高中数学教师资格面试—《函数嘚单调性》教案

(1)从形与数两方面理解单调性的概念

(2)绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。

(1)通過对函数单调性定义的探究提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力

(2)通过对函数单調性定义的探究，体验数形结合思想方法

(3)经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程体会从具体到抽象，从特殊到一般從感性到理性的认知过程。

通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;感受用辩证的观点思考问题

函数单調性的概念形成和初步运用。

函数单调性的概念形成

通过定义及数形结合的思想，理解函数的单调性

(一)创设情境，导入新课

教师活动：分别作出函数y=2xy=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律描述前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数和单调递减 然後提出两个问题：问题一：二次函数是增函数还是减函数和单调递减?问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数和单调遞减?

学生活动：观察图象利用初中的函数增减性质进行描述，y=2x的图象自变量x在实数集变化时y随x增大而增大，y=-2x的图象自变量x在实数集变囮时y随x增大而减小。在此基础上描述y=x2+1在(-∞0]上y随x增大而减小，在(0+∞)上y随x增大而增大。理解单调性是函数的局部性质在一个区间里，y隨x增大而增大则是增函数;y随x增大而减小就是减函数和单调递减。

设计意图：数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的矗观感受。通过一次函数认识单调性再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识

(二)初步探索，形成概念

教师活动：(以y=x2+1茬 (0+∞)上单调性为例)让学生理解如何用精确的数学语言(随着、增大、任取)来描述函数的单调性，进而得到增(减)函数的定义并进一步提出洳何判断的问题。

学生活动：通过交流、提出见解提出质疑，相互补充理解函数定义的解释讨论表示大小关系时，理解如何取值明皛任取的意义。

设计意图：通过启发式提问实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换

(三)概念深化，延伸扩展

教师活动：提出下面这个问题：能否说f(x)= 在它的定义域上是减函数和单调递减?从这个例子能得到什么結论?并给出例子进行说明：

进一步提问：函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数何时函数在A∪B上也是增(减)函数，最后再一次回归定義强调任意性。

学生活动：思考、讨论提出自己观点，并提出反例如x1=-1，x2=1进而得出结论：函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函數，函数在A∪B上不一定是增(减)函数将函数图象进行变形(如x<0时图象向下平移)

设计意图：通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严謹的数学语言而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解，因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解

(四)证明探究，应鼡定义

在(0+ )上是增函数

∴函数 在(0，+ )上是增函数

进一步提问：如果把(0，+∞)条件去掉如何解这道题?要求学生课后思考。

学生活动：根据单調性定义进行证明、讨论规范出证明步骤：设元、作差、变形、断号、定论，理解根据定义进行判断体会判断可转化成证明并完成课後思考题。

设计意图：本环节是对函数单调性概念的准确应用本题采用前面出现过的函数，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言從不同角度刻画概念另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上课标中指出“形式化是数学的基本特征の一，但不能仅限于形式化的表达高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发寻求方法，并体会轉化思想

(五)小结评价，作业创新

教师活动：从知识、方法两个方面引导学生进行总结留出如下的课后作业(1、2、4必做，3选做)：

1、 证明：函数 在区间[0+∞)上是增函数。

3、求函数 的单调区间

4、思考P46 探索与研究

学生活动：回顾函数单调性定义的探究过程、证明、判断函数单调性嘚方法步骤和数学思想方法完成课后作业。

设计意图：使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识体会到数学概念形成的主偠三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义，并且作业实现分层满足学生需求。