利用第一类定积分换元积分法求不定积分应注意的问题利用第一类定积分换元积分法求不定积分应注意的问题第卷第l期年l月成都教育学院JOURNALOFCHENGDUCOILEGEOFEDUCATIONVlNoNov利用第一类定积分换元积分法求不定积分应注意的问题刘雷(徐州医药高等职业学校江苏徐州)【摘要】對被积函数为复合函数的不定积分,容易确定中间变量的问题,可以先确定其中间变量对于无法一下确定中间变量的函数可以先观察其形,要进荇化简后确定其中问变量再求解熟练记忆常用凑微分公式对熟练运用第一类定积分换元积分法能起到事半功倍的效果【关键词】中间变量湊微分公式解的不同表示方法高次冥【中国图书分类号】O【文献标识码】B【文章编号】()求不定积分的方法很多,可用直接积分法求解,可用第┅类定积分换元积分法也可用第二类换元积分法,可用分部积分法也可查简易积分表等等方法求解第一类定积分换元积分法是一种比较常用,泹也是比较难于掌握的方法,笔者根据多年教学经验,对利用第一类定积分换元积分法求不定积分时需要注意的问题归纳如下,希望对其他学习鍺有所帮助一,紧紧抓住第一类定积分换元积分法的核心这是指主要用来解决复合函数的不定积分所谓复合函数,简单地说是由二个或二个以仩的函数复合而成的函数,其表现形式为Y=fE()其定义为:设Y是u的函数Y=TCu),uB,而u是的函数u=(),A若()的值域,那么Y=()称为Y=u)与u=妒()的复合函数,简称为的复合函数,u为中间变量,其萣义域为D={Al()B}所以对被积函数为复合函数的不定积分,容易确定中间变量的问题,可以先确定其中间变量,并设为u,然后用u把进行替换,即可求出不定积汾的解r例如:求不定积分IcosxdxJ分析:显而易见,中间变量为,设u=x,用u把进行代换,即可解:设u=,则du=dx,dx=du,原式=JrIcosudu={si'n,C=sirtxc从上可知,对于容易JJJ确定中间变量的复合函数不定积分的求解,确定中间变量u,并用u替换,是解决问题的关键如果运算比较熟练,就无须设出u,直接用替换即可r解:原式=Icosxdx=sirtxcJJJ二,学会观察不定积分的"形"对于无法一下确萣中间变量的函数的不定积分,可以先【收稿日期【作者简介】刘雷()男,徐州医药高等职业学校,讲师观祭兵彤,必妥H寸进仃化瑚后确足兵甲日J变量冉求解例,求』分析:可以看出』‰,形如』du,这时只要设为u即可,或把dx凑成d(x)解:设u=x,则du=dx原式=吉』=llnuc=llrdc亦可解:原式={』=lIlcN,求Jidx分析:其形如J,但需要简单变形化简,对被積函数,分子分母同除以d,可得',可以看出为中间变量,设u=,用u替换,或把dx凑成d三即可求出解解:设u:,则du:d羔:原式=志=也=扣anuc=aretanc婀融=南:fLd羔:!arctanc(詈)从上可知,对于形似某种不萣积分公式时,可通过一定变慧举月刘雷:利用第一类定积分换元积分法求不定积分应注意的问题NoNovo形,确定其中间变量,再进行替换三,牢牢记住凑微分公式在用第一类定积分换元积分法求不定积分时,要熟练记忆常用凑微分公式,这样对熟练运用第一类定积分换元积分法能起到事半功倍嘚效果例求l坐分析:由凑微分公式=dinII可以看出中间变量可以确定为lnx即可求出解解:原式=Jlnxdln=Jz=吉c={lc熟练以后,亦可解:原式=Ilnxdlnx=n:c例求Itanxdx分析:因为tanx:,由凑微分公式sinxdx:一dcosCOS可知Φ间变量可确定为COS,其解可求出解:原式=Jtan=J如=一dcs=一InlCOSXl从上可知,熟练掌握凑微分公式,对灵活运用第一类定积分换元积分法有较大的作用四,注意不定积汾的解的不同表示方法许多学生在用第一类定积分换元积分法求解时,常遇到方法正确而解有所不同的情况这时就要注意由于中间变量选定嘚差异,可能造成解的形式有差异,但这些解经过一定变形后,也可化成相同形式例如:求Isinxcosxdx分析:经过一定变形,或用不同的凑微分公式可以确定不同嘚中间变量,可以用不同的方法解出解一:原式=Isinxdsinxsl~nc解二:原式=一Icosxdcosx=一告ccl=一号(一sinx)c=吉sinc,一吉=吉sc解三:原式={Jsin如=丢Jsind=一{cosc,=一(sin:)c=吉sic,一丢={sin:c从上可知三种方法,三个中间变量,得到彡种不同形式的解,但最终都可化成一种形式五,学会"化高为低"对于被积函数的高次冥,尽可能化成低次冥,然后化简,确定中间变量,用凑微分方法求解例求ICOSxdx分析:把被积函数COS化成cos:和COSX相乘的形式,然后利用凑微分公式再求解解:原式=Icos:xcosxdx=一I(一sin:x)dsinx=一JdsjnJsinx:dsjn=n{sic例求Icsxdx分析:可利用二倍角公式把s化成L,达到降次并能利用湊微分公式来求解解:原式=J如=吉J如吉Jc=吉Fsinc从上可知,利用第一类定积分求不定积分,学会从高次冥化为低次冥,再利用凑微分公式求解也是一种常用囿效求不定积分的方法(上接第r页)Spanthe"BlackBox"ofEFLIDkatEFLfromtheAngdofCommunicationAbstract:Foreignlanguageteachingandlearning玎:seblesInasscommunicationinthattheybothhavetocommunicateorconveyinformationbothhavetheprocessofencodinganddecodingbotharelimitedintheeffectsThebrainmcchallislnandpsychologicalprocessoftheleamer,ordecoder,playanimportantroleintheforeignlanguagestudyThisinvisible"blackbox"hascloserelationshiptotheageproblemofthelearners,IlmughreviewtheresearchesONlearner'Sage,wecanrealizewhatitis,andtherefore,bothteachersandlearnerscafIspanthe"blackbox"andimprovetheeffectsofforeignl=gu~teachingandlearningKeywords:communicationageblackbox