& 圆的综合题知识点 & “阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生，他...”习题详情
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阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、OC．因为PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2．又因为∠B=∠1，所以∠B=∠2．在△PAC与△PCB中，又因为：∠P=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以PAPC=PCPB，即PC2=PAoPB．问题拓展：（Ⅰ）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2）等式PC2=PAoPB，还成立吗？请证明你的结论；综合应用：（Ⅱ）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P；（1）当AB=PA，且PC=12时，求PA的值；（2）D是BC的中点，PD交AC于点E．求证：PC2PA2=CEAE．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2014-日照
分析与解答
习题“阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、OC．因...”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）证法一：如图2-1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，易证得△PBD∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得PAoPB=PDoPE，由图1知，PC&2=PDoPE，即可证得结论；证法二：如图2-2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，由PC是⊙O的切线，易证得△PBC∽△PCA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；（Ⅱ）（1）由（1）得，PC&2=PAoPB，PC=12，AB=PA，即可求得PC&2=PAoPB=PA（PA+AB）=2PA2，继而求得答案；（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，由平行线分线段成比例定理即可求得PBPA=BDAF，CDAF=CEAE，又由PC&2=PAoPB，即可证得结论；证法二：过点A作AG∥BC，交BC于点G，由平行线分线段成比例定理即可求得PBPA=BDGD，CDDG=CEAE，又由PC&2=PAoPB，即可证得结论．
解：（Ⅰ）当PB不经过⊙O的圆心O时，等式PC&2=PAoPB仍然成立．证法一：如图2-1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE，∴△PBD∽△PEA，∴PDPA=PBPE，即PAoPB=PDoPE，由图1知，PC2=PDoPE，∴PC2=PAoPB．证法二：如图2-2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥CD，∴∠CAD=∠PCD=90°，即∠1+∠2=90°，∠D+∠1=90°，∴∠D=∠2．∵∠D=∠B，∴∠B=∠2，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，所以PAPC=PCPB，即PC&2=PAoPB．（Ⅱ）由（1）得，PC2=PAoPB，PC=12，AB=PA，∴PC2=PAoPB=PA（PA+AB）=2PA2，∴2PA2=144，∴PA=±6√2（负值无意义，舍去）．∴PA=6√2．（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，∴PBPA=BDAF，CDAF=CEAE．∵D为BC的中点，∴BD=CD，∴BDAF=CDAF，∴PBPA=CEAE．∵PC&2=PAoPB，∴PC2PA2=PAoPBPA2=PBPA=CEAE，即PC2PA2=CEAE．证法二：过点A作AG∥BC，交BC于点G，∴PBPA=BDGD，CDDG=CEAE．∵D为BC的中点，∴BD=CD，∴BDGD=CDDG，∴PBPA=CEAE．∵PC&2=PAoPB，∴PC2PA2=PAoPBPA2=PBPA=CEAE，即PC2PA2=CEAE．
此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
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与“阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、OC．因...”相似的题目：
将一块形状如图的直角梯形木板从一个圆钢圈中穿过，那么这个圆钢圈的最小直径是&&&&12
已知⊙O1、⊙O2外切于点T，经过点T的任一直线分别与⊙O1、⊙O2交于点A、B，（1）若⊙O1、⊙O2是等圆（如图1），求证：AT=BT；（2）若⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r（如图2），试写出线段AT、BT与R、r之间始终存在的数量关系（不需要证明）．&&&&
如图，已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R（定值），分别在图一、二中作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为&&&&R2tanα
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该知识点好题
1（2012o温州模拟）如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：①∠BOD=90°；②DO∥AB；③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤BEDE=√2正确的有（　　）
2如图，AB为⊙O的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、B重合），点I为△ABP的内心，IN⊥BP于N，下列结论：①∠APM=45°；②AB=√2IM；③∠BIM=∠BAP；④IN+OBPM=√22．
3一张半径为2的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为（　　）
该知识点易错题
1如图，等腰直角△ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，连接AD、BD、CD（1）如图（1），点D在半圆BC上时，求证：BD+CD=√2AD；（2）如图（2），点D在劣弧AB上时，直接写出BD、CD、AD间的数量关系：&&&&；（3）在（2）的条件下，如图（3），CD与AB交于点E，连接AO交CD于F，若AE=3BE，AF=127√2，求⊙O的直径．
2如图，⊙O在直角坐标系中是一个以原点为圆心，半径为4的圆，AB是过圆心O的直径，点P从点B出发沿圆O做匀速运动，过点P作PC垂直于半径AB，PC的长度随着点P的运动而变化．（各组数据已标出）（1）当P点的位置如图①时，求∠OPC和∠POC的度数．（2）当P点的位置如图①时，求PC的值．（3）探究：PC的长度随着∠POC的变化而变化，设PC的值为y，∠POC为x，请求出y关于x的函数，并画出函数图象．（直接写出答案，函数图象画在图②中）（4）求出第（3）题中的x的取值范围．（直接写出答案）（5）求出该函数图象的对称轴．（直接写出答案，答案请用含有π的式子表示）
3（2014o西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与&x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作lPBM．（1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0，2），①直线l1：y=2，直线l2：y=x+2，直线l3：y=√3x+2，直线l4：y=-2x+2都经过点P，在直线l1，l2，l3，l4中，是⊙O的“x关联直线”的是&&&&；②若直线lPBM是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标xM的最大值是&&&&；（2）点A（2，0），⊙A的半径为1，①若P（-1，2），⊙A的“x关联直线”lPBM：y=kx+k+2，点M的横坐标为xM，当xM最大时，求k的值；②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标yp＞2，⊙A的两条“x关联直线”lPCM，lPDN是⊙A的两条切线，切点分别为C，D，作直线CD与x轴交于点E，当点P的位置发生变化时，AE的长度是否发生改变？并说明理由．
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2013中考圆专题复习经典全套 (1)
人教版九年级数学上册圆的基本性质点与圆的位置关系1. 决定圆的大小的是圆的_____;决定圆位置的是_____.O2. 在Rt△ABC中∠C=90,AC=4,OC=3,E、F分别为AO、AC的中点,以O为圆心、OC为半径作圆,点E在⊙O的圆_____,点F在⊙O的圆_____.3. 如图;AB、CD是⊙O的两条直径,AE∥CD,BE与CD相交于P点,则OP∶AE=____.
4. 经过A、B两点的圆的圆心在________,这样的圆有______个.5. 如图;AB是直径,AO=2.5,AC=1.CD⊥AB,则CD=_______.6. 一已知点到圆周上的点的最大距离为m ,最小距离为n .则此圆的半径_____.7. 有个长、宽分别为4和3的矩形ABCD,现以点A为圆心,若B、C、D至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则⊙A半径r 的范围是_________.8. ⊙O的半径为15厘米,点O到直线l的距离OH=9厘米,P,Q,R为l上的三个点,PH=9厘米,QH=12厘米,RH=15厘米,则P,Q,R与⊙O的位置关系分别为
.9. 若点A(a,-27)在以点B(-35,-27)为圆心,37为半径的圆上,a=
.10. 在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,以点A为圆心作圆,若B,C,D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则⊙A的半径R的取值范围是11. 在直角坐标系中,⊙O的半径为5厘米,圆心O的坐标为(-1,-4),点P(3,-1)与圆O的位置关系是
.12. 如图⊙O是是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,D是弧AC的中点，已O知∠EAD=114，求∠CAD在度数。
13. 已知⊙O的直径为16厘米，点E是⊙O内任意一点，（1）作出过点E的最短的弦；（2）若OE=4厘米，则最短弦在长度是多少？0 14. 如图7-4，已知在△ABC中，∠CAB=90，AB=3厘米，AC=4厘米，以点A为圆心、AC长为半径画弧交CB的延长线于点D.求CD的长。15. 试问:任意四边形的四个内角的平分线相交的四个点在同一个圆上吗？又问：任意四边形各外角在平分线所相交在四边形在同一圆上吗？为什么？
16. 如图7-6，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，（1）已知CD=8厘米，AP:PB=1:4,求⊙O的半径；（2）2如果弦AE交CD于点F。求证：AC=AF?AE.17. 已知四边形ABCD是菱形，设点E、F、G、H是各边的中点，试判断点E、F、G、H是否在同一个圆上，为什么？又自AC、BD的交点O向菱形各边作垂线，垂足分别为M、N、P、Q点，问:这四点在同一个圆上吗?为什么？18. ⊙O中有n条等弦A1B1、A2B2、???AnBn ,它们的中点分别是P1、P2、???Pn,试问：P1、P2、???Pn这n个点在同一个圆上吗？请证明你的判断。又若⊙O上有一点A，自点A引n条弦A1B1、A2B2、???AnBn,,若它们的中点分别为Q1、Q2、???Qn，试问：Q1、Q2、???Qn，这n 个点在同一圆上吗？请证明你的判断。垂径定理19. ⊙o中等于120劣弧所对的弦是12厘米,则⊙O的半径是
厘米. 020.过⊙o上一点A,作弦AB、AC、分别等于该圆的半径R，连结BC，则点O到BC的距离=_______，BC=_______。21.如图7-7，在⊙O中，弦AB=2a，点C是弧AB的中点，CD⊥AB,CD=b,则⊙O的半径R=______.
22.如图7-8，ABCD是⊙O1的内接矩形，边AB平行y轴，且AB∶BC=3∶4，已知⊙O1 的半径为5，圆心O1的坐标是（10，10），矩形四个顶点A、B、C、D的坐标是A______;B______;C______;D_______.
23.在⊙O中，弦AB=40厘米，CD=48厘米，且AB∥CD,AB与CD距离是22厘米，则圆的半径为_______厘米24.四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥BC,对角线AC、BD相交于点E.求证：OE平分∠BEC.25.如图7-9，在⊙O中，已待AC=BD.求证：（1）OC=OD;
（2）AE?BF26. ⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD∥O1O2 ,分别交两圆于点C、D.求证:CD= 2O1O227.如图7-10，⊙O1、⊙O2是两个等圆，点P是O1O2的中点，过点P的直线交⊙O1、⊙O2于点A、B、C、D。求证：AB=CD.28.如图7-11，⊙O的半径为5，P是圆外一点，PO=8，∠OPA=30O,求AB、PB的长。
29.如图7-12，圆管内，原有积水平面宽CD=10厘米，水深GF=1厘米，后水面上升1厘米（即EG=1厘米），问：些时水面宽AB为多少?30.在⊙O的弦AB上取AC=BD，过点C、D分别作AB的垂线CE、DF交圆于点E、F，并使E、F在AB
的同旁。知 ??
求证：CE=DF.31.如图7-13，在⊙O的直径MN上任取一点P，过点P作弦AC、BD，使∠APN=∠BPN.求证：PA=PB.32.AB、CD是⊙O的两条相交于点P的弦，且AB=CD，又点E、F分别是AB、CD的中点，求证:△PEF是等腰三角形。33.如图7-14，AB是半圆O的直径，CD是弦，AE⊥CD,BF⊥CD,点E、F是垂足，若BF交半圆于点G，求证：（1）EC=FD;(2)AC?DG34.如图7-15，在△ABC中，AB=AC，以点A为圆心、小于AB长的线段为半径作圆交BC于D、E两点（但半径必须大于BC边上的高）。求证:BD=EC.
35.如图7-16，已知在⊙O中,AB?CD,BA、DC延长后相交于点E，求证：（1）OE平分∠BED;(2)EA=EC. 36.如图7-17，AB是⊙O的直径，割线l 交⊙O于点M和N，AC⊥l ,且交⊙O于点E，BD⊥l ,点C、D是垂足。（1）求证：OC=OD; (2)若AB=10厘米，AC=7厘米，BD=1厘米，求OC的长。 37.点P是⊙O外一点，PAB、PCD分别交⊙O于点A、B和点C、D,求证:(1)若AB=CD,则PA=PC；（2）若PA=PC，则AB=CD.38.如图7-18，AB为⊙O的弦，取AG=BH,∠DGB=∠FHA,求证：CD=EF.39.如图7-19，⊙O半径为10厘米，G是直径AB上一点，弦CD经过G点，CD=16厘米，过点A和点B分别向CD引垂线段AE和BF.问：AE-BF是多少？ 40.AB为⊙O的弦，C、D在AB上，且AC=CD=DB,OC与OD的延长线分别交⊙O于点E、F.求证：（1）∠AOC=∠BOF; (2) ∠COD&∠AOC; (3)AE?BF?EF???????
41.如图7-20，点B、C三等分半圆直径EF，点A在这个半圆上。求证：AB+AC≤EF. 3
42.如图7-21，已知⊙O内两条弦AB、DC的延长相交于点P,且∠P=90O.求证：S△OAD=S△OBC .圆心角、圆周角43.如图7-22，设⊙O的半径的为R,且AB=AC=R,则∠BAC=_______.44.如图7-23，AB为⊙O的弦，∠OAB=75O ,则此弦所对的优弧是圆周的______。
45.如图7-24，（1）∠?=_______；（2）∠?=_______。46.如图7-25，在△ABC中，∠C是直角，∠A=32O18’ ，以点C为圆心、BC为半径作圆，交AB于点D,交AC于点E,则BD的度数是______。
47.如图7-26，点O是△ABC的外心，已知∠ACB=100 ,则劣弧AB所对的∠AOB=______度。48.如图7-27，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E, ∠ACD=60 , ∠ADC=50,则∠AEC=______度。
O49.如图7-28，以等腰△ABC的边AB为直径的半圆，分别交AC、BC于点D、E,若AB=10, ∠OAE=30 ,则DE=______。50.在锐角△ABC中，∠A=50O ,若点O为外心，则∠BOC=_____;若点I为内心，则∠BIC=______；若点H为垂心，则∠BHC=________.O51.若△ABC内接于⊙O，∠A=n ,则∠BOC=_______.52.如图7-29，已知AB和CD是⊙O相交的两条直径，连AD、CB，那么?和?的关系是（
(B) ?&OOO??11?
?=2? 2253.如图7-30，在⊙O中，弦AC、BD交于点E，且AB?BC?CD???，若∠BEC=130O,则∠ACD的度数为（
(D)105O54.如图7-31，AB为半圆的直径，AD⊥AB,点C为半圆上一点，CD⊥AD,若CD=2,AD=3,求AB的长。
55.如图7-32，AO⊥BO,AO交⊙O于点D，AB交⊙O于点C, ∠A=27O ,试用多种方法求DC、BC的度数。
56.求证：如果AB和CD为⊙O内互相垂直的两条弦，那么∠AOC和∠BOD互补。57.如图7-33，设AB是⊙O的任意直径，取AO上一点C,若以点C为圆心，OC为半径的圆与⊙O相交于点D,DC的延长线与⊙O相交于点E,求证：BE?3AD.58.如图7-34，AB为⊙O的直径，OC⊥AB,过点C任引弦CD、CE分别交AB于点F、G。求证：△CED∽△CFG.59.如图7-35，设点P是⊙O的直径AB上的一点，在AB的同侧由点P到圆上作两条线段PQ、PR，若∠APQ=∠BPR.求证：△APQ∽△RPB. ??
60.如图7-36，在△ABC的外接圆中，若∠B、∠C所对弧的中点分别为点P、Q.求证：直线PQ与AB、AC相交成等腰△ADE;若△ADE为等边三角形，求证：弧BC的长等于该圆周长的三分之一。61.如图7-37，AB是⊙O的直径，CD⊥AB,AD、DB是方程x2-5x+4=0的两个根，求CD的长。62.已知A、B、C为圆上三点，AB∶BC∶CA=3∶2∶1,BC=5厘米，求弦AB、AC的长。63.已知AB是⊙O的直径，C为半圆上一点，连CA、CB,M为AB上的点，且MB=3,过点M作MN⊥AB,交BC于点N,MN=3,BC=7,求⊙O的半径。64.如图7-38，AB是⊙O的直径，D是AB的中点，CD交AB于点E，（！）求证：AD2=CD?DE; (2)若AC=6,BC=,求BE的长。65.如图7-39，△ABC的高AD、BE交于点M，延长AD，交△ABC外接圆于点G,求证：D为GM的中点。66.如图7-40，以AB为直径的半圆上任取两点M和C,过点M作MN⊥AB,交AC延长线于点E,交BC于点F.求证：MN是NF和NE的比例中项。
67.如图7-41，△ABC为圆内接三角形，AP为直径，H为垂心，求证：∠BHC= ∠BPC.68. △ABC内接于⊙O，AH⊥BC,垂足为H,AD平分∠BAC，D在圆上，求证：AD平分∠HAO.69.AB、AC、AD是同一圆O的三条弦，且AC平分∠BAD,自点C向AB、AD作垂线，垂足分别为E、F.求证：DF=BE.70.已知AB是⊙O的直径，OC是垂直于AB的半径，过AC上一点P作弦PE,分别交OC和BC于点D、E,若PO=PD,求证：∠AOP=???????1∠
71.C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE,使CD=CO.求证：BE?3AD.72.已知AB是⊙O的直径，P是OA上的一点，C是⊙O上一点，求证：PA&PC&PB.73.如图7-42，在⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条直径，过点C任作两条弦CF、CE,交AB于点H、G，求证：??CFCG?. EFGH74.如图7-43，在△ABC中，∠A=90O,AD⊥BC,BE平分∠ABC,由A、D、E三点确定的圆，交BE于点M,求证：BM=MD=FM.
75.如图7-44，已知⊙O与⊙O1相交于点A、B，点P是⊙O上的一点，引割线PAC、PBD，交⊙O1 于点C、D，连结CD。（1）作PE⊥CD,求证：PE必过⊙O的圆心O；（2）连结PO，求证：PO必垂直于CD.76.如图7-45，两圆相交于点A、B，过点A引割线ACD，交一圆于点C,另一圆于点D,又点G为CD的中点，直线GB义两圆于点E、F.求证：四边形EDFC是平行四边形。77.如图7-46，设AB是⊙O上的两定点，且不是直径的两端点，若过点A的任意弦AC与过A、B、O三点的圆相交于点P.求证：PB=PC.78.设为90的弧，点B、C将O三等分，连AD与半径OB、OC分别交于点E、F.求证：AE=DF=BC79.证明下列各题：(1)已知△ABC内接于⊙O，AD⊥BD于点D，AE是直径，求证：AB?AC=AD?AE;(2)已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交BC于点D,交⊙O于点E,求证：AB?AC=AD?AE;(3)已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点A的任一弦AE交BC于点D,求证：AB?AC=AD?AE80.设锐角△ABC的各顶点向对边作垂线AD、BE、CF，垂足分别为点D、E、F,并延长AD、BE、CF各△ABC的外接圆分别交于点P、Q、R.求证：△ABC的垂心是△PQR的内心。2281.在△ABC中，AB=AC,过A点直线与△ABC外接圆交于点E,与BC的延长线交于点D。求证：AD-AC=AD?ED82.如图7-47，已知⊙O的直径AB垂直弦CD,垂足为G,F为CD延长线上的一点，AF交⊙O于点E。求证：AC2=AE?AF
83.如图7-48，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB,D为为等腰直角三角形。84.如图7-49，等边△ABC的外接圆上任一点P，CP的延长和AB的延长线交于点D，求证：（1）∠D=∠
CBP; 上任一点，E为BD弦上一点，且AD=BE.求证：△CDE知
(2)AC2=CP?CD85. ⊙O的直径BE与弦AC互相垂直，垂足为点F,延长AB到点D,使BD=AB,已知BE=20厘米，AB=11厘米，求CD的长。86.如图7-50，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD,垂足为点E，∶ =3∶1，DF交AC于点G,且AF?AB=AG?AE,BE=2,ED=3,(1)求证：△AFG≌△DFB;(2)求：S四边形ABCD的值；（3）求sin∠ADC的值
87.点P为正方形ABCD的外接圆上的任意一点，连结PA、PB、PC.求证：PA?PC的值为常数。 PB88.如图7-51，六边形AGBHCK内接于⊙O，⊙I内切于△ABC，点D、E、F为⊙I与△ABC各边相切的切点，OO若∠EDF=65, ∠DEF=60,求∠G、∠H、∠K的度数。89.如图7-52，△ABC内接于⊙O，∠BAD=∠CAD,DE∥AB,DE交AC于点P。求证：（1）OD垂直平分BC; (2)AC=DE;(3)PO平分∠APD.90.AB是⊙O的直径，CD是此圆内长度一定的动弦，自点A、B分别向CD所在的直线作垂线AH、BK、H、K为垂足。（1）若点C、D在AB的同旁，问：AH + BK的值会变化吗？为什么？（2）若C、D在AB的两侧，问：AH?BK的值也会变化吗？并证明你的结论。91.已知以AB为直径的半圆上有C、D两点，∠DCB=120O, ∠ADC=105O,CD=1.试求四边形ABCD的面积。92.已知AB、CD为圆O的两条互相垂直的直径，P为半圆上的一点，求证：S四边形ADPC=12 AP2圆的内接四边形93.圆上四点，A、B、C、D分圆周为四段弧，:::=1:2:3:4,则圆内接四边形的最大内角为______。94.在锐角△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H，在该图中，四点共圆共有_______组。95.如图7-53，四边形ABCD是正方形，点P是AC上的任一点，过点P作EF∥BC,交AB、CD于点E、F,过点P作GH∥AB,交BC、AD于点G、H.在该图中，四点共圆共有_______组。96.如图7-54，在梯形ABCD中，AB∥DC,AD=DC=BC, ∠ADC=138O,E是梯形外一点，若点E在梯形ABCD的外接圆上，则∠AEB=________97.如图7-55，在梯形ABCD中，AD∥BC,过B、C两点作一圆，AB、CD的延长线交该圆于点E、F。求证：A、D、E、F四点共圆。98.在△ABC中，∠A=60O，BD、CE是∠ABC、∠ACB的平分线，它们相交于点I。求证：A、E、I、D四点共圆。99.在梯形ABCD中，DC∥AB,过DC作圆，交BC于点E,交AD于点F，求证：A、B、E、F四点共圆。 100.如图7-56，在△ABC中，AD=AE,BE与CD交于点P,DP=EP,求证：B、C、E、D四点共圆。101.从圆内接四边形ABCD的顶点C，作对角线BD的平行线，交AD的延长线于点E，求证：DE?AB=BC?
102.证明：钝角三角形三边中点与夹钝角一边上的高的垂足共圆。103.如图7-57，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC, ∠1=∠2=∠3,CE交AB于点G,连GF.求证：（1）G、F、C、B四点共圆；（2）GF∥BE.104.如图7-58，在△ABC中，∠C=90O,BD是∠CBA的平分线，BE为△ABD外接圆的直径，CDBD?. DABE
105.在△ABC中，AD⊥BC,点O在AD上，以点O为圆心、OA为半径的圆交AB、AC于点F、E.求证：F、B、C、E四点共圆。106.在四边形ABCD中，AC⊥BD,AC与BD相交于O,OM⊥AB,ON⊥BC,OP⊥DC,OQ⊥AD求证：M、N、P、Q四点共圆。107.如图7-59，在ABCD中，E是对角线BD上的一点，EC⊥BC,EF⊥AB,又FG交DC的延长线于点H.求证：E、G、H、D四点在同一个圆上。
108.如图7-60，已知△ABC，AB、AC的垂直平分线交AC、AB的延长线于点F、E。求证：E、F、C、B四点共圆。109.如图7-61，在⊙O中，AB∥CD,点P是AB的中点，CP的延长线交⊙O于点F，又点E为上任上点，连EF交AB于点G.求证：P、G、E、D四点共圆。110.如图7-62，在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC,BM=MC,过M、C任作一圆，与AC交于点E，BE与圆交于F点，求证：AF⊥BE.111.如图7－63，在ABCD的对角线上，任取一点P，过点P作AB、CD的公垂线EG，又作AD、BC的公垂线FM。求证：EF//GM.
112.如图7－64，P△ABC外接圆一任意一点，点P到△ABC三边的垂足分别为D、E、F三点成一直线。 113．如图7-65，在ABCD中，过D、B两点作一圆，交平行四边形四条边(或它们的延长线)于点E、F、G、H．求证：EF//GH.114．如图7-66，四边形ABC0是⊙O的内接四边形，DE⊥AC，AF⊥BD，点E、F是垂足．求证：EF//BC. 115．如图7-67，AB为半圆的直径，弦AC、BD相交于点H，HP⊥AB.求证：∠1＝∠2．116．在锐角△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H．求证：点H是△DEF的内心。
117．如图7－68，四边形ABCD是正方形，点E为BC上的任一点，AE⊥EF，EF交∠BCD的外角平分线于点F．求证：EA=EF.118．在△ABC中，∠BAC＝90O，又四边形BCDE是正方形，它的中心为点O，连结OA．求证：OA平分∠BAC． 119．四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，点M是月BC的中点．求证：OM＝1AD． 2120．圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P，求证：(1)PB?AC＝PC?BD；(2)点P到AD的距离与点P到BC的距离之比等于AD:BC.121.如图7-69，已知AB为半圆O的直径，C、D为半圆上的两点，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F,DG⊥OC于点G。求证：CE=GF.
122. ⊙O中弦AB//CD，M为CD中点，BM延长相交⊙O于点E.求证：A、E、M、O四点共圆。123.四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线相交于点E，BA、CD的延长线相交于点F, ∠E、∠F的平分线交AB、CD、BC、AD于点G、M、H、N,连结GH、HM、MN、NG.求证:四边形GHMN是菱形。124.如图7－70，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F。求证：（1）A、D、E、F四点共圆；（2）AB2=BE?BD-AE?AC.OO125.四边形ABCD内接于圆O,AB=4,CD=2,且∠A＝90, ∠B=60.求：（1）AD及BC的长；（2）四边形ABCD的面积。126.如图7-71，△ABC内接于圆O，AB=AC, ∠A=30O。圆O的半径为10厘米，又弦KN//BC,交AB、AC于点L、M，且KL=LM=MN.求弦KN的长。直线和圆的位置关系：127.在直角△ABO中，∠AOB=90O，OC⊥AB,垂足为点C,已知OA＝4，OB=2,那么以点O为圆心、4为半径的圆与AB这条直线的位置关系是______.128.在Rt△ABC中，∠C=90O,AC=5,AB=13.(1)以点A为圆心、4为半径的圆A与直线BC的位置关系是_____;(2)以点B为圆心、以AB的长为半径的圆B与直线AC的位置关系是_____;(3)以点C为圆心，当半径为______时，圆C与直线AB相切。129.⊙O的半径是6，⊙O的一条弦AB长为6，以3为半径的同心圆，与AB的位置关系是_______. 130.⊙O的直径是8，直线l 和⊙O相交，圆心O到直线l的距离是d，则d应满足________.131.⊙O的半径为r，⊙O的一条弦AB长也等于r，则以Or为半径的圆与AB的位置关系是______。 2132.如图7－72，在△ABC中，∠C=90O, ∠A=30O,点O为AB上的一点，BO=m, ⊙O的半径r为1，当m在什么范围内取值时，BC与⊙O相离？相切？相交？ 2133.已知∠BAC＝30O，点D是AC边上的一点，AD=5,则以点D为圆心，且与射线AB相交两点的圆半径R
取值范围怎样？134.在△ABC中，AB=4厘米，AC=3厘米，∠BAC＝60O，AD为∠BAC的平分线，试问：以点D为圆心、R为半径的圆，当R满足什么条件时，⊙D与AB相交？相切？相离？此时⊙D与边AC又有怎样的位置关系？O135.已知⊙O外一点P，若⊙O的半径为R，PO=2R，又过点P作一射线PA，且∠APO=30，则PA与⊙O的位置关系怎样？为什么？136.已知某圆的半径等于5厘米，圆心到三条直线的距离分别是3厘米、5厘米和7厘米，那么这三条直线与该圆的交点一共有多少个？为什么？圆的切线137.如图7－73，在⊙O中，AO为半径，AB为弦，BC为切线，且OA＝AB=BC,则弧BD的度数为_____；弧DE的度数为_______.
138.如图7－74，PA、PB切⊙O于点A、B,BD⊥AP,BD交弧AB于点C, ∠CAD=25O ,则∠P的度数为_______. 139.如图7－75，AB为⊙O的直径，∠PAB=45O, ∠ABC=75O,TC为⊙O的切线，则∠TCP=_____,弧AP∶弧PC=_______.140.如图7-76，直线MN切⊙O于点T，AB//MN,弧AT=2弧AB，则∠MTB=_______,∠ATB=________.O 141.如图7-77，在Rt△ABC中，∠C＝90,AC=3,BC=5,以点A为圆心、1为半径作⊙A，又BD切⊙A于点D，则切线BD的长是_______.142.如图7－78，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C,若PO=13厘米，⊙O的半径r=5厘米，则△PDE周长为______;若∠APB=50O,则∠DOE=_____.
143.如图7－79，直线AB切⊙O于点C，DE是⊙O的直径，EF⊥AB,垂足为F，DC的延长线与EG的延长线交O于点G，若∠G＝56,则∠E＝______.144. 在△ABC中，∠C＝90O，半圆直径MN在AB上，半圆分别与AC切于点D，与BC切于点E,已知AC＝12厘米，BC=16厘米，则半圆的直径MN＝_____145.如图7－80，在⊙O中，过弦AB的端点A和B分别作⊙O切线AP和BQ,在弧AB上取一点M,作MC//AP,交AB于点C,MD//BQ,交AB于点D,若AC=4厘米，BD=5厘米，则MC＝________.146.如图7－81，⊙O的直径等于8，OA⊥OB,OC是AB边上的高，OA=4,OB=25. 求证：AB与⊙O相切。 147.在△ABC中，AD是底边BC上的高，且等于BC的一半，求证：以中位线EF为直径作半圆，必与BC相同。
148.已知A是⊙O外的一点，OA交⊙O于点C，过⊙O上一点P作弦PE⊥OA,垂足为E，且∠EPC=∠CPA.求证：PA是⊙O的切线。149.已知AB是⊙O的弦，BF与⊙O相切于点B，OE⊥AB,E是垂足，延长OE交FB的延长线于M点，连结AM。求证：MA是⊙O的切线。150.圆O1的半径为4厘米，圆O2的半径为3厘米，这两个圆相交于A、B两点，且圆心距为5厘米。求证：过A点与圆O1相切的直线必经过O2点。151.如图7－82，在Rt△ABC中，∠ACB＝90O，AC＝BC，点D是三角形内一点，且∠ADC＝135O.求证:AB是△ADC外接圆的切线。
152.PA切半圆于点A，割线PBC过圆心O,AD⊥BC,垂足为点D.求证：OBOP? . CDCP3,BC=4,求OE2153. 在△ABC中，AB=28,BC=26,CA=30,半圆O切AC、BC于点D、E,点O在AB上。求半圆的半径r. 154.如图7－83，DA⊥AB,AB是半圆的直径，E是AD的中点，BD交半圆于点C。若CE=的长。155.AB是半圆O的直径，点C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，DE⊥AB,点E是垂足。已知BE=14AB,AE=AB,CD=2,求BC的长。 55156.如图7－84，过△ABC的两顶点B、C的圆与AB、AC分别交于点M、N,又EF切△ABC的外接圆于点A。求证：EF//MN.157.如图7－85，⊙O和⊙O1相交于点A、B两点，且∠ABC＝∠ABD，AB2=BC?BD.求证：AC是⊙O的切线。 158.如图7－86，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90O，AB＝BC,沿∠C的平分线CF对称，使点B落在AC边上的E点。求证：以EF为直径的圆必与AC相切于点E.O159.如图7－87，在Rt△AOB中，∠AOB=90,AO=BO,点D在AB上，且BD=BO,又点M是AB的中点，以点O为圆心，OM为半径作⊙O，交OA于点E.求证：AB和DE都是⊙O的切线。160.如图7－88，△ABC内接于⊙O，点P为弧BC的中点，AP交BC于点D,EF切⊙O于点A,BE//PA1交EF于点E,连结ED。求证：∠ABC=∠AED.161.如图7－89，在△ABC中∠A的内、外角平分线AE、AF分别交直线BC及延长于点E、F，又过点A作△ABC的外接圆O的切线，交BC于点D.求证：DF=DE.162.PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，OP交AB于点D,且AC＝4，PD=3.求BC的长。163.如图7－90，△AOB是直角三角形，∠AOB=90O,以点O为圆心作圆，切斜边AB于点C，又AD、BE是⊙O的切线，切⊙O于点D、E。求证：D、O、E三点在一条直线上。
164.如图7－91，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，过C点的切线与过A、B两点的切线分别交于E、F两点，AF、BE相交于P点。求证：CP//AE.165.如图7－92，AB是⊙O的直径，BP切⊙O于点B，⊙O的弦AC平行于OP。(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)如果切线PC和BA的延长线相交于点D，且DA等于⊙O的半径，求证：PBAC?. DPOP166.如图7－93，AB是⊙O的直径，AB=AC,DE⊥AC,连BE交⊙O于点F。求证：(1)DE为⊙O的切线；(2)AE?EC=BE?EF.167.如图7－94，AT切⊙O于点T，CB为⊙O直径，∠BCT=30O,CT=，求BC、AC、S△ABT .
168.如图7－95，已知在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E,连结CE，过点D2作⊙O的切线交AB于点M.求证：(1)DM//CE;
(2) DC=AC?BM.169.如图7－96⊙O的半径为5，OP?10,PM为⊙O的切线，切点为M。求(1)切点M的坐标；（2）MA的长。 170.O是正方形ABCD一边BC的中点，AP与以点O为圆心、OB为半径的半圆切于T点，求AT∶TP的值。O171.在△ABC中，∠C＝90，⊙O分别切AC、BC于点M、N,圆心O在AB上，且AO＝15厘米，BO=20厘米，求⊙O的面积。172.如图7－97，△ABC内接于⊙O，AB=AC,过点B作⊙O的切线交AC的延长于点D，又DE⊥AB于点E。求证：CD=2BE.
173.如图7－98，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上的一点，CD切⊙O于点D，∠BCD的平分线交BD于点E，又CA＝1，CD是⊙O半径的倍，求DE和EB的长。174.如图7－99，CD切⊙O于点D，CA是过圆心O的割线，过点B作⊙O的切线交CD于点E,DE=CA=CD.175.如图7-100，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是∠A的平分线，AD的延长线交⊙O于点M，过点M作PQ//BC,1EC.求证：2PMQM?分别交AB、AC的延长线于点P、Q.求证：(1)PQ是⊙O的切线；(2). PBQC176.如图7－101，⊙O在∠ACB内部，且切CA于点T，OH⊥CB，点H为垂足，又HP切⊙O于点P
。求证：知
CT2=CH2+HP2177.如图7－102，PB、PC切⊙O于点B、C，作直径BA并延长与PC的延长线相交于点D，若弧BC为120O，求证：(1)AC=AD; (2)PO等于⊙O的直径。178.AB为半圆O的直径，DA⊥AB,CB⊥AB,垂足为点A、B，DC切⊙O于点E,又点F是DC的中点，如果AD＝13厘米，BC=25厘米，求EF和ABR 长度。179.如图7－103，BD、CE分别是△ABC两边AC、AB上的高，O是△ABC的外心，求证：OA⊥DE.180.如图7－104，弦CD平行于直径AB，BE切⊙O于点B，交AD的延长线于点E，EF⊥AC,F为垂足。求证：FC=AC.
181.如图：7－105，直线AF切△ABC外接圆O于点A，交△ABC的高CE的延长线于点F，BD⊥AC.求证：AD∶DC=EF∶EC.182.如图7－106，由正方形ABCD的顶点A引一条直线，与BD、CD及BC的延长线分别交于点E、F、G。求证：CE和△CGF的外接圆O相切。183.如图7－107，直线DF平分△ABC中∠A的外角，交△ABC外接圆于点E，FB为△ABC外接圆的切线。求证：AD?EF=BF?DC.184.如图7－108，AB为⊙O的直径，AD是切线，FB和DB是割线。求证:BE?BF=CB?DB185.如图7－109，C是⊙O直径AB上一点，D在⊙O上，DC⊥AB,DF切⊙O于点D，CE⊥DF于点E，求证：AB?CE=AC?BC + DC2 .
186.在Rt△ABC中，∠A＝90O，以AB为直径作半圆交BC于点D,过点D作半圆的切线交AC于点E。求证：(1)AE=CE; (2) CD?CB=4DE2 .PA2AF187.PA为⊙O的切线，A是切点，PBC为割线，E是AB的中点，PE的延长线交AC于点F.求证： ?PC2FC188.如图7－110，直线L在⊙O外，过圆心作OA⊥L，A为垂足，过点A作割线交⊙O于点B、C，过B、C两点作⊙O的切线，交L于点E、F。求证：AE=AF.189.如图7－111，CD为半圆O的直径，P为半圆外一点，PA、PB切半圆O于点A、B，AC与BD相交于点E，PC交半圆于点F。求证：(1) △BPE∽△BOC; (2)PE2=PF?PC .
190.如图7－112，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点D作⊙O的切线交AB的延长线交于点C,过点C作AB的垂线交AD的延长线于点E，已知AB=5厘米，AD=4厘米。（1）求BD的长；（2）求证：△CDE
腰三角形；（3）求△CDE的面积。
191.如图7－113，在等腰梯形ABCD中，AB//CD(AB&CD),AD=BC,以AD为直径的⊙O交AB于点E，⊙O的切线EF交BC于点F，且cosA=3DC3?时，。(1)求证：△ADE∽△BEF; (2)当求证△BEF的面积与△ADE5AB7的面积的比值；(3)当DC与AB两底长满足什么关系时，DF与⊙O相切？192.已知OA、OB是⊙O的两条互相垂直的半径，过弧AB上的任一点M作⊙O的切线，分别交OA、OB的延长线于点S、T；又MP⊥OS,P为垂足，求证：△AOB的面积是△MOP的面积与△SOT面积的比例中项。 三角形的内切圆193.一个直角三角形的斜边为10厘米，内切圆半径为1厘米，则这个三角形的周长是_______。 194.如图7－114，⊙O是△ABC内切圆，⊙O1与BC相切且与AB、AC的延长线分别切于P、Q两点，若∠APQO＝70，则∠A＝_____; ∠BOC=_______; 若BC=7厘米，AC＝8厘米，AB＝5厘米，则AP=_____.
195.等腰梯形ABCD外切于⊙O，AD＝3厘米，BC＝7厘米，则⊙O的直径为____厘米。196.如图7－115，在⊙O的外切四边形ABCD中，若AB＝4，BC=5,CD=3,则S△BOC:S△COD: S△AOD:S△AOB=_______197.半径是r的圆外切正三角形的边长与它的内接正方形边长的比值是______.198.在△ABC中，AB=AC=39,BC=30,则内切的直径为______.199.已知圆的半径为R，那么这个圆的内接正三角形的内切圆半径为______.200.在圆的外切四边形ABCD中，AB=(m+n)?,CD=(m-n)2,则AD+BC用m、n可表示为______.201.已知直角三角形的斜边和一条直角边的比为25 ：7，它的内切圆的半径r=1.2厘米，则这个直角三角形各边长分别为______.202.已知半圆的圆心O在Rt△ABC的斜边BC上，且半圆分别与AB、AC切于D、E,AB=4，AC=5，则半圆半径R＝_______.203.如图7－116，在△ABC中，AB＝20厘米，BC＝22厘米，AC＝14厘米，⊙O为△ABC内切圆，切各边于点F、D、E，又直线MN切⊙O于点G，分别交AB和BC于点M、N，则△BMN的周长为_____厘米。 204.三角形内切圆与三边的切点分圆为10:9:5的三条弧，则这个三角形最小角的余切等于_______。 205．△ABC的内切圆切各边于点D、E、F,则△ABC必定是_________三角形。206.三角形的内心是以各边与内切圆的切点为顶点的三角形的______（填:外心、内心、重心、垂心） 207.三角形的垂心是这个三角形三条高的垂足所成三角形的_______(填：外心、内心、重心、垂心
208. △ABC的内切圆被三个切点分成三段弧，在每段弧上取一点，分别过这些点作内切圆的切线，截原三角形得三个小三角形，设这三个小三角形的周长分别为p1、p2、p3 ，则△ABC的周长为________.209.在△ABC中，∠A＝60O，内切圆I在BC边上的切点分BC为2和5两段，则AB和AC的长分别为________. 210.如果O是△ABC内一点，且△OAB、△OBC、△OCA的面积比为AB:BC:CA,那么O是△ABC的______（填：外心、内心、重心、垂心)211.在△ABC中，∠A＝60O，内切圆I在BC边上的切点为D,若BD=2,DC=5，则AB和AC的长分别为________ 212.直角三角形两条直角边为m和n，它的外接圆直径为P，内切圆直径为q，则m、n、p、q之间的关系为
.213如图7－117，在⊙O的外切直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝90，E、F、G、H分别为各边上的切点，若CD＝4厘米，AB＝8厘米，则内切圆直径是(
214.如图7－118，⊙O是边长为2的正方形ABCD的内切圆，EF切①O于P点，交AB、BC于点E、F，则△BEF的周长是
．215.等腰三角形的腰被内切圆的切点分为7：5(由顶点开始)两部分，求腰与底边之比．216.已知点P为⊙O外的一点，PA、PB切⊙O于点A、B，OP与AB交于点C，⊙O的半径为3厘米，∠APBO＝60，求OP、PA、AB、AC、OC和CP的长.又设PO交⊙O于点E，问：点E是△ABC的什么“心”?217.已知等腰梯形两底之和为10厘米，两底之差为6厘米，且有内切圆，用两种方法求内切圆的半径． 218.在Rt△ABC中，C=90，内切圆I切AB于点D．求证:S△ABC =AD?BD．219.四边形ABCD是⊙O的外切四边形，AD//BC，⊙O切AD、BC于点M、N．求证：AM?BN=DN?CN． 220.在△ABC中，AB=AC，点I是内心．求证：AB、AC都与△IBC的外接圆相切．221.如图7－119，点I是△ABC的内心，过点I且垂直于AI的直线交AB、AC于点D、E.求证：BID＝C． 222．等腰△ABC，腰长为10厘米，底边长为12厘米，求三角形内切圆的半径．223.如图7-120，已知一等腰直角三角形的外接圆和内切圆半径分别为R和r，求斜边AB和直角边AC的长． 224.⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=9O，三边分别为a、b、c，求(1)内切圆半r；(2)外接圆半径R(3)若三边分别为6、8、10，则r、R各等于多少?225.圆的半径为5厘米，它的外切四边形的面积为120cm2并且四边形的三边依次为1：2：3，求这四边形各边的长．226．⊙O是梯形ABCD的内切圆，⊙O的面积是3?厘米，梯形ABCD的中位线长是3.8厘米，且∠B＝60，求梯形ABCD的两腰AB、CD的长．227．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，⊙O内切于梯形ABCD，AD＝2?1,BC＝2+1，求(1)AB的长；(2)内切圆半径r．228．在△ABC中，∠C＝90，内切圆I与AB、BC、CA分别切于点D、E、F，若⊙I的半径为r，BE=n，试用r和n表示△ABC的面积得____．229．已知△ABC三边长为6、8、10，则它的内心、外心间的距离为___；若三边长为5、5、8，则内心、外心间的距离为_____;内心、重心间的距离为___，外心与重心间的距离为______．
230．△ABC的外心在AB上，且△ABC是直角三角形，△ABC的周长为30厘米，重心G离C点的距离为414厘米，求△ABC重心G到AB边的距离．2231．若斜边为13的直角三角形的两条直角边分别是一元二次方程x－(m－1)x+3(m+2)＝0的两根，求(1)m的值； (2)直角三角形内切圆的面积．232．如图7-121，△ABC的面积是10，∠A＝60，AB ∶ AC＝5∶2，求这个三角形内切圆半径r
(用O最简根式表示)．
O233．已知等腰三角形的顶角为120，它的内切圆的周长为12?，求这三角形的周长与面积．234．如图7-122，等腰三角形的腰长AB＝AC＝5，内切圆的两腰上两切点间的距离EF为2.4，求(1)BC的长；(2)S△ABC．235．△ABC的内切圆切AC于点E，且AE＝2厘米，EC=5厘米，已知∠B＝1(∠A+∠C)，求(1)AB与BC的2长；(2)内切圆面积.O236.如图7-123，⊙I为△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∠A＝62，求(1)∠BIC
(2)∠DIE；(3)若BG、CG分别为∠B、∠C的外角平分线，求∠BGC．237．如图7-124，△ABC的内切圆O，切各边于点D、E、F，MN切⊙O于点P，且MN∥BC，AB＝15，BC=14，AC=13，求(1)△AMN周长；(2)MN之长．238．⊙O是任意三角形ABC的内切圆，三边分别为a、b、c，且三角形面积为S，求(1)内切圆半径r；(2)外接圆半径R；(3)若a＝17，b＝21,c＝10，S＝84，问：r、R各等于多少？239．已知⊙O的半径是r，作⊙O的外切三角形ABC，使BC&AC&AB，⊙O分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，(1)用a、b、c表示AD的长；(2)求证：如果△ABC是直角三角形，那么r＝b?c?a；(3)如果△ABC是钝角三角形，那么b+c-a的值应在什么范围内变化?(只要求写出结论，2不要求说明理由，也不要求给出证明)O240．如图7-125，在△ABC中，∠C＝90，内切圆I切AB于点E，已知⊙I的半径为5，且IA=13，求BE的长．241．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1:2:3，点O是△ABC的内心，求S△BOC:S△AOC:S△AOB．242．已知圆外切直角梯形的周长为18厘米，其中不垂直于底边的腰长为5厘米，求圆的半径．243．如图7-126，△ABC的内切圆I分别切BC和AC于点D、E，ED的延长线交∠A的平分线于点F．求证：BF⊥AF．
244．如图7-127，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ABC的内切圆交AD于点E，过点E作MN∥BC分2别交AB、AC于点M、N．求证：(1)OM⊥OB；(2)DE=BC?MN．
245．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D．求证：CD等于△ABC、△BCD和△ACD的内切圆半径之和．
246．如图7-128，△ABC的三边AB、AC、BC与其内切圆分别切于D、E、F点，FG⊥DE，G是垂足．求证：DGBF? EGCF247．如图7-129，Rt△ABC的内切圆O与斜边AB切于点D，与BC、AC切于点E、G，DE与AC的延长线交于点F．(1)求证：BD=CF；(2)若AD＝10，BD=3，求⊙O的半径r及S△BDE:S△CEF的值．
248．如图7-130，已知Rt△ABC的三边AB、BC、CA的长为15、17、8，其内切圆O在各边上的切点为F、D、E，另外，在内切圆的弧EF的两边CA、AB之间再作一个与它们相切的⊙O1、，求⊙O及⊙O1的半径．249．如图7-13Rt△ABC中，∠C=90°，CA=5，BC=12，在三角形内作两个互相外切的等圆⊙O1与⊙O2，并且⊙O1切边AB、BC，⊙O2切边AB、CA，求这两个等圆的半径之长。250．在下列各图7-132中，设AC⊥CB，BC=a，CA＝b，AB=c，求⊙O的半径R。
251．在△ABC中，中线BE、CF相交于点G，并且△BGF与△CGE的内切圆相等．试证：△ABC是等腰三角形．252．如图7-133，在△ABC中，∠C＝90°，内切圆I分别切边AB、AC、BC于点D、F、E，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，AF＝m，BE＝n，内切圆半径为r．(1)求证：△ABC的面积为mn；(2)证明:m、n是关于x的方程2x-2cx+ab=0的两个根；(3)若AB边上的中线为1，△ABC的周长为2+6，求△ABC的内心I与外心间的距离；(4)证明：tanAB2rc?tan= 22ab253．如图7-134，在边长为a的等边△ABC中，半圆O的直径在BC上，又分别与AB、AC相切于点Q、R，点P是弧QR上(不包括Q、R点)任意一点，过点P的切线分别与AB、AC相交于点D、E．(1)求△ADE的周长；(2)求∠DOE的大小；(3)求证：△BOD∽△CEO；(4)当DE＝?1a时，求BD、EC的长．` 2254．如图7-135，在△ABC中，⊙I是它的内切圆，切AB、BC、CA于点F、D、E。△ABC的周长为2m．又GH∥BC，G、H分别在AB、AC上，且GH切⊙I于点 K．问：GH的最大值是多少?
255．如图7-136，在⊙O中，AC是弦，AD是切线，CB⊥AD，垂足为B，CB与圆相交
于点E，如果AE平分∠BAC，则∠ACB=____256．如图7-137，⊙O的两条直径AB与CD，BT是过B点的切点，且弧BD＝45°，则
∠BAD＝____；∠CBT=____257．如图7-138，MN切⊙O于点p，AB∥MN，PA交⊙O于点C，PB交⊙O于点D．求证：C、D、B、A四点共圆．
258．如图7-139，AB是⊙O的弦，C是弧AB的中点，BD是切线，CD∥AB．求证：DC=DB．259．如图7-140，PA、PC分别切⊙O于点A、C，D为弧AC上任一点，连结CD交AP于点E，∠P＝30°，则∠ADE＝____260．如图7-141，CD为⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠DBE=62°，则∠A＝_度． 261．如图7-142，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，CE切⊙O于点C，BE⊥AC，则∠E＝_____ 度. 262．如图7-143，AD是切线，点D是切点，BC是半圆O的直径，AB=BC＝2，则AD=___
DC:DB＝____ ；DB=____，DC＝____，S△ABD＝____．
263．如图7-144，∠ACB＝90°，MN切△ABC的外接圆于点C，AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别是点E、F，AC＝3，BC＝4，则四边形AEFB的面积等于____.
264．如图7-145，PA、PB切⊙O于点A、B，CE⊥AD，垂足为点E，交BD于点C，且CE过圆心O，则图中与∠D相等的角共有(
265．如图7-146，PA切⊙O于点A，C为弧AB上任一点，∠PAB=42°，则∠C的度数为(
)．(A)116°
266．如图7-147，割线PAB过⊙O的圆心，交⊙O于A、B两点，PC切⊙O于C点,且PC=BCCD⊥PB，垂足为D，求CD ：BC．
267．如图7-148，BC切⊙O于C点，DF∥BC，延长BD交⊙O于点A，AC交DF于点E．求证：BD:CE＝BC:CF.
2268．如图7-149，已知△ABC是⊙O内接三角形，BM、CN是圆的切线，AD∥CN，AE//BM,求证：AD=BE?CD
269．半圆O的直径AB＝2，C是半圆上的一点，且弧AC：弧CB＝1：2，过点B、C的切线交于点P，PA交⊙O于点E，求PE的长．270．AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝1AB，自点C作CD切⊙O于点 2D，连结AD．求证：△DAC是等腰三角形．271．已知在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=73°，∠B=92°，且弧DC=弧BC，过各顶点作⊙O的切线，围成的四边形为PQMN，求⊙O外切四边形PQMN各内角的度数．172．设⊙Ol与⊙O2。相交于A、B两点，⊙O1的弦CA切⊙O2于点A，且∠CAB=60°若⊙O2的半径为3，求AB的长．173．BC为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D．已知AD：AB=2：5，且AC＝10厘米，求(1)BC的长；(2)tanB的值．274．如图7-150，在△ABC中，∠CAB及它的外角的平分线与BC及其延长线分别交于点D、E，若外接圆过点A的切线AF与CE的交点为点F．求证：DF＝EF．275．如图7-151，圆内相交两弦AB、CD的交点为点P，作△APC外接圆的切线PT，求证；PT∥BD．276．如图7-152，AB、AC切⊙O于点B、C，BC与AO相交于点D，过点C作弦CE，又自点A向EC引垂线，垂足为点H．求证：△ADH∽△CBE．277．如图7-153，在⊙O中，弦AE和CF相交于点B，AD∥CB，DC∥AB，MN切⊙O于点D．求证：MN∥EF．
278．P为两同心圆的大圆上的一点，过点P作大圆的弦PA、PB，且都与小圆相切，又CD切大圆于点P．试用两种方法证明；CD∥AB．279．如图7-154，△ABC内接于⊙O，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，且DC=DE．求证：CE平分∠ACB．280．如图7-155，若AF是△ABC外接圆的切线，AD⊥BC，DE⊥AB，求证：AF∥EC．281．如图7-156，AB为⊙O的直径，DC切⊙O于点C，过点D作DE⊥AB，交AC于点F，E是垂足，试用两种方法证明：△DFC是等腰三角形。
282．如图7-157，△ABC内接于⊙O，DE∥BC，点D在AB上，点E在AC上，且DE的延长线交过点A的切2线于点P．求证：PA＝PD?PE．283．如图7-158，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O过点C，且切AB的中点于点D，交AC于点E，F为弧EC上任意一点．求证：∠CFD=2∠DFE．
284．△ABC内接于⊙O，BD⊥AC，CE⊥AB，又MN切⊙O于点A．求证：MN∥ ED．
285．如图7-159，PA是△ABC外接⊙O的切线，DE∥AC，PD＝PE，若AB＝7厘米，AD＝2厘米，求DE的长． 286．如图7-160，AB、AC分别切⊙O于点B、C，P是⊙O上一点，PD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC2于点F．求证：PD＝PE?PF．
287．如图7－161，设∠A(A为锐角)为等腰△ABC的顶角，过点C作三角形外接圆的切线，交AB的延长线于点D，又过点D作AC的垂线，E为垂足．求证：(1)BD＝2CE：(2)若顶角A为钝角时，试证之(如图7-162)．
288．如图7-163，在梯形ABCD中，已知CD＝a，AD＝b，AB＝c，AD⊥AB，以BC为直径作⊙O交AB于点E，2切AD于点F，连BF、CF，设∠ABF＝?，求证；关于x的方程ax-bx+c＝o有两个相等的实数根，且这两个等根都等于cot?.
289．⊙O直径AB垂直弦CD于点E，EF⊥AC，求证：AC?FC＝AE?BE．2290．已知AB为⊙O直径，EF切⊙O于C点，AE⊥EF，BF⊥EF，E、F为垂足．求证：EF＝4AE?BF．
291．如图7-164，在直角坐标系中，⊙M的圆心M在y轴上，⊙M与x轴交于点T、R,与y轴交于点A、B
过点T作⊙M的切线TP交y轴于点P，若⊙M的半径为5，点T的坐标为(-4，0)，求(1)点M的坐标；(2)tan∠PTA的值；(3)直线PT的解析式．
292．如图7-165，△ABC内接于⊙O，过点B、C分别作⊙O的切线L1、L2、，又作AD∥L2，交BC于点D，作BEAB2?AE∥L1，交BC于点E．求证： 2CDAC293．如图7-166，设正△ABC的内切圆与三边BC、AB、CA的切点分别为点D、E、F，若弧EF上任一点P到三边AB、BC、CA的距离分别为P、q、r．求证：p?r?q294．如图7-167，⊙Ol与⊙02相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点D，过点A作⊙O2的切线交⊙O1于点C，如果⊙Ol的半径为r，⊙O2的半径为R，求△ABC与△ABD的面积之比．与圆有关的比例线段295．如图7-168，⊙O中半径OC与弦AB相交于点P，AP＝3，BP=5，CP＝1，则⊙O的半径为___；如果另一条弦CD平分AB，C到AB中点的距离为2，则CD=____.
296．如图7-169，已知△ABC内接于⊙O，过A点作⊙O的切线AE，并作BD∥AE交AC于点D，且AC＝6，AD＝4，则AB＝____.297．如图7-170，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC切①O于点D，割线CFG过圆心，已知①O的直径EB=6厘米，AD＝4厘米，则AE＝____ ；CO＝_____298．如图7-171，在⊙O中，弦AB和直径CD相交于点P，M是DC延长线上的一点，MN是⊙O切线，N是切点，若AP＝8，PB=6，PD＝4，MC=6，则MN=____.299．如图7-172，在⊙O中，半径R＝6，OM⊥CD，CD=6，BM=9，则AM=_____; AB=___;
AC?____;O到AB的距离OH＝____? BD300．△ABC内接于⊙O，过A点作圆的切线，交BC的延长线于P点，∠APB的平分线与AB、AC分别相交于点E、F，则(
)等式成立．(A)AE?AF＝BE?CF
(B)AE?CF＝AF?BE(C)AE?BE＝AF?CF
(D)AE?AB＝AF?AC301．如图7-173，已知⊙01交⊙02于点C、F，EF切⊙02于点F，交⊙O1于点E，AD过点，交两圆于点A、D
AB＝3厘米，BC=4厘米，CD=5厘米，求EF的长．
302．在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PA=PB=4，又PC =1PD，求CD的长． 4303．已知PA与⊙O切于点A，线段PO交⊙O于点D，过点P作割线交⊙O于B、C两点，如果PD=OD＝4，BC=2，求PA与PC的长．304．如图7-174，在⊙O中，弦AB和直径CD相交于点P，M 是DC延长线上的一点，MN是⊙O的切线，N是切点，若AP＝8，PB=6，PD=4，MC＝8，求①O的半径r及CP、MN的长．305．如图7-175，AB为⊙O的弦，点P在AB上，且∠OPC＝90°．求证：PC是PA和PB的比例中项． 306．如图7-176，已知半径为r的⊙Ol与半径为R的半圆内切于点E，又⊙01切半圆的直径AB于点C，CD2⊥AB于点C，且交AB于点D．求证：CD＝2Rr．307．如图7-177，⊙O分别与△ABC的AB、AC边分别切于点M、N，交BC边于点E、F，且BE＝EF=FC．求证：∠B=∠C．
308．如图7-178，已知⊙O的两条直径AB与CD垂直，OE=OF，BE的延长线交DF于点G．求证：FO?FB=FG?FD 309．在Rt△ABC中∠C=90°，射线AD交BC于点D，以AC为直径的圆交AB、AD于点E、F．求证：AE?AB＝AF?AD310．如图7-179，△ABC的内切圆把BC边上的中线AD三等分，AN=MN=MD，且与AB、BC、CA分别相切于点G、E、F，若AG＝2，求DE，并求出BC：AC的值．311．如图7-180，设AB、CD是⊙O的两条平行弦，过点B作⊙O的切线与CD的延长线相交于点G，在CD上任取一点P，连结PA、PB，与弦CD相交于点E、F．求 证:EF?FG＝CF?FD．312．如图7-181，AB为半圆O的直径，D为AB上任意一点，以AD为直径在已知半圆外部作小半圆Ol，又CD⊥AB，交大半圆于点C，BE切小半圆于点E，F是CE的中点．求证：BF⊥CE．313．如图7-182，AD为⊙O直径，AB是⊙O的切线，过点B的割线BMN交AD的延长线于点C，且BM=MN=NC，若AB＝2厘米，求⊙O的半径．314．如图7-183，已知⊙O直径为4厘米，P是弧AB的中点，Q是弧CD的中点，弦PQ为23厘米，求∠1、∠2以及AB和CD延长线交角的度数．315．如图7-184，已知在⊙O中，AP为⊙O的切线，户为切点，ABC为割线，AB：BC=1：3，AP=6，∠A=45°，求⊙O的半径．316．如图7-185，A、B为圆上两点，经过B点作⊙O的切线BC，经过A点作弦AD，延长AD交切线BC于C点，∠DAB=∠OAB，已知BC＝4，CD＝2，求AB的长．
317．如图7-186，PAB为圆的割线，PC为圆的切线，C为切点，由A、B向切线PC及其延长线作垂线，E、F为垂足，且CD⊥BP．求证：CD是AE与BF的比例中项．318．EA切⊙O于点A，AD是直径，EF切⊙O于点F，交AD延长线于点C求证:CE?CD=CF?CO319．已知PAB是⊙O割线，PD是⊙O切线，D是切点，C是圆内一点，若PC＝PD，求证：CAPC? CBPB320．’如图7-187，已知CA、CB切⊙O于点A、B，割线CPQ交⊙O于点P、Q，CO交AB于点N，延长QN交⊙O于点E．求证：(1)C、E、O、Q四点共圆；(2)∠?＝∠?321．如图7-188，在△ABC中，AM是BC边上的中线，AD是∠BAC的平分线，△AMD的外接圆交AB于点L，交AC于点N．求证：BL＝CN．
322．如图7-189，AD是⊙O的弦，AD＝8厘米，半径OH⊥AD，交AD于点B，HB＝2厘米，AC是直径，求BC的长。324．如图7-191，C为线段AB的中点，BCDE是以BC为一边的正方形，以点B为圆心、BD为半径的圆与AB22及其延长线相交于点H及K．求证：(1)HC?CK=AC；(2)AH?AK=2AC．325．如图7-192，AB是⊙O直径，AC、BC是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足是D，F是AB2
的中点，连结CF交AB于点E，且AC、BC的长(AC&BC)是方程x-14x+48＝0的两根，求BD、DE的长。326．如图7-193，已知在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连结AE，交①O于点F．求证：BE?CE=AE?EF327．如图7-194，⊙O中弦AB垂直平分半径OM，P为优弧AB上一点，C为AP延长线上一点，且PC=PB，BC交⊙O于点D．求证: △OPD是等边三角形．328．如图7-195，已知⊙O1与⊙02相交于点A、B，AC、AD分别为⊙O1与⊙O2的直径，求证：AB上的任意一点P与C、D距离平方差等于两圆的直径平方差．
329．如图7-196，PA、PB切⊙O于点A、B，C为优弧AB上
任一点，CD⊥PA于点D，DC的延长线交PO的延长线于点E，CF⊥PB于点F，且交PE于点C．求证：EG?PA=CG?AB。330．由圆外一点引两条割线PBA、PCD，且PB=PC=2米，BC=2．4米，AD=6米，求四边形ABCD的面积和圆的半径．
331．如图7-197，AB是⊙O的直径，AB=10，DE切①O于C点，AD⊥DE，BE⊥DE,DE=8,AC和BD交于点F，AG和BD交于点H。求(1)AD的长；(2)DF的长。
332．PA切⊙O于点A，PCB是⊙O割线，PDE经过圆心O，∠BPA=30°，PA=23，PC=1，求(1)CB的长，(2)PD的长．333．如图7-198，AB与CD是⊙O中两条互相垂直的直径，P为弧AD上任意一点，PC、PB分别交AD于点M、N．求证：MAPAPC??
NDPBPD334．如图7-199，已知点G是△ABC的重心，过点A、G作圆切BG于点G，延长CG交此圆于点D．求证：2AG＝CG?DG．335．如图7-200，已知PA、PB切⊙O于点A、B，过AB与PO的交点M作弦CD． (1)求证:(2)若∠APB=60°，AB＝43，DM=4．8，求CP的长．336．如图7-201，⊙O1与⊙O2外切于点P，过⊙O1的直径EF的端点的弦EP、FP的延长线分别交⊙O2于B、A两点，⊙O1的切线FD交⊙02于点C、D，且与EB、AB相交于点H、G，F为切点．求证：(1)AB垂直PCOD?；CMOMAG2HP?平分CD，(2)
337．过⊙O外一点A，作圆的切线，切点为B，连OA，交⊙O于点C，若AC=n?OC，求证：△ABC的外接圆直径等于(n+1)?BC．圆和圆的位置关系338．已知两圆的圆心距是10厘米，其中一个圆半径为4厘米，如果两圆相切，那么另一个圆的半径是______ 339．如果两圆的直径为16厘米和6厘米，圆心距为4厘米，那么这两圆的位置关系是_____．340．两个等圆的半径为R，其中一个圆的圆心在另一个圆上，则它们的公共弦的长为_____.341．如图7-202，∠AOB=60°，⊙O1内切于⊙O，切点为C，且与OA、OB相切于D、E，⊙O1的半径为3厘米，则⊙O的半径为______．
342．如图7-203，互相外切的两圆⊙O1和⊙O2都与∠MPN的两边PM、PN相切，若∠MPN=60°，则小圆半径r1和大圆半径r2的比值为______．
343．如图7-204，⊙O1与⊙O2外切于T点，过点了的直线分别交两圆于点A、B，
AO1T＝80°，C是⊙O2上任一点，则∠TCB=_____．
344。⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切，⊙A的半径是2?2，⊙B的半径是2，⊙C的半径是22?6，∠BAC＝60°，则BC的长为______．345．在单位圆(即半径为1的圆)中，内接四边形的最短边的最大值是______．346．两个相交圆的半径分别是7?1和+1，圆心距为d，则d可取的整数的个数是_____． 347．半径为2厘米、1厘米的⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且AO1⊥A02，那么公共弦AB的长为_____厘米．22348．已知a、b为两圆的半径(且a≠b)，c是两圆的圆心距，若方程x-2ax+b＝c(b-a)有等根，则以a、b为半径的两圆的位置关系是_____．349．边长为a的正△ABC中有两两外切的三个等圆，每个等圆都和△ABC的两边相切，那么三角形中等圆的半径等于____．350．如图7-205，⊙O和⊙O1相交于A、B两点，一直线CEDF依次交⊙O于点C、D，交⊙O1于点E、F，则∠EAD+∠CBF＝_____度．351．有若干个等圆相外切，正好在围成的空隙中可作一个同样大小的圆，与这若干个等圆相外切，则这若干个等圆的个数是(
(D)8个352．⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，若AB＝48，两圆的半径分别为30与40，则S△AO1O2的值为(
(C)300或168
(D)600或168
353．如图7-206，三个半径为1的圆两两外切，且△ABC的每一边都与其中两个圆相切，那么△ABC的周长是(
222354．若两圆的半径分别是R和r(R&r)，其圆心距为d，且R+d-r＝2Rd，则两圆的位置关系是(
)．(A)内切
(B)内切或外切
(D)相交355．①O的圆心在坐标系的原点，半径为3，⊙P的圆心坐标为(-，1)，半径为2，那么两圆的位置关系是(
)．(A)外切
356．如图7-207，AB是⊙O的弦，过A、O两点任作一圆交AB于点C，再交⊙O于点D．求证：BC=CD．357．如图7-208，两个同心圆与第三个圆相交于A、B、C、D四点，顺次连结这四点．求证：四边形ABCD是一个等腰梯形．
358．如图7-209，以⊙O上一点O’为圆心作圆O’，交⊙O于A、B两点，在⊙O上取一点P，直线PA、PB交圆O’于C、D两点．求证：(1)PA=PD；(2)PB=PC．359．如图7-210，⊙O1和⊙O相交于点A、B，BT是⊙O1的直径，过点T的切线交BA的延长线于点P，又割线PCD交⊙O于点C、D，且BT=DC＝2，PA=3，求PT和AT的长． 3360．若两圆有一个公共点不在连心线上，求证：这两个圆一定还有另一个公共点．361．如图7-211，⊙O和⊙01相交于点A、B，若过点A的割线和两圆的交点分别为点C、D，连结BD的直线和⊙O的交点为E．连结CE并延长，和⊙Ol的交点为F．求证：∠DFE=∠DBF．362．如图7-212，⊙O1内切于⊙O于点T，且与⊙O的直径AB相切于点E.连结TA交⊙O1于点C.求证：过点C的⊙O1的切线垂直于直径AB363．如图7-213；AB是同心圆中大圆O的弦，切小圆于点C大圆O的直径AG交小圆于点M、N，CD⊥AG，点D为垂足，CD交大圆O于点E、F，求证：AD?OA=EC?FC．364．如图7-214⊙O1和⊙O2相交于点A、B，过点B的直线交⊙O1于点C交⊙O2于点D．求证：AC:AD为定值． 365．如图7-215，⊙O和⊙O1为两等圆，它们彼此互相通过圆心，又割线ABCD平行于⊙O1，交两圆于点A、B、C、D，过点O、C的直线再交两圆于点P、Q．求证：PQ=AD．366．已知正方形ABCD的边长为a，以点A为圆心，a为半径，作弧BD，又作扇形ABD
的内切圆O，切弧BD于点E．求证：OE=CE
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