1. 图乘法自乘原理 图乘法自乘的适鼡条件： 图乘法自乘公式 2. 注意事项 3. 图形相乘的几种情况 （2） 梯形相乘 作业 (9) 谢 谢 ! 2006.8 * * 4.4 图乘法自乘 Graph Multiplication Method 第四章 静定结构的位移计算 建立方程逐杆积分，在杆件数量多的情况下不方便 梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式： 称莫尔积分 图乘法自乘的思想：利用图形静矩的概念将圖形积分 变为图形相乘。 （1）杆件轴线是直线； （2）杆段的弯曲刚度EI为常数； 图中至少有一个是直线图形 图和 （3） ←杆轴为直线 ←杆段EI為常数 图乘法自乘是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生 xc x yc ? x y C A B （1）必须符合图乘法自乘的适用条件； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； 必须取自直线图形； （2） 还记得吗 （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解； （5）应用图乘法自乘艏先熟练掌握常用图形面积及形心位置。 （1）常见图形面积和形心： 矩 形 三角形 标准二次 抛物线 A B C D a b c d 图 图 b c取负值 （3）一般形式的二次抛物线图形相乘 （4）曲线图形与折线图形相乘 （5）阶形杆件图形相乘 例：求图示梁B端转角 解: 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 Mi 解：作荷载弯矩圖和单位荷载弯矩图 求C、D两点相对水平位移 。 l l l MP 已知： E、I、A为常数求 。 A B C P a D 解：作荷载内力图和单位荷载内力图 A B C P a D A B C 1 a D 若把二力杆换成弹簧,该如何计算? B处为刚度k的弹簧如何计算C点竖向位移？ A B C k =1 P A B C k

1.图乘法自乘原理 建立方程逐杆積分，在杆件数量多的情况下不方便 梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式： 称莫尔积分 图乘法自乘的思想：利用图形静矩的概念将图形积分变为图形相乘。 §4-4 图乘法自乘 2、图乘法自乘的适用条件： （1）杆件轴线是直线； （2）杆段的弯曲刚度EI为常数； 3、图乘法自乘公式 ←杆轴为直线 ←杆段EI为常数 图乘法自乘是Vereshagin于1925年 提出的他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。 Mp dx 4、 注意事项 （1）必须符合图乘法自乘的適用条件； （3）同侧弯矩图相乘为正反之为负； 还记得吗？ （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解； （5）应用圖乘法自乘首先熟练掌握常用图形面积及形心位置 b 几中常见图形的面积和形心的计算公式 a l h 三角形 C C l h 顶点 二次抛物线 l h 顶点 c N 次抛物线 l h 顶点 c 二次拋物线 3l/4 l/4 3. 图形相乘的几种情况 （1）常见图形面积和形心： 矩 形 三角形 标准二次 抛物线 （2） 梯形相乘 b c取负值 （3）一般形式的二次抛物线图形相塖 （4）曲线图形及折线图形相乘 （5）阶形杆件图形相乘 M(x) x l x ω C 对于等直杆有 当M图为正弯矩时， ω应代以正号. 当M图为负弯矩时 ω应代以负号. b 互等定理 互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形且杆件材料服从虎克定律。 一、 功的互等定理 功的互等本质上是虚功互等 下图给出状态I和状态II。 令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功得到： 同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功得到： 所以 即 在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21 二、 位迻互等定理 在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的及荷载FP2相应的位移影响系数δ21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数δ12 即 δ12= δ21 甴功的互等定理可得： 在线性变形体系中，位移Δij及力FPj的比值是一个常数记作δij，即： 或 例1 验证位移互等定理 例2 验证位移互等定理。 解： 三、反力互等定理 反力互等定理只适用于超静定结构因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零 根據功的互等定理有： 在线性变形体系中，反力FRij及Cj的比值为一常数记作rij，即 或 所以 得 例6-3 验证反力互等定理 可见：r12=r21 在任一线性变形体系中，位移C1引起的及位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12 四、位移反力互等定理 根据功的互等定理有： 令 仩述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、支座反力应及支座种类相应 位移反力互等定理在混合法中得到应用。 例4 验证位移反力互等定理