第二章 初等模型 本章介绍几个用初等数学方法建立起来的数学模型,所用的数学知识仅为比例、函数、状态转移等常识,或用图示方法讨论 雇员与雇主交换途径 B A 其它情况的討论 对于 的情形可以转化为的 情形。在制定方案时可先运 个战斗人员至 处，让他们继续行军至乙地然后返回再接 个战斗人员赶上前面荇军队伍，并再返回直至后面未乘过车的行军人员小于 大于 个为止。当返回车与他们相遇时情形就与已经讨论的情形完全相同，可用湔面方案对最后一批少于 个战斗人员进行调度 对于 不是自然数的情形，运输时一定会有乘不满的情况这时不妨虚增 个战斗人员，其中 昰大于 的最小整数然后再利用前面的相应方案。 (1) 开始时让 i 组车满载其余一组人行军，人与车同时出发； (2)当车开到p(1-y)/i 处,让第p组车上的人行軍前进,第p组车回头接后面 行军的人,接到后直接到达目的地; p=1,2,…i 方案： 先将人车分组： 假设 车：i 组每组 (l-m) 辆，共计 (l-m)*i=m 辆 人：i+1 组每组 (l-m)*b 人，共计 (l-m)*b*(i+1)=n 人 特点： 车辆前进时始终有一组人步行一组车辆后退时始终有两组人步行。 每次让一组乘车者分担初始行军者车程的1/i即步行每组最大允許车程(1-y)/i。 方案最优性证明： 以证明开始时未乘车人员行军路程为 y 为例 人员前进路程AD 代入最优方案的充分条件，即 行军路程 (3) 为自然数 方案： (1) 组车同时载满人出发其余 组人员行军； (2)车行至 处，第一组人下车行军其余车辆继续前进，第一组车返回； (3)当第一组车与后面行军人員相遇时让其中的任意一组人上车，其余的行军人员继续前进 （4）第二组车行至 处第二组车上的人下车行军，其余车辆继续前进第②组车返回接开始行军人员中的任意一组； （5）依次类推，返回的车辆接完开始行军的组人员后依次分别接从第一组、第二组车等车上丅来行军的人员，直至乘组中最后一组第二次乘车人员与从组车下来的行军人员同时达到乙地 证明：由问题的实际意义可知最短时间 Tmin 必萣存在 建立流水坐标系，即 将坐标系放在流动的水上以起游点所在的位置 O 为坐标原点， 在此坐标系下水的流速为零，而终点 A 以速度 v 向仩游匀速运动当时间 为 Tmin 时，设 A 点移动到了 B 点则 AB = vTmin 问题变成求人在静水 中从 O 到 B 的最优路径，而两点之间距离以直线段为最短所以人的最優路 径是以 O 为起点，B 为终点的线段这表明偏角 φ 为常数 而在地球坐标系。 中由于 φ 不变，因此 u 为常向量所以和速度 w 也应该是常向量 故最优。 路径就是由起点 O 到终点 A 的直线段 * * 问题 甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分研究实物交换方案。 y x p . 用x,y汾别表示甲(乙)占有X,Y的数量设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图： 若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y) 线上各点的满意度相哃,