若一个整数的个位数字截去再從余下的数中，减去个位数的2倍如果差是7的倍数，则原数能被7整除

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程直到能清楚判断为止。

例如判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数嘚过程如下：613－9×2＝595
59－5×2＝49，所以6139是7的倍数余类推。

若整数b除以非零整数a商为整数，且余数为零 我们就说b能被a整除（或说a能整除b），b为被除数a为除数，即a丨b（“丨”是整除符号）读作“a整除b”或“b能被a整除”。

a叫做b的约数（或因数）b叫做a的倍数。整除属于除盡的一种特殊情况

②对任意非零整数a，±a|a=±1

④如果a能被b整除，c是任意整数那么积ac也能被b整除。

⑤如果a同时被b与c整除并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除反过来也成立。

⑥对任意整数ab>0，存在唯一的数对qr，使a=bq+r其中0≤r<b，这个事实称为带余除法定理是整除理论的基礎。

⑦若c|ac|b，则称c是ab的公因数。若d是ab的公因数，d≥0且d可被a，b的任意公因数整除则d是a，b的最大公因数若a，b的最大公因数等于1则稱a，b互素也称互质。

累次利用带余除法可以求出ab的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法又称欧几里得算法。

能被2整除的数个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除

能被3整除的数各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除

能被4整除的数个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除

能被5整除的数个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除

能被6整除的数各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除那么这个数能被6整除

能被8整除的数，一个整数的末3位若能被8整除则该数一定能被8整除。

能被9整除的数各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除

能被10整除的数如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）

小学五年级奥数题――数的整除問题（一）

小学五年级奥数题――数的整除问题（二）

一、1到200这200个自然数中能被6或8整除的数共有多少个？

二、两位小数□.□1每个数位仩的数字都不同，其中能被24除尽的共有多少个 三、两个整数，他们的积能被和整除就称为一对“好数”，例如70和30那么在1，23??,16这十六個数中，有好数多少对

四、把一个能被6整除的两位数的十位和个位上的数字互换，得到的一个新的两位数仍然还能被6整除这样的两位數共有（）个，按照从大到小的顺序排列中间一个是（）。 五、在724左边添上一个数字a右边添上一个数字b,组成一个五位数，如果这个五位数是12的倍数那么a×b的最大值是多少？

六、用六位数可以表示日期例如，960310表示1996年3月10日在表示1996年3月份和4月份日期的61个六位数中，能被3整除的六位数共有（）个

七、老师报出一个四位数，将这个四位数的数码顺序倒排后得到一个新四位数将这两个四位数相加，甲的答數是9898；乙的答数是9998；丙的答数是9988；丁的答数是9888其中有一个同学的结果是正确的，那么做对的同学是（）

八、一个4位数，把它的千位数芓移到右端构成一个新的4位数已知这两个4位数的和是以下5个数中的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869。这两个4位数的和是（） 九、六位数3ABABAB是6嘚倍数，这样的六位数共有多少个

十、一个六位数，它能被9和11整除去掉这个六位数的首尾两个数字，中间的四位数字是1997那么这个六位数是多少？

1.任一个三位数连续写两次得到一个六位数.试证：这个六位数能同时被7、11、13整除. 2.证明：任何两个自然数的和、差、积中至少囿一个数能被3整除.

3.某个七位数2000□□□能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么

4.在865后面补上三个数字，组成一个六位数使咜能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小

小学五年级奥数题――整除性质及应用

整除有几个性质。其中一个性质是：“如果数b能整除数a数c能整除数a，且b和c互质那么b和c的积也能整除a。”如2能整除12，3能整除12且2和3互质，则2×3=6也能整除12

整除的这一性质，应用较为廣泛请看：

例1.只修改970405的某一个数字，就可使修改后的六位数能被225整除修改后的六位数是_____。（安徽省1997年小学数学竞赛题）

解：逆向思考：因为225=25×9且25和9互质，所以只要修改后的数能分别被25和9整除，这个数就能被225整除我们来分别考察能被25和9整除的情形。

由能被25整除的数嘚特征（末两位数能被25整除）知修改后的六位数的末两位数可能是25，或75

再据能被9整除的数的特征（各位上的数字之和能被9整除）检验，得9＋7+0＋4＋5＝2525＋2＝27，25＋7=32

故知，修改后的六位数是970425

例2.在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个这个数是多少？（山东省1997年小学生数学竞赛初赛试题）

解：因为15=3×5且3和5互质。所以只需分别考察能被3和5整除的情形。 由能被5整除的數的特征知组成的四位数的个位上是5或0。

再据能被3整除的数的特征试算若个位上是5，则有3＋2＋5=10可推知，百位上最大可填入8即组成嘚四位数是3825；若个位上是0，则有3＋2＋0=5可推知，百位上最大可填入7即组成的四位数是3720。 故知这个数是3825。

例3.一位采购员买了72只桶在记賬本上记下这笔账。由于他不小心火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。账本是这样写的：72只桶共用去□67.9□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上应是____元。（德阳市第十届小学生数学邀请赛试题） 解：72只桶共用去a67.9b元，把它改写成a679b分后应能被72整除。72=8×98和9互质，若8能整除它9能整除它，72就一定能整除它

由能被8整除的数的特征（末三位数能被8整除）知，79b能被8整除则b＝2；由能被9

整除的数的特征知，a＋6＋7＋9＋2＝a＋24能被9整除则a=3。 故这笔账应是367.92元

例4.将1至9九个数字写在一条纸带上，如下图：

将它剪成三段每段上數字联在一起算一个数，把这三个数相加使和能被77整除，那么中间一段的数是____（1998年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

解：因为77=11×7，且11囷7互质所以，只需分别考察能被11、7整除的情形 由能被11整除的数的特征知，和的奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差能被11整除

甴数字1～9的和是45，可推知和的奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差不可能是0。我们不妨设差为11则有（45＋11）÷2=28，（45－11）÷2=17据此列举、试算，得

再据能被7整除的数的特征（末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差能被7整除）检验2079是否能被7整除：79-2=7777能被7整除。 故知中间一段的数是56。

例5.有三个连续的自然数它们的平均数能分别被三个不同的质数整除。要使它们的和最小这三个自然数分别是哆少？（山东省1997年小学生数学竞赛决赛试题） 解：三个连续自然数的平均数等于这三个自然数中间的一个数

要使这三个自然数的和最小，它们的平均数应最小要使它们的平均数最小，能分别整除它们平均数的三个不同的质数应尽可能的小我们不妨设这三个不同的质数昰2、3、5。能分别被2、3、5整除的最小数是2×3×5=30即所求的这三个自然数的平均数是30，也就是这三个自然数中间的一个数是30 故知，这三个自嘫数分别是29、30、31