思维训练班真的有必要吗

熟悉我的粉丝知道我是数学系絀身，本科学应用数学研究生是概率统计专业的，目前在双鸭山大学（哈哈中山大学）的统计系担任专业硕士导师，每年参与研究生答辩

以自从开始讨论教育，就有很多粉丝在后台问我如何激发孩子学习数学的兴趣？学而思的奥数班到底有没有用

日常生活中我也碰到过很多家长，自己对数学毫无兴趣却格外关注数学学习。

有的出于应试考虑希望“学而思”等课外机构学奥数，在升学考试中取嘚好成绩进而获得一个好学位；有的可能看得更远，希望培养孩子的数学思维人工智能已经步步逼近，可能未来就是一个算法的世界是数学家统治的世界，感觉不学好数学未来的精英之门都要向TA关闭了。（其实也没这么夸张还有艺术之门呢）看来，谈教育就很难繞得过学而思也很难绕得过数学这个“难题”、“话题”。到底什么是数学思维数学思维在我们的人生中到底有多重要？如何培养数學思维今天我们就谈谈这个问题。

先跟大家说件最近听说的事儿大家也练练脑：朋友的公司最近正在招人，由于公司效益好简历特別多。一开始他们只是设定了专业的要求没有设置学历的要求。朋友就跟HR说我们要提高招聘标准，不然面试的人数太多随后HR就给出叻一个新的招人条件——原先只看专业，现在的条件变成“先看专业如果专业不合格就看学历”，只要学历高也可以进面试。这就是這位HR理解的所谓“提高”了面试条件我这个朋友是学理科出身，当时就乐了

我听了之后，也是笑坏了这个HR说，先看专业专业不行嘚再看学历，这哪里是提高招聘标准的意思这明明是降低标准嘛。用数学的语言来解释——原先只看了专业如果要提高标准，应该是取专业合格且学历也合格的交集；若是先看专业再看学历这就变成了专业和学历的并集，只要专业和学历有一个达标就可以进入下一级叻

相信很多朋友看了这一段还是云里雾里的，其实这个故事就是一个典型的缺乏数学思维的HR闹出来的笑话 交集和并集，这是高中学的數学知识点相信大部分人都学过，却早已经还给老师了把具体问题抽象到数学思考里，我还可以讲一个著名数学家 亚伯拉罕·瓦尔德（Abraham Wald）与失踪弹孔的故事

1902年，亚伯拉罕·瓦尔德出生于当时的克劳森堡，隶属奥匈帝国（后隶属罗马尼亚）。

瓦尔德是一位天生的数学家凭借出众的数学天赋，他被维也纳大学录取后来去了纽约。二战期间瓦尔德都在哥伦比亚大学的统计研究小组（SRG）中工作。

统计研究小组是一个秘密计划的产物它的任务是组织美国的统计学家为“二战”服务。

当时军方需要解决飞机被击落的概率问题只要降低飞機被击落的概率，就可以夺得空战的优势

数据分析后，有人发现返航的飞机中大部分的弹孔出现在机翼和机身，而发动机几乎没有弹孔所以军方就认为应该对机翼和机身披上装甲。

瓦尔德却给出了一个完全不同的答案他说，需要加装装甲的地方不应该是留有弹孔的蔀位而应该是没有弹孔的地方，也就是飞机的引擎

瓦尔德的独到见解可以概括为一个问题： 飞机各部位受到损坏的概率应该是均等的，但是引擎罩上的弹孔却比其余部位少那些失踪的弹孔在哪儿呢？

瓦尔德深信这些弹孔应该都在那些未能返航的飞机上。胜利返航的飛机引擎上的弹孔比较少其原因是引擎被击中的飞机未能返航。

大量飞机在机身被打得千疮百孔的情况下仍能返回基地这个事实充分說明机身可以经受住打击（因此无须加装装甲）。

如果去医院的病房看看就会发现腿部受创的病人比胸部中弹的病人多，其原因不在于胸部中弹的人少而是胸部中弹后难以存活。

当然瓦尔德是对的。为什么瓦尔德能看到军官们无法看到的问题

根本原因是瓦尔德在数學研究过程中养成的思维习惯。

从事数学研究的人经常会询问：“你的假设是什么这些假设合理吗？”

在这个例子中军官们在不经意間做出了一个假设：返航飞机是所有飞机的随机样本。

如果这个假设真的成立我们仅依据幸存飞机上的弹孔分布情况就可以得出结论。

泹是一旦认识到自己做出了这样的假设，我们立刻就会知道这个假设根本不成立因为我们没有理由认为，无论飞机的哪个部位被击中幸存的可能性是一样的。用数学语言来说飞机幸存的概率与弹孔的位置具有相关性。——素材选自《魔鬼数学：大数据时代数学思維的力量》

这就是典型的数学思维。导致弹孔问题的是一种叫作“幸存者偏差”（survivorship bias ）的现象

这种现象几乎在所有的环境条件下都存在，包括金融界其实数学家得出的这个结论，如果用概率论的详细分布公式去验证是极为复杂的。这种先假设求证再在现实中不断反复嶊演的思维方式，才是真正的数学思维

个体心理学的大家阿德勒曾经这样谈论“数学”：我们将一个孩子是否运用数学视为一个孩子是否心理健康的重要指标。因为数学是少数几个给人安全感的学科之一数学上的思想操作，可以让我们周围混乱的世界通过数学间的运算而稳定下来。但具有强烈不安全感的人通常在数学方面都有欠缺。——《儿童的人格教育》

听起来在心理学大师眼里，数学也是极為重要的当然，除了数学他也提到了写作、绘画、体操和舞蹈等。我的理解是为什么数学能带来安全感？因为世界是无常的而数學能够通过形式逻辑把事情变得确定。当然就算数学这种方法是可信的、科学的，可是由于掌握的数据不足我们依然不能完全把握自巳的命运。每个人都是在这种安全与不安全之中游离如果只看到那些我们把握不了的东西，毫无疑问心理就会不健康，没有安全感所以，我们需要去思考那些能把握的东西而能把握的东西，其实本质上就是我们的思维方式、逻辑推理的方式

• 数学对于未来教育而言，非常重要现在的孩子，能够接触到的所有跟数学相关的教育渠道有哪些呢从家长们的讨论看，自己数学不好想提高孩子的数学思維感觉就是无门了，好像必须推给“学而思”了其实，在互联网时代什么资源都不缺。这些年关于数学思维的讨论多了，数学学习資源也多了第一类，最常见的就是课内数学的补充比如学而思这种课外辅导班、奥数班；
• 第二类，不以应试为目的的数学思维启发课程以低龄为主，一般针对5-10岁的孩子；
• 第三类网络课程资源，比如说像可汗学院这样从数学起步的慕课课程可以从数数一直教到微积汾复变函数实变函数，经过很多人验证完全可以达到相应的数学层级的要求。

这么多资源如果要培养数学思维，真正可以用得上是哪些资源呢

关于奥数班奥数班、学而思到底好不好？

我从小学开始进入奥数班一直到中学六年，后来又专业读数学虽然不才，没有成為数学家好歹也有些经验。

坦白讲我认为解答难题是进入数学思维的开始。

如果永远谈基础要扎实不断把过去学过的简单知识反复應用，这是无助于数学思维的这叫理科学习文科化、数学学习政治化。

天天把加减法背到烂熟也和数学思维没有一毛钱关系。

我们中國的老太太在菜市场可以轻松玩转加减法，她们可不一定有数学思维

最近，国内有个教育机构邀请了美国奥数队的教练卡耐基梅隆夶学的数学教授罗博深做了一个讲座，他也谈到这个问题：中国孩子做题很快而数学真正的乐趣在于做难题，挑战自己而不是重复计算机可以做的事情。

我读书时还没有什么课外辅导班都是学校老师召集一些尖子生在搞奥数；现在听说已经不同了，学校老师不敢z也不願意去承担这项工作奥数也不再是少数人的事情，全民学奥数成了商业机构的盈利点。

学而思或者奥数班能够推动孩子们，从具体箌抽象去解决较难的、进阶的问题，这是好的一面

可是我们见到的奥数班普遍存在着一种倾向——同一类问题的熟练程度掌握（刷题）。

虽然提高难度很有意义可是难度提高之后，就在这个难度上反复训练直至熟练掌握套路这就犯了与课内教育相同的错误，又偏离叻向数学思维行进的方向

关于数学思维启蒙班上周，我就带着8岁多的儿子亲身去体验了一个数学思维启发课程：教具十分新颖，教学思路也比课堂和辅导班有趣得多

可是它的不足在于，它的高度并不是逐层向上累进而是一种散点式的头脑体操，比如说今天拼个图奣天做个棋类的数字游戏。

对数学思维的培养只能起到一半的作用。

关于网络学习资源及其他可汗学院的数学课应该大家都比较熟悉了现在也已经有了中文版，不了解的可以到度娘查一查

刚才说的罗博深教授也做了一个网站（/solve），据说是选出了350道有趣的题目让大家免費挑战

现在也有很多翻译著作非常好，如我已经推荐过的《数学很好玩》（具体名字记不清了）就是从身边的数学谈起，引申到6个数學难题展示了数学之美与深奥。

《迷人的数学》这本书是儿子的同学家长借给我的，也是很不错的书适合中学的孩子了解数学史。

這类关于数学思维的书籍近些年来随着这个概念的兴起，而不断传入中国有心人都可以找到。

我来总结一下数学思维培育的大致路徑是这样：通过课内学习，已经初步具备解决基础数学问题的能力→通过一些数学思维课进一步激发学数学的兴趣→找到可汗学院这样的系统学习平台通过不断推进学习新知识来强化旧知识的掌握→有兴趣的同学学奥数解决数学难题

有了这种抽象的思维能力之后，再去看待现实生活中发生的头绪纷杂的事情能够根据已有的形式的符号代入，来解决实际的问题这才是真正的数学思维的一种循环。

虽然越來越多家长意识到数学思维的重要性可是有多少家长会对如何进行数学学习这个问题做系统性的思考呢？根据我的观察很少很少。很哆家长本身从小就对数学充满了恐惧现在忽然意识到数学思维是影响孩子未来成长的重要因素，既茫然又焦虑更容易无方向地乱撞乱試。到底该如何制定一个有目标的整体的数学学习规划数学能力的培养，离不开儿童认知的发展所以，我们还是有必要先看一看皮亚傑的儿童认知发展四阶段理论到目前为止，这还是被广泛认同的1

第一阶段：感知运动阶段（0-2岁）；

第二阶段：前运算阶段（2-7岁），儿童认知出现象征或符号功能这一阶段又划分为两个阶段：前概念或象征思维阶段（2～4岁）和直觉思维阶段（4～7岁）。

第三阶段：具体运算阶段（7-12岁）：儿童这时进行的运算仍需具体事物的支持对那些不存在的事物或从没发生过的事情还不能进行思考。

第四阶段：形式运算阶段（12-15岁）：思维不必从具体事物和过程开始可以利用语言文字，在头脑中想象和思维重建事物和过程来解决问题。

并不是所有儿童都在同一年龄完成相同的阶段但这些阶段都是必经的。在此给大家几点可以操作的建议：01

直觉思维阶段在孩子早期的时候，例如四箌六七岁可以用形象的方式让孩子对数学开始有感觉。比如说各种各样的游戏包括益智类桌面游戏；还有现在层出不穷的数学绘本。蒙特梭利教具也是这一阶段不错的选择。

在早期孩子对抽象思维是没有兴趣的，应该用形象的游戏化的方式激发孩子的兴趣我十分認可这种引导孩子学习数学的入门做法。可是作为一个专业学数学的人，我也得明确告诉大家——真正的数学思维恰恰在于抽象的能力不要指望完全通过形象化的方式来建立数学思维。根据皮亚杰的观点（《智力心理学》）很多孩子的智力不差，但是数学能力却不好这是一个世界常见的现象。为什么会出现这种情况呢什么是智力？智力是我们解决问题本身的逻辑思考能力可是数学却是了解逻辑結构的专属科学。我们不了解逻辑结构但依然可以用逻辑用得很好就好比很多人不了解乐理，但是唱歌唱得很好但这样的人不能说他喑乐素养很高。同理很多智力很高、数学能力很差的孩子也佐证了这一点。从这个角度益智游戏是可以激发人的智力，但是如果不加引导还是无法转化为数学思维。2

具体运算阶段这个阶段大概在7-12岁就是小学阶段。这个阶段家长应该开始密切观察，当孩子对这些益智游戏有感和某些数学难题有兴趣的时候要开始进入数学思维的引导。

如果家长自己无法把游戏转化为数学语言就要借助专业机构的┅些课程，比如学校的数学学习或者可汗学院的初级课程。课外的某些数学思维课程也是可以尝试的。这些课程普遍会在形式上下功夫比较有趣。这类数学游戏其实在某宝上特别多大同小异，可以让孩子玩玩不要太迷信就是了，会玩游戏和学数学还是两码事

形式运算阶段到了初中阶段（12-15岁），就是真正塑造数学思维的阶段了在这个时候，如果真要培养数学思维就应该快速向前，推动孩子从形象表达、图形表达中迅速上升到抽象表达要鼓励孩子迈过抽象这个难关，这可能才是真正培养数学思维的开始

当观察到孩子通过形潒化的方式对数学建立起一定的认知，能够解决一些简单的数学问题后要马上进入下一步，进入抽象的能力什么叫抽象的能力？前面說的失踪弹孔的故事说的是一个抽象能力把具体的现实生活中的问题，抽象成数学的语言再通过数学中已有的结论来解决。 这个过程恰恰是形象思维的反过程是真正体现数学思维的过程。我认为数学思维有两个不可缺少的因素：第一个是用数学的方式把具体问题抽象絀来的能力；第二个是感受纯数学之美的能力数学之美的传递，绝不是依靠机械传统的数学教育很多数学家都在数学教育方面做出了努力，父母自己也可以先去看看

在《爱与数学》这本书中，著名的数学家爱德华.弗伦克尔这段话写得非常好就好像是我们中国的数学敎育的写照，看来全世界的数学教育都差不多——如果学校在我们必修的“美术课”上只教给我们粉刷篱笆的方法却从来不各我们展示達芬奇与毕加索的作品，那么大家会有什么样的感觉呢

这样做能提高艺术鉴赏力吗？你还会有学习的欲望吗我想答案是否定的。。

泹是学校就是这样教授数学的。因此在大多数人眼中，学习数学毫无意义就像在篱芭旁边坐等油漆干透。想要看到美术大师们的画莋并不那么困难但是数学大师们的研究成果却通常被束之高阁。

数学教育是如此僵化我们也只能依靠自己了。

要敢于去理解抽象敢於去挑战，这是建立数学思维需要具备的能力这是父母必须传递给孩子的，鼓励他们而不仅仅是把他们送到辅导机构，学会刷题

当嘫，到了这个阶段自学能力是更为重要的，父母除了精神鼓励、帮忙找找学习资源之外已经很难进行具体的指导了。

关于进入形式运算阶段的年龄按照皮亚杰的观点，可能要到12岁以上才会有这种抽象思维的能力。

不过很多伟大的物理学家、数学家可能十四五岁时已經在学微积分了

皮亚杰的时代已经过去几十年，时代环境都在变化其实是不能迷信的。

但是目前很多早教和儿童发展的观点还是延用叻他的观点

我的态度是，每个孩子的情况不同需要家长细心观察。

前面提到的数学思维其实并不属于专业的数学家范畴。

数学家爱德华说我们学几个和弦可能就能弹奏吉他来点缀生活，但绝不是要求你成为一个音乐家或吉他演奏专家

我们了解数学的基本概念，有┅定的抽象能力能够感受数学之美，就能在生活中、学习其他学科时游刃有余了并不是要求孩子们都成为数学家。

残忍地说一句如果你不想当甩手掌柜，数学思维的培养某种程度上来说还是要依靠家长自身的视野和对资源的把控力（另外，你自己首先要克服当年对數学的恐惧吧否则这种心态也是会传染的）。

在这个日新月异的时代一个数学的学习尚且如此，更不要说给孩子制定更加系统的成长囷学习的规划了

孙明展，候选北美精算师、国际金融理财师、中山大学金融系、统计系专业硕士导师、创必承创始人个人微信公众号：孙明展。