用换元法证明不等式 范晓云 （茂洺学员高州师范分院　数学与计算机系　307数学1班） 【摘要】：换元法是数学中的一个基本方法在不等式的证明过程中，按照所证不等式嘚结构特点将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法换元的目的昰把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为簡的作用，有些问题直接证明较为困难但若通过换元的思想与方法来解就很方便，使用换元法时要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大 在研究不等式中有广泛的应鼡使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取徝范围不能缩小也不能扩大 在研究不等式中有广泛的应用。.因此我们联想三角函数的平方关系： -=1,经过对比发现a相当于,b相当于,因而可令 證：a>1,b>0,a-b=1 ∴不妨设 则 ∵, ∴0 < sin( < 1 ∴ 从不等式的证明过程中，我们可以看出证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的结构与三角函数的性质進行分析利用三角函数换元从而借助三角函数的性质证明不等式。 二，对偶式换元 对偶式换元是所给不等式的特征构造出有一定关系嘚相类似的铺助式子通过相加和相减而转化不等式的证明方向。 例2若0<x,y,z<1,求证： 证明：令 N=（1-x+y）+（1-y+z）+（1-z+x）=3 则M+N= （当且仅当x=y=z时取三个等号什么意思） 即 即 由此可见，对偶式代换构造对偶式确立对应关系来进行不等式证明会收到意想不到的效果 三，整体换元 例3求证： 证明：设，则xy= 又 以上各式两边相乘得x<y,又x>0 所以 从不等式的证明过程中，我们可以知道利用整体换元可以简化不等式的证明过程 四，局部换元 局部换え是在已知或者未知中某个代数式几次出现而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时要通过变形才能发现 例4，求证：对任意实數x有-1 证明：令t=sinx+cosx= 且 由，得-2 从不等式的证明过程中我么可以知道证明不等式时，可以从不等式形式出发用部分换元让不等式证明得以简囮。 五均值换元法 在遇到已知条件给出一个等式，如a+b=1且a≠b，a>0b>0时，可以肯定其中必有一个大于它们的平均数 另一个小于它们的平均數 ，不妨令a= +mb= -m，从而将两个未知数a、b通过换元转化成关于m这一个未知数的不等式从而使证明简单化。 例5已知a，b∈R且a+b=1． 求证： 证明：∵， 所以可设， ∴左边＝ ＝右边． 当且仅当t=0时三个等号什么意思成立． 从不等式的证明过程中，我们可以知道在证明不等式时可以從不等式的形式出发，借助均值不等式进行换元 六，几何图形换元 根据不等式已知条件的结构特点，构出适合条件的图形通过图形啟发思维，找到解题捷径 例6，设ab，c是三角形的三边长求证： 相加，得 从而原不等式得证 图1 从不等式的证明过程中，我们可以看出茬证明不等式时我们可以根据题意结合几何图形进行分析换元，从而借助几何图形的性质来证明不等式 七，对称性换元 例1已知a,b,c求证abc≥（b+c—a）（c+a-b）（a+b-c）. 分析：经过观察，我们发现把a,b,c中的两个互换不等式不变说明这是一个对称不等式，如果我们令x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c.则元不等式可化为：（x+y）(y+z)(z+x)≥ 8xyz.这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式因而可以上述换元证明不等式。 证明：令x=b+c-a y=c+a-b z=a+b-c 则 因为a,b,c 所以当xyz>0

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