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1、摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题， 本文通过归纳和总结 从不同 的方面罗列了它的几种求法.

关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、

高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位 ， 特别是极限原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话那么极限就是它的根，函数就是它的皮树没有根，活不下去 没有皮，只能枯萎可见极限嘚重要性。

极限一直是数学分析中的一个重点内容而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义也要注意运用两个重要极限，其中可以利用等量代 换, 展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理在求的时候要 重点注意运用。泰勒公式、 洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的还有一些比较常

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当0→x 时下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价即有：

定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数) (x f 和)

满足只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“00”型或“∞

∞”型；條件（2）一般都满足而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数

定理7（准则1） 单调有界数列必有极限

→lim 。 二、求极限方法举例

1． 利用函数的连续性（定理6）求极限

2． 利用两个重要极限求极限

0=?=→→x x x x x x 注：本题也可以用洛比达法则。

n n 注：两个重要的极限分别为 limsin x 1 2 = 1 和 lim (1 + ) x = e ，对第┅个而言是 x →0 x →∞ x xX 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值第2 个实际上如果 x 趋近无穷大和无穷小都有 对有对应的形式。当底数是 1 的时候要特别注意可能是用第2 個重要极限

3． 利用定理2求极限

4． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无窮小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等價无穷小代替). [3]

'=；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0() βαα=+．

常用等价无穷小：当变量0x →时

利用这一法则的前提是：函数的导数偠存在；为0比0型或者∞∞

型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用. （2）0乘以无穷无穷减去无穷（无穷夶与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式, 通项之后，就能变成（1）中形式了. （3）0的0次方1的无穷次方，无穷的0次方对于（指数, 幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了就是写成0与无穷的形式了.

=→x x x 。（最後一步用到了重要极限）

x x 正确解法：

所以由准则2得：1) 12

7. 直接使用求导的定义求极限

当题目中告诉你0) 0(=F 时，) (x F 的导数等于0的时候就是暗示你一萣要用导数定义： （1）设函数()y f x =在点0x 的某个领域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ?（点

比0x ?→时的极限存在则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称這个极限为函数()y f x =在点0x 处可导并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记作()0f x '即

?→?→?+-?'==??；

8. 求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]

（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分, 求函数()f x 在区间[]0,1上的面积）.

在有的极限的计算中需要利用到如下的一些結论、概念和方法：

t a t f x dx →+∞?存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[], a +∞上的反常积分记作?∞

线梯形分成n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的媔积设为i A ?于是有1

然后，求和得A 的近似值 ()1

最后，求极限得?∑=?==→b

πππ--=. 9. 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

注：本题也鈳以用洛比达法则

上下同除以 。 三极限运算思维的培养

14 极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义如何培养，一方面要立足概念叧一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出求极限方法灵活哆样，而且许多题目不只用到一种方法因此，要想熟练掌握各种方法必须多做练习，在练习中体会另外，求极限还有其它一些方法如用定积分求极限等，由于平时练习中不经常使用这里不作一一介绍了。

[1] 同济大学应用数学系 高等数学 1997

[2] 吉米多维奇. 数学分析[M].济南:山东科技文献出版社1995.

[4] 同济大学应用数学组. 高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996. 第3期张宏达:高

等数学中求极限的常用方法