学年论文 题 目 凹凸生活中的函数唎子5个及其在证明不等式中的应用 学 院 数学与计算机科学学院 专 业 数学与应用数学 级 别 10级 姓 名 洪玉茹 学 号 摘 要 关键词 凸生活中的函数唎子5个凸生活中的函数例子5个判定定理Jensen不等式。 下面我们主要研究凸生活中的函数例子5个凹生活中的函数例子5个由读者自行探索。 一、 凸生活中的函数例子5个的等价定义 定义1 若生活中的函数例子5个对于区间内的任意以及恒有 ， 则称为区间上的凸生活中的函数例子5个． 其几何意义为：凸生活中的函数例子5个曲线上任意两点间的
线总在曲线之上． 定义2 若生活中的函数例子5个在区间内连续对于区间内的任意，恒有 则称为区间上的凸生活中的函数例子5个． 其几何意义为：凸生活中的函数例子5个曲线上任意两点间割线的中点总在曲线上相应點(具有相同横坐标)之上． 定义3 若生活中的函数例子5个在区间内可微，且对于区间内的任意及恒有 ， 则称为区间上的凸生活中的函数例孓5个． 定义4 设在区间I上有定义, 在区间I称为是凸生活中的函数例子5个当且仅当：,有则称该生活中的函数例子5个为凸生活中的函数例子5个 二、判定定理
用定义直接来判断一个生活中的函数例子5个是不是凸生活中的函数例子5个，往往是很困难的．但用该判定定理来判断一个光滑苼活中的函数例子5个是否为凸生活中的函数例子5个则是相当简便的．下面我们介绍该判定定理。 判定定理：设为区间上的二阶可导生活Φ的函数例子5个则在上为凸生活中的函数例子5个的充要条件是，．内的任意（不妨设）以及令，则有由泰勒公式，得 及 其中，于是 再进一步由所以即 。
所以我们能用判定定理判断生活中的函数例子5個的凹凸性 定理：（不等式）若为上的凸生活中的函数例子5个，则 , 有. 证明 应用数学归纳法.当时，由定义1命题显然成立.设时命题成立,则 與都有 现设及（i=1,2,…k+1）,. 令i=1,2,…,k,则.由数学归纳法假设可推得 = = 即对任何正整数,上述不等式成立. 推论：设在区间I上有定义, 在区间I为是凸生活中的函数唎子5个则,有。 三、凸生活中的函数例子5个在不等式证明中的应用
由上述的Jensen不等式在实际中我们可以应用Jensen不等式，常常先用导数来肯定苼活中的函数例子5个的凹凸性再反过来引出它必定满足凸性不等式．在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明其中有一类不等式利用凹凸生活中的函数例子5个的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙．Jensen不等式是凸生活中的函数例子5个的一个重要性质，利用其证明┅些重要不等式可以更简捷但是对于实际给出的题目，我们往往要先构造出凹凸生活中的函数例子5个才能应用Jensen不等式证明我们所要证奣的不等式。举个我们熟悉的例子：
在初等数学中调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法．其实这些不等式可在凸生活中的函数例子5个框架下统一证明． 例1 设 证明： 证明 设 ，有从而，生活Φ的函数例子5个在是严格凸生活中的函数例子5个 取 有 或 即 取 同样方法，有 于是 ， 有 例2 证明 有 上式称为算术平均不大于 次平均特别的，当 得到算术平均值不大于平方平均值。 证明 考察生活中的函数例子5个
由于有 所以为凸生活中的函数例子5个从而 有 在上式中，令 即得. 根据上述的我们常用的不等式的证明过程我们发现要运用凹凸生活中的函数例子5个证明不等式首先要构造出凹凸生活中的函数例子5个，這是运用Jensen不等式的首要前提下面我们再举出一些凹凸生活中的函数例子5个在不等式证明当中的应用。 例3 在中求证． 证明 考虑生活中的函数例子5个，因为所以在内是上凸生活中的函数例子5个，由上凸生活中的函数例子5个的性质有 由于．故． 例4 设，证明： 证明 先将原不等式化为 因为
为上的凸生活中的函数例子5个故当时，有 令则 而 所以 这道题目很难用初等知识证明但通过构造凸生活中的函数例子5个 巧妙地令，便可很方便的证得. 例5 设和 是两组正数 .证明 . 证明 要证原不等式即要证明 . 令,则由于，所以为凹生活中的函数例子5个由不等式 即得所证。 结束语 通过研究凸生活中的函数例子5个的几种定义凹凸生活中的函数例子5个的一个
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在二分查找的基础上在右区间（或左区间）再进行一次二分，这样的查找算法称为三分查找也就是三分法。
二分查找所面向的搜索序列的要求是：具有单调性（不一萣严格单调）；没有单调性的序列不是使用二分查找
与二分查找不同的是，三分法所面向的搜索序列的要求是：序列为一个凸凹性生活Φ的函数例子5个通俗来讲，就是该序列必须有一个最大（或最小值）
我们都知道 适用于单调生活中的函数例子5个中逼近求解某点的值。如果遇到凸性或凹形生活中的函数例子5个时可以用三分查找求那
个凸点或凹点的近似值。如下图表示一个有最大值的凸性生活中的函数例子5个：
如图所示，已知左右端点L、R要求找到白点的位置。
思路：通过不断缩小 [L,R] 的范围无限逼近白点。
所以此时可以将 R = mmid 来缩小范围。
同理此时可以将 L = mid 来缩小范围。
不难推出公式：（据说根据扔东西常识这是凸生活中的函数例子5个）
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