学证明”的看法当然也存在分歧意见。换句话说，数学专家们的“劝告”十分无力。数学专家们的看法和世界数学家们的观点是一致的。他们都不理解什么叫解数学证明。世界数学家们在证明四色猜想时，根本不知道四色猜想是否成立，就一心从四色猜想成立来证明。他们通过一个人一生精力都无法完成的逻辑推理来证明四色猜想，当个人想法无法实现时，他们才把这个任务交给计算机。但是，他们没有想到四色猜想根本不能成立，他们努力方向出现了偏差，结果错误证明了四色猜想。总之，美国数学家错误证明四色猜想的原因要从数学证明中去寻找。
早在19世纪末，恩格斯曾明确提出计算机证明数学存在着危机。他在《&.反杜林论&
准备材料》中说过：“从事计算的悟性——计算机！——数学演算同纯逻辑演算的滑稽的混合。数学演算适合于物质的证明，适合于检验，因为它们是建立在物质直观（尽管是抽象的）基础上的；而纯逻辑演算只适合于推理证明，因此没有数学演算所具有的实证的可靠
性——而且其中许多还是错误的！”
马克思主义者不仅预言了用计算机证明数学问题会出现错误，而且还指出了用计算机证明数学问题出现错误是不易进行检验的。总之，马克思主义提出数学证明难题的原因在于西方学术研究产生了危机。
恩格斯在《反杜林论》中提出：“确实是这样。我们可以按照自古已知的方法把整个认
识领域分成三大部分。第一个部分包括研究非生物界以及或多或少能用数学方法处理的一切科学，即数学、天文学、力学、物理学、化学。------最后的、终极的真理就这样随着时间的推移变得非常罕见了。”“第二类科学是包括研究生物机体的那些科学。------因此，谁想在这里确立确实是真正的不变的真理，那么他就必须满足于一些陈词滥调，如所有的人必定要死，所有的雌性哺乳动物都有乳腺等等；他甚至可能说高等动物是靠胃和肠而不是靠头脑来进行消化的，因为集中于头脑的神经活动对于消化是必不可少的。”“但是，在第三类科学中，即在按历史顺序和现在的结果来研究人的生活条件、社会关系、法律形式和国家形式以及它们的哲学、宗教、艺术等等这些观念的上层建筑的历史科学中，永恒真理的情况还更糟。”
19世纪马克思主义者提出的西方学术危机，数学、物理学等是自然科学，“按历史顺序
和现在的结果来研究人的生活条件、社会关系、法律形式和国家形式以及它们的哲学、宗
教、艺术等等”可以说是属于社会科学。黑格尔在《美学》中说过，美学是研究艺术的美的科学。由此可以看到，马克思主义者所说的世界学术的危机包括了自然科学、社会科学、哲学、美学等全部科学。
为什么自然科学、社会科学、哲学和美学等会产生危机？恩格斯在《反杜林论三版序言》中说过一段话：“另一方面，‘创造体系的’杜林先生，在当时德国并不是个别的现象。近来在德国，天体演化学、自然哲学、政治学、经济学等等体系，雨后春笋般地生长起来。最蹩脚的哲学博士，甚至大学生，不动则已，一动至少就要创造一个完整的‘体系’。”恩格斯在这里告诉我们，自然科学、社会科学、哲学和美学等之所以产生危机，其根本原因就在于学术体系存在危机。我们知道，自然科学是研究自然界存在规律的科学，社会科学是研究人类社会存在规律的科学。由于客观规律的存在与发展是以真理呈现的，所以，无论自然科学，还是社会科学等都是研究真理的科学。我们可简称为真。马克思主义者把科学的实践概念引入哲学的认识论。列宁说过：“‘善’是‘对外部现实性的要求’，这就是说，‘善’被理解为人的实践”。因此，哲学是实践的科学，我们可简称为善。美学，我们可简
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称为美。这就是说，世界学术体系研究中出现的危机也就是真、善、美的危机，即真理危机？哲学危机？美学危机？真理是哲学的一个范畴，也就是说，真理只有在哲学指导下才能提出。正确的哲学会在现实中得到证实的，被证实以后的哲学会发展到美学。综上所述，自然科学、社会科学、哲学、美学等产生危机，就在于学术体系存在危机，学术体系危机就在于真理危机、哲学危机和美学危机。所以，美国数学家错误证明四色猜想的原因要从世界学术体系中去寻找。
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