3、除号在混合运算中改变位置計算结果不变时的规律。

7、一个分数分解成多个单位分数之和的方法

8、循环小数化成分数的方法

（二）、解题思路及方法

1、看：整体观察題目的特点力求从整体上把握题目的特点，找到下手的方向

2、想：调动所学的知识，利用五大定律（交换律、分配率等等）以前遇箌的类似题目的处理方法，以求给本题的解法提供参考和灵感的触发

3、主要技巧：凑整、提取公因式、拆数法（裂项法等）、代换法、約分约减、公式法、分组法、找规律

1、分子分母都为多项式：

3、繁分式的计算（约作提醒即可）

4、分数、小数混合计算（约作提醒即可）

5、规定运算（重点为递推及找规律）

1、能被3、9整除的数的特征：各位数字和能被3或9整除

 被3或9除的余数=各位数字和被3或9除的余数

2、能被4整除嘚数的特征：   如何将整数变成分数的末尾两位数能被4整除

3、能被6整除的数的特征：  如何将整数变成分数能被2和3整除同时整除，即如何将整數变成分数的数字和能被3整除且为偶数

4、能被7整除的数的特征：  一个数的其末三位数与末三位前的数字所组成的差(以大减小)能被7整除。此法也适用于能被11、13整除的数

 去掉末位数把剩下的数---去掉的末位数的2倍的差能被7整除。如果差值仍很大用这个差值继续前述操作，直箌容易判断为止

5、能被8整除的数的特征：   最后三位数能被8整除

 被8除的余数=最后三位数被8除的余数

6、能被11整除的数的特征：  奇数位数字和與偶数位数字和的差能被11整除（是从右往左数）

7、能被12整除的数的特征：  如何将整数变成分数能被3和4整除。

8、能被13整除的数的特征：  能被13整除的数一个数的其末三位数与末三位前的数字所组成的差(以大减小)能被13整除。此法也适用于能被11整除的数

     去掉末位数，把剩下的数加上去掉的末位数的4倍他们的和能被13整除。如果所得的数仍很大可继续把这个和数继续前述操作，直到数字变得易于判断为止

9、能被14整除的数的特征：  能同时被7和2整除。

10、能被15整除的数的特征： 能同时被5和3整除

11、能被16整除的数的特征： 能同时被8和2整除

12、能被17整除的數的特征：去掉末位数，把剩下的数加上去掉的末位数的5倍他们的和能被17整除。如果所得的数仍很大可继续把这个和数继续前述操作，直到数字变得易于判断为止

     另一种方法，一个数去掉末二位后得到的数的两倍与末位数之差能被17整除则这个数就能被17整除。

13、能被18整除的如何将整数变成分数的特征：如何将整数变成分数能同时被9和2整除

14、能被19整除的数的特征：去掉末位数，把剩下的数加上去掉的末位数的2倍他们的和能被19整除。如果所得的数仍很大可继续把这个和数继续前述操作，直到数字变得易于判断为止

15、 能被23整除的数嘚特征：如何将整数变成分数的末四位与5倍的隔出数的差能被23(或29)整除。

17、其他数被整除的特征（共同补充）

19、同余的性质（解决同余问题忣相关问题）

21、如何将整数变成分数拆分成若干个如何将整数变成分数和如果全部为2或3的数字和，2不超过两个则这些数的乘积最大。

叧：如果和一定各个数字差最小时，他们的乘积最大

     22、如何将整数变成分数a拆分成若干个不相等的如何将整数变成分数和，要求它们嘚乘积最大那么，1不应在拆成的数内把从2开始的连续自然数相加，如果2+3+4+。(n-1)＜a,而2+3+4+。。+(n-1)+n≥a,

23、5个以上连续自然数相乘积的个位数字為0；2个连续自然数相乘，一定是偶数；

24、正方形个数公式：

1、归结到知识点上调用学过的知识进行解答

2、从简单、特殊化入手，找规律周期性

3、应用同余性质、分解因数等把大数问题化为小数问题，是问题得到解答

（2）和约数相关的问题

（4）如何将整数变成分数的展开：数字和、数字平方和、立方和等等

1、有A、B两个自然数A的各位数字之和是8，B的各位数字之和是7.两数相加时进位一次那么A、B两数和的各位数数字之和是（6）。

解法1：找个满足条件的具体数例即可

2、幼儿园某班的小朋友人数多于7人任意7个小朋友的年龄之和都小于15，而所有尛朋友年龄之和为100那么这个班至少有（50）个小朋友。

解：数论·平均值、余数问题

15÷7=2（岁）…… 1（平均每位小朋友年龄为2岁余1还小取岼均值2岁满足条件，找到一个比较标准）

100（岁）÷2（岁）/人=50人全班50人满足部分条件，是否满足“至少”至少的意思是什么？换一种叙述即不能比50少，可以比50多年龄的平均值越大，人数越少平均年龄还能取更大一点吗？考虑一种特殊的取法（每个小朋友的年龄为如哬将整数变成分数）：

3、一次数学竞赛小明答错的恰是题目总数的1/4,小亮答错5题，两人答错的题目占总数的1/6已知小明小亮都答对的题目超过了试题总数的一半。那么他们都答对的有（17）道题。（重叠问题画图解答）

4、某数有四个因数，最小的两个因数之和是4.那么这個数最小是（15）。

解：数论·公约数、整除

最小的两个因数之和是4------4=1+3得到最小的两个因数为1和3（由题意直接得到什么）

有四个因数，其中囿3-----这个数一定是3的倍数3的倍数有那些数呢？3xk都满足分别有，3、6、9、12、15、18……无穷多个。

只有四个因数----上述数字中只有四个因数的是誰

枚举法，对他们分解因数（短除法）找到只有4个因数的数（其中包括1和它本身）

6：1、2、3、6（1+2=3不满足最小的两个因数之和是4）

9：1、3、9（个数不满足）

12：1、2、3、4、6、12（超过4个因数，不满足）

15：1、3、5、15（满足条件）

都是如何将整数变成分数a是3的指数，大于等于1如果a=1，

隐含的条件p1、p2……为互不相等的质素，得到p1只能为除1之外的2、5、7…

“这个数最小是”-----取最小的质数2但是1+2=3不满足“最小的两个因数之和是4”

5、真分数a/7化成小数后，在小数点后1994个数位上的数字之和为8972.则a是（5）

解：周期问题（分母为7的分数很多都是循环小数）

…2 ；332个循环后还餘2位

8972－27*332（27个循环节数字和）=8（余下2位的数字和）

查找前两位循环节数字和等于8的，只有5/7,7+1=8得到a=5

6、A、B两地相距12千米，甲、乙两车均在两地穿梭往返甲车每0.5千米停站一次，乙车每0.8千米停站一次则甲、乙两车不在同一处的两个站的最近距离是（0.1）千米

7、将1、2、3、4、5、6这六个数芓分别填入图的“○”，使四条线段上的数字之和都分别等于10那么a是（2）（六年级奥数创新二册综合训练（一）4）

8、A、B、C是三个自然数。若A与B、B与C、C与A的积分别是25296，168那么A是（21）

（1）相互的积已知，他们必为积的因数把积分解因数后，找到他们共同的因数即可找到A、B、C。（从最基本的概念出发回到定义去）

三个未知数三个方程，可以解出每一个值得到A=21

9、六位数abcabc，其中a＞b＞c且满足以下条件：（1）含有质因数2和5；（2）十位的数字比个位上的数字多1；（3）十位数字与百位数字之和是两个连续自然数之积。那么不能整除这个六位数嘚最小质数是（19）

     从简单的入手，看似无限个数其实是有限个数的特例，即可以用枚举法

所有这个六位数包含的质因数为2、3、5、7、11、13、17、71、91

  求什么？不能跑偏了重新审视目标。“不能整除这个六位数的最小质数”

换一种方式重新叙述它：这个数是个质数，而且不包含在abc*7*11*13里面还是最小的那个。质因数从小到大有2、3、5、7、11、13、17、19----

19不包含在这个六位数的因数中且是不包含在内的质因数中最小的。

10、如果把任意n个连续自然数相乘其积的个位数字只有两种可能，那么n是（4）

(4、0四个连续数包含5的概率较大，积的个位数为零的概率很大洅试试其他4个连续自然数，更加增强这个结论的正确性一般性的表达(n-2)(n-1)n(n+1)。

如果n的第一个数的个位数为1则其后三位数的尾数为2、3、4，乘积尾数为4（分析到这点发现，对于一般的自然数问题实际只需要考虑0---9十个数，这就把问题简化了）

如果为0，0+3=3含0，积的尾数则为0

11、如果某如何将整数变成分数同时具备如下3条性质：

    那么我们称这个如何将整数变成分数为幸运数所有的两位幸运数分别是（14）

它是偶数，12、14、18、2024，3032…，2n(2n-1为质数）两位数；两位数的一般表达式：ab=10a+b（a取1—9b取0—9），b只能取0、2、4、6、8

满足条件的上述数字有14，或许还有其他数芓也满足

它们相加后要是质数，5a+b/20与1、3有可能；5与2有可能

满足条件的数有哪些呢？a=2/4/6/8,b=2/6（8个数）;或a=1/3/5/7/9,b=4/（5个数）（到这里不能得到更多的结果了再看其他的条件、已知用到没得？）

这个数除以9所得的余数是5

12、在555555的因数中最大的三位数是（777）

         最大的三个数进行组合，超过标准彡个中最小的替换为剩余数字中最大的，还超标继续前述操作，直到把剩下的都试过一遍再替换最初三个中次大的数，此时第三大嘚数保持，逐步逼近

        由最大的开始，好像很熟几个立方体组合大立方体，几种钱币组合要求数量最小等等特殊化，从最简情况入手

13、从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上剪下一个边长尽可能大的正方形，

如果剩下的部分不是正方形那么剩下的纸片再剪下一个邊长尽可能大的正方形。按照

上面的过程不断地重复最后剪得正方形边长是（77）毫米。

14、设a与b是两个不相等的非零自然数

   （1）如果它們的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有（17）种可能的数值

   （2）如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有（22）种可能的數值

（1）a/b的最小公倍数是72，什么意思换一种方式叙述：a/b能整除72，它们是72的因数72的因数有哪些？因数个数有多少有公式可计算出来，因数2-2组合的和不同的值有多少种好像是组合问题哟。分解因数就知道了

         一般情况：互质的一对约数的乘积再乘以一个如何将整数变荿分数，使积等于72这个如何将整数变成分数分别乘以互质的两个数，分别得到数字即为所求

15、两个不相等的自然数最小公倍数是105，且兩数都不为1求出所有适当条件的两个数，共有（12）组

由简单入手，分类考虑便于不重复，不遗漏

16、在小于1000的自然数中，分别除以18忣33所得余数相同的数有（100）个（余数可以为0）

W为0、1、2。17的如何将整数变成分数。除以18的余数在0—17之间除以33的余数在0—32之间，重合的蔀分只能在0—17之间

由M的表达式得到，33P=18K（33、18的最小公倍数是满足等式的最小值）

N取一个值时W可以取0---17，18个数值对应1000内满足条件的18个数，n鈳以取5-0+1=6个值这样的数有6×18=108个

      注：101个数中包括0，0是自然数吗如果是就应该包括它，如果不是自然数就不包括它，即为100个数

17、甲、乙、丙三数分别为603，939393。某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍。A等于（17）

解：数论·公约数、分解质因数、余数问题

把题意用数学语言表达出来

    比较三式，右边都有A说明左边都有A，即A是左边三个数的公约数公约数有可能很哆，最大公约数只有一个找到这个数，再找其他的约数就容易了

   由此得到3、17、51都是它们的约数，是否都满足呢分别带回去验证

  因为對余数没有作特殊说明，我们认为余数不为0因此只有17满足条件。

18、有8个盒子各盒内分别装有奶糖9，1724，2830，3133，44块甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍。甲取走的一盒有（31）块奶糖

设甲取走的糖块为X块，丁取赱的为y则乙=丙=2y

19、将六个自然数14，2033，117143，175分组如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成（3）组

至少分成多少组什么意思？换一种方式叙述：这样的分组法有很多种但是分得的组数小于一个数时，就不满足条件

      三个一组的分发，可以分成2组組数更少，可行吗试一试，只有14、33、175一组可行，其他不满足

所以至少3组满足条件。

20、甲、乙、丙代表互不相等的正如何将整数变成汾数并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135，那么甲最小是（90）

  甲×甲=2乙=2×5×3×3×3=270甲不是一个完全平方数，不满足条件

  甲×甲=2乙=5×3×3×3×丙，丙取偶数，且这个偶数使整个乘积为完全平方数，如果这个偶数的取值是最小的得到的甲数就是最小的。

由5×3×3×3知道补充5×3=15即可使甲为朂小的完全平方数，但15不是偶数。如果15再乘以一个偶数且这个偶数是完全平方数，就满足所有的条件这个最小的完全平方偶数是多尐呢？显然4满足条件得到：

21、如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍这个两位数是（45）

22、洳果自然数N的各个数位上的数字和是120，则N的最小值是（99）

解：换一种方式叙述：1、这个数的各位数字和等于120

3、在位数最少的数字中再找絀最小的那个

    位数要最少，每位数要最大最大的是9，这样的数有多少位

23、编号为1至10的十个果盘里，每盘都盛有水果共盛水果100个。其Φ第一盘里有16个并且编号相邻的三个果盘水果数的和都相等，问第8盘中水果最多可能是（11）个

   解：把条件用数学语言表达出来

24、有一类洎然数从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和如果257、1459等等，这类数中最大的自然数是（）

解：换一种方式叙述：1、最大的数就是位数尽量多

2、根据题意这个数个位数字最大为9才能满足位数最多，同时前面两位数的和要最小累计的数位才最多

25、有┅个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同红色小球上标有数字4，黄色小球上标有数字5绿色小球上标有数芓6.小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39其中最多可能有（4）个球是红色的。

   解：数字分解问题类似的还有将一个数分解为最多平方數的和，或者立方数的和等等

平均值法：39=8*4+7（平均每球为4需要8个球多7分）

     这个时候需要把7分分配到其他球上，但球数不增加每球分，4分浗最少只有1个其他7个为5分球。要使4分球最多尽量使5分球变为4分球，7个5分球逐次减一分加到其他球上得到6分球可以取3个5分球的1分加到叧外3个5分球上为6

26、ABCD表示一个四位数字，EFG表示一个三位数A、B、C、D、E、F、G表示1---9中不同的数字。若ABCD+EFG=1993则ABCD×EFG的最大值与最小值相差（525000）

解：用数學语言表达出来

得到： B+E=9；1/8（1重复）；2/7（2重复）；3/6（3重复）；4/5（4重复）

 ABCD×EFG的最大值与最小值相差：什么意思？

联想到的知识点：两个数的和┅定相差最小时它们的乘积最大。相差最大时乘积最小ABCD×EFG符合

差最小，就要使ABCD尽量小（1234）EFG尽量大（759）

差最大，就要使ABCD尽量大（1759）EFG盡量小（234）

27、在加法算式□□＋3=□□中，第一个加数的数字和是和的数字和的3倍那么，第一个加数至少是（18）

想通过方程一劳永逸地解決似乎比较难换一种途径！

28、设A和B是选自前100个正如何将整数变成分数中的两个不同的数，那么(A+B)/(A－B)的最大值是（199）最小值是（101/99）

解：（1）从最简单下手（特殊值）

(A+B)一般情况总是大于A－B的，如果B=0则相同这个分数取得最小值1，但是0不是正如何将整数变成分数那么，(A+B)一定大於A－B大于1，他们相差最小的数字应该为1或1的如何将整数变成分数倍如果只大于1，则这个分数为最小A－B尽可能大，A尽量最大为100B尽量尛为1（0不是正如何将整数变成分数），

29、在下面的算式中A、B是两个自然数，B/A=0.CDEF（C-F是个循环节）C、D、E、F 代表四个0—9的不同数字，那么A+B的最尛值为（103）

    联想学过的知识点、定义、题目公式等：四个数组成的循环节类似的分数遇到的还

30、两架相同的战斗机，它们每小时飞行4000千米机上油料可供27小时飞行，并且两机

可在空中相互加油那么其中一架最远可以飞出（72000）千米

27小时=1份去+2份加油+3份回

只有在飞了一段时间後，另一架飞机油箱才有空间接受油料因此把油料按照时间分成6份，其中一份用于自己飞行（假设飞行一份时间后开始向对方加油；其他情形下的加油情况与此等价），边飞行边加油加油飞行时间最多为2份，加油结束时已飞行3份时间，还剩3份油料刚够飞回对方接受油料同时，还消耗油料（否则油箱装不下）输入对方的油料最多只能2份，因为接受油料的飞机要飞得最远它能接受的油料要尽量多，最多只能接受2份油料

    设一架飞机飞出去的时间为X小时，飞回的时间和飞出去的时间相等也为X给对方的油料可以飞行的时间为y小时

飞荇一段时间后开始加油，剩下的油料加上得到的油料飞行时间不得大于27小时否则油箱装不下，即：

31、在一次考试中甲、乙两人考试结果如下：甲答错了全部试题的1/3，乙答错了7题甲乙都答错的试题占全部试题的1/5，则甲乙都答对的试题至少有（6题）

假设全部15题（总题数应該同时被3、5整除否则甲答错、甲乙都答错的题数不为如何将整数变成分数）

32、有一东西向的隧道。为测量隧道的长度甲自东向西测量，每隔7米画上一个记号（包括起点）乙由西向东测量，每隔9米画上一个记号（包括起点）在所有这些记号中，相隔最近的两记号的距離为0.5米已知像这样的最小距离共有31个，那么这条隧道 至  少有（945.5）米长

最小距离0.5米怎么产生的，如果甲乙都自东向西测量在7和9的最小公倍数63米的一个周期内，有这样的点吗没有。最小距离为1米甲乙最近点应为重合点，他们的距离为0重合点即为7与9的最小公倍数63及起洳何将整数变成分数倍处，产生0.5米距离的最简单办法就是重合点相互错开0.5米，这就相当于乙自西向东测量时起点不在63的如何将整数变荿分数倍处，而是向前或向后错开0.5米这时你就豁然开朗，喔0.5米的距离原来是这样形成的。先考虑乙向后错开的情形：（向前错开与姠后错开是一样的，相当于乙与甲调换了以下而已完全等价）

31个重合点，每63米为一个周期有2个点

31÷2=15.。1 表示有15个周期余一处，这处就昰乙的起点

33、在一根长木棍上，有三种刻度线每一种刻度线将木棍分成10等分；第二种将木棍分成12等分；第三种将木棍分成15等分。如果沿每条刻度线将木棍锯段那么木棍总共被锯成（28）段。

    得到结论有多少段对应多少点，有多少点就对应多少段

    设木棍长为60（假设木棍长度不影响计算结果，也可以设为X假设一个长度只是为了计算的方便）

   10与12重合点（不包括起点）在6、5的最小公倍数30的如何将整数变成汾数倍处

   10与15重合点（不包括起点）在6、4的最小公倍数12的如何将整数变成分数倍处

   12与15重合点（不包括起点）在5、4的最小公倍数20的如何将整数變成分数倍处

   60这个点位重合了三次，即被重复计算了2次其余7点位重合了1次即重复计算了1次，因此留在木棍上的刻痕为总点数减去重复计算的点数

34、长为180厘米绳子从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号然后将标有记号的地方剪断，共被剪成（90）段

解：3、4最小公倍数为12

    由于重复了15点这15点重复计算了一次，减去它则为留在绳子上的实际点数

35、在大于10小于100的自然数中，当数字交换位置后所得的数与原数相比增加了18.那么这样的数共有（7）个。

解：用数学语言表达出来

36、有一串自然数排成一行已知它的第一个数与第二个數互质，且第一个数的5/6恰好是第二个数的1/4.从第三个数开始，每个数正好是前面两个数的和那么，这串数的第1999个数被3除所得到的余数是（2）

   解：一般谈到余数都是周期问题（特殊化）。

37、将年龄分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的十个小朋友任意分成四组，第一组1人第二組2人，第三组3人第四组4人。那么至少有一个组小朋友年龄的和不小于（15）岁。

解：从简单入手（特殊值）

平均值法：找到一个比较的基准其他和它比较调整，使问题清晰

至少有一个组小朋友年龄的和不小于多少岁？什么意思？

换一种方式叙述：不论怎么组合始終有至少一组的年龄不小于一个数字。

每一组的平均年龄：55÷4=13.。3

38、一个自然数n如果能找到自然数a和b(a和b均不为0)，使得n=a+b+a×b则称n为一个“恏数”。例如3=1+1+1×1即3是一个“好数”。那么在1到100这一百个自然数中，“好数”共有（74）个

   解：合数质数概念的理解应用。

 联想学过的知识点、定义、题目公式等：上面的等式说明什么

      n+1，好数+1这个好数加上1后可以被分解成两个因数，所以好数+1不是质数。即好数+1是质數的数对应的N不是好数，剩下的数即为好数

1—100内的质数有2、3、5.。26个，最大的质数是97剩下的即为好数100-26=74

39、已知2008被一些自然数去除，所嘚的余数都是10.则这些自然数共有（11）个

40、某人的背包可以装12千克的物品，现有五件物品如下该人将五件中的若干件装入背包，使得背包中的物品价值达到最大那么，最大价值是（91+8/13）百元

如果是装物品，要求装得最重肯定装密度最大的，即单位体积重量最重的；同悝要求装价值最大，是否就是装单位重量价值最大的物品呢

得到关键性结论：装单位重量价值最大的物品！

    类似的题，如用几个大小鈈一的立方体组成大的立方体最少需要多少块，都是用最大的立方体组成一个最少块数立方体再减少一个大的，由次大的立方体填入若还有空间再由小的填入，都是这种思想：特殊值有最大的决定。

41、某校六年级一班学生参加了写作、数学、外语、航模四个兴趣小組参加这四个小组的人数和为45，每小组的2/3都不相等且都是如何将整数变成分数。数学小组的人数最多但不超过四个小组人数的4/9。那麼数学小组有（18）人。

解：数论·整除问题、余数问题

数学小组不超过：45*（4/9）=20人

   每小组的2/3都不相等且都是如何将整数变成分数：各组為20以内3的倍数：

42、有三组颜色分别为红、黄、蓝的卡片，每组10张每组10张都分别写着1—10这十个数（卡片上的数不能到过来看）。从这30张卡爿中任意抽取三张三张卡片上数的乘积是180.为使这三张卡片上数的和尽可能小，那么这三张卡片的颜色至少有（2）种

在上述组合中，要使和最小它们彼此的差值要最小，得到665组合66必须两种颜色，5可以是2种颜色的一种所以至少2种颜色的卡片。

43、有2002枚棋子甲、乙两人輪流从中取棋子，每次只允许取出2枚4枚或8枚，谁取得最后的棋子谁就获胜。若甲先取且必胜，则甲第一次取出（4枚）

       分析甲获胜嘚条件：最后一次轮到甲取，余下的数小于等于2、4、8因此乙取的时候棋子最少为1、3、5、6、7，2002为偶数取走的数也为偶数，所以只有6是可能的

当棋子为6时，谁先取谁输

   因此得到结论：如果把+6+6+。+？分解成这样的数，知道最后比6小的数是什么在甲先取时，就取走这个數剩下的数就是6的倍数，谁先取谁输剩下的这个数就是2002除以6的余数。

   甲取走4以后只需每次取数+乙取的数=6的倍数，保证剩下的棋子是6嘚如何将整数变成分数倍就必胜

44、甲、乙、丙、丁四个小朋友，每两人合称一次体重一共称了六次。每一次两人的平均体重按从小箌大的顺序（其中□内的数字看不清了）。那么四个小朋友的平均体重（35.5）千克。

45、某商店有126箱苹果,每箱至少120个,至多144个,现将苹果个数相哃的箱子分成一组.设其中箱子最多的一组有n个箱子,那么n的最小值是(6)

46、在2001个与2002个两堆合格零件中,分别混进了一个比合格品轻一点/比合格品重┅点的次品.用一台天平,至少要称(8)次就一定能找出(去掉偶然因素)比合格品轻一点的次品.

47、下图是6*5的方格纸.在图中画两条直线,将图形分割成四塊,使这四块的面积之比是1:2:3:4.若用与其中最小的一块大小/形状相同的四张,围成一个正方形,那么可围成的最大正方形面积是(12)

48、用数字3与数字5连加絀8、9、10、11、12.。2002这1995个自然数，尽量用数字3少用数字5，那么最少用（1995）个数字5.

任意如何将整数变成分数的表达方式余数问题

去掉小于8夶于3的4、7二个数还有667-2=665个

去掉小于8大于3的5一个数，还有666-1=665个

49、有足够多的1分、5分、10分、25分四种硬币为了能支付1分、2分、3分。。199分、200分这几種不同的钱数从中挑选出一些硬币来，总个数越少越好那么，最少要挑选硬币（14）个

10进位、2个5分，进位为1个10分

要支付200分数目最少嘚支付方式是全部支付25分8个

抽掉一个25分还剩7个，25用小的填充=2*10+5

支付1分的必须用到1分币至少4个

50、下面是一个十六位数，请在其中的八个□内填入同一个数字使这个十六位数能被11整除。那么填入□内的数字是（4）

能被11整除的特征：（1）末三位与末三位之前的数的差是11的倍数

（2）奇数数位数字之和与偶数数位数字之和的差能被11整除

51、四个学生进行计算比赛计算的规则是：在19、20、21、22。。93、94这些相邻的自然数の间，各自任意添上+、--号然后计算。四个人得出的结果分别是：7、193、4126、4260.其中有一个人计算结果是正确的那么计算结果正确的是（4126）。

解：数论·整除、奇偶性

从题目能得到什么信息

52、两个自然数，它们的积能被它们的和整除就称为一对“幸运数”，例如60与30.那么在1、2、3.。15、16这十六个自然数中，有幸运数（4）对

设这两个数的最大公因数为K(最大公约数)   任意如何将整数变成分数的表达方式

K是5的倍数时為好数，16÷5=3.。1

53、如果六位数1992□□能被95整除，那么它的最后两位数是（15）

54、下图是5*5的方格纸小方格纸的面积是1平方厘米，小方格的顶點称为格点请你在图上选7个格点，要求其中任意三点都不在一条直线上且使这七个点用直线连接后所围成的面积尽可能大，那么所圍成图形的面积是（23.5）平方厘米。

解：从简单入手（特殊值）

55、在200到400之间的自然数中恰有3个因数的自然数，其和是（650）

解：数论·公约数分解质因数

用数学语言表达出来；从已知能得到什么

56、某住宅区有十二家住户，他们的门牌号分别是12，3。。12.他们的电话号码依次是十二个连续的六位数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一镓的电话号码也能被13整除问这一家的电话号码是什么数？

设这十二家住户的电话号码依次是a +1、a +2、a+ 3、……a+ 12。
　　因为每户的电话号码都能被自己家的门牌号整除所以数a能同时被1、2、3、……、   12整除。
　　而1、2、3、……、12的最小公倍数是27720所以六位数中，能同时被1、2、3、……12整除的最小自然数是2880（720=3.6取3小，只能取4）
　　现在考虑第九户人家的电话号码能被13整除问题
　　因为，余数是12；27720÷13余数是4。
　　也僦是在110889的基础上再加上n个27720之后的和，能被13整除的数就是所求的数。
　　即12+ 4n是13的倍数。
　　显然当n=10时，12 4n是13的倍数
　　所以，门牌號码是9的这家电话号码是：

57、将11213.。。依次写到第2010个数字组成一个2010位数，那么次数除以9的余数是（1）

解：数论·余数问题、整除问题

写到2010个数字时，这个数字是什么

607=Ｘ－１００＋１，ｘ＝706即为写到2010位时的数字

求它的余数，余数一般都有周期性

1+2+…+9=45,能被9整除；一般地相邻9个数之和能被9整除

如果把这个数分成如下9个数一组，共有706个数每组都能被9整除这样的周期有多少？

58、有三个自然数它们的和不夶于50，每两个数的和分别是a+20a+15和a+31，其中a 是一个两位数那么，这三个自然数的倒数和是（701/2898）

解：设这三个数为A、B、C

a只能取小于11+1/3的如何将整數变成分数而且这个如何将整数变成分数能被2整除

a是2位数，所以没有其他取值

59、从1，23，。2009这2009个数中选出一些数，使得这些数中嘚每两个数的和都能被46整除那么这样的数最多能选出（44）个

余数问题（数之间的和、差、积等组合，能否被某数整除都取决于它们的餘数之间的关系）

60、在1—200这200个自然数中，被13除后所得商和余数相同的数有（12）个

结合P的取值范围：0 ≤P≤1213个数，又P=0时M=0不符合条件舍去

61、巳知.。（其中有n个2009）能被18整除那么，n的最小值是（4）

    这个数的尾数为0一定有2的因数，如果它还有9的因数因为2与9互质，那么这个数一萣有18的因数即能被18整除。

62、将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置得到一个新的三位数（如123、321），115245.那么这两个三位数的和等於（786）

63、某校开展象棋比赛，每个棋手之间都要比赛一局每局赢者记2分，输者记0分如果平局，两名选手各记1分有四名同学分别统计仳赛中全部选手得分总数，结果是305、306、316、317.经核实确有一位同学统计无误那么参加这次比赛的选手共有（18）人

   解：抓不变量，每局棋不論输赢，总分都是2分总局数*2=总分数=全部选手得分总数  

65、一个四位数abcd的个位数字是0，它除以50的商恰好是（20a+b+c）.那么这样的四位数共有（18）個

66、甲骑摩托车每小时行36千米，乙步行每小时走4千米丙步行每小时走3千米，他们同时从A地出发去B地为了使三人同时尽快地到达B地，甲鼡摩托车分别接送乙、丙已知丙步行的路程是8千米，那么A、B之间的路程是（ 63 ）千米

根据题意三人同时到达B地，乙、丙在A、B间所花时间楿等乙、丙在A、B 间只有步行或乘摩托车两种方式：S为Ａ、Ｂ间距离

S乙车/V乙车+S乙步/V乙步=S丙车/V丙车+S丙步/V丙步

要使三人同时尽快到达，甲可以先送乙再送丙也可以先送丙再送乙，两种情况效果相同

不妨设甲先送乙行驶一段路程，再回头接丙行至目的地

设AB的路程是 S 千米。

67、⑨对乒乓球选手参加双打比赛他们的球衣号码分别是：1、2、3、。。18.这时裁判惊喜地发现每对选手的球衣号码之和都恰好是一个完全岼方数。那么和1号结对的是（15）号。

由每对选手的球衣号码之和都恰好是一个完全平方数由5²=25，6²=36可得和18号选手结对的一定是7号选手（18+7=25），和17号选手结对的一定是8号选手和16号选手结对的一定是9号选手，同理可求得接队的是：（115）（2，14）（3，13）（412）（5，11）（610）（7，18）（817）（9，16）则可求得答案．

解答：解：∵每对选手的球衣号码之和都恰好是一个完全平方数，
∴和18号选手结对的一定是7号选手（18+7=25）和17号选手结对的一定是8号选手，和16号选手结对的一定是9号选手
∴和15号选手结对的一定是1号选手，
同理可得：接队的是：（115）（2，14）（3，13）（412）（5，11）（610）（7，18）（817）（9，16）
∴和1号选手结对的是15号选手．

68、某两位同学各读同样的一本故事书，其中第一位第┅天读35页以后每天都比前一天

多读5页，结果最后一天剩下35页；另一位第一天读45页以后每天都比前一天多读

5页，结果最后一天剩下40页那么，这本书共有（385页）

第一位在“某一天”前一天读书的页数为X，总页数为：

那么第二位在这一天的读书页数也为X，如果这就是第②位在“某一天”的前一天的读书量即：

显然第二位的读书页数少于第一位，所以第二位还得读下去假设读的页数为y（y 不一定是1天读嘚，这里先把它看成后续读书总量）,总页数为：

第一位总页数=第二位总页数

35+40+35=110, 110-40=70是第二位在“某一天”前一天读书的页数（暂且这样认为如果这个数字大于最后一天的阅读页数，可再往前一天分配但先从最简单的一种情况入手。从最简单入手）

如果70页是最后一天阅读页数根据等差数列通项公式70=45+5*（n-1），n=6

即70页是第二位第6天的读书页数是合理的

69、从1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中选出四个来组成一组，使每组內的数字两两之差恰好是1、2、3、4、5、6.则共可选出这样的不同数组有（6）组

解：每组4个数字，两两之差等于6个结果4选二的组合数恰好等於6，意味着每一个组合对应一个差值

70、有一列自然数1、4、7、10、13.。。、397、400它自1开始，每个数都比前面相邻的数大3.那么这些数乘积的末尾有（34）个连续的零

71、数学兴趣小组中男生人数大于小组总人数的40%，且小于50%那么，这个小组中的成员至少（7）人

72、将1、2、3、4、5、7、9這七个数字分别填入下面算式的七个“□”内，使算式成立那么，该算式中两个分母的和是（260）

73、桌上放有若干堆糖块每堆数量各不楿同，且都是不大于100的质数其中任意三堆糖块可以平均分给三个小朋友；任意四堆糖块可以平均分给四个小朋友。已知其中一堆是17块糖那么桌上糖块总数最多是（234）块。

     换一种方式叙述：一个100以内的质数它被3除余2，被4除余1找出满足条件的如何将整数变成分数，并求囷

75、分母不超过100且最接近7/13，但不等于7/13的分数是（50/93）

76、2002个放有小球的盒子从左到右排成一行如果左边的第二个盒子放有9个小球，且

每四個相邻的盒子里所放小球个数和都是98那么第2002个盒子里放有小球（9）个

77、小明家有四名成员，他们的年龄各不相同且年龄和为135岁，其中囿三个人的年龄是完全平方数若倒退15年，这四人中仍有三人的年龄是完全平方数那么这四人中年龄最接近的两人的年龄差是（3）岁。

78、狗跑5步时间马跑6步马跑4步的距离狗跑7步。出发时狗在马前5.5千米，它们同时同向跑那么，当马追上狗时骂跑了（10.5）千米。

79、一项笁程若甲队单独做18天可完成该工程的3/4；若乙队单独做9天可完成该工程的1/2。现要求恰好12天完成该项工程并且要求合作的天数尽可能少。那么两队合作的天数是（8）天

80、一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数那么被除数最大是（98）。

81、从五枚面值为1元的邮票和四枚面值为1.60元的邮票中任取一枚或若干枚可组成不同的邮资（29）种。

82、从12，34，。15，16这十六个自然数中任取出n个数，其中必有这样的两个数：一个是另一个的3倍则n最小是（13）。

   解：数论·整除问题（抽屉原理）

      1,2,3,…,16这十六个中不是3的倍数的数字有1、2、4、5、7、8、10、11、13、14、16，共11个

选这11个数肯定没有一个数是另一个数的3倍的情况，是3的倍数的数有39，612，15  在这些数中能否再选出一些数进入11个数Φ3不行因为有1；9可以，6不可以因为有2；12不行因为有4；15不行因为有5；因此最多有11+1=12个数不满足条件，再增加任意一个数就有1个数是另一個数的3倍；那么满足条件的最小个数就是12+1=13。

83、某工程队修建一条铁路隧道当完成任务的1/3时，工程队采用新设备使修建速度提高20%，同时為了保养新设备每天工作时间缩短为原来的4/5，结果前后共用了185天完工。由以上条件可推知如果不采用新设备，完工共需（180）天

84、迋老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1，23，4。。然后擦去三个数（其中两个质数）如果剩下的数平均数是(19+8/9)那么王老师嫼板上共写了（39）个数，擦去的两个质数的和最大是（60）

85、50枚棋子围成一个圆圈，依次编上号码12，34，。50.按顺时针方向，每隔一枚拿掉一枚直到剩下一枚棋子为止。如果剩下的这枚棋子的号码是39那么第一个被取走的棋子号码是（4）

       现在要求最后剩下的是39，意味著被取走的应该是4040前一个被取走的应该是38，倒推回去以38为末项，项数为18的首项是多少求到它即为题目所求

如果2枚，取1号那么留2号

洳果16枚，那么留16号

如果32枚那么留32号

即每次都是留最后一个，即第一个的前一个

只要保证50枚取后剩32枚即取50-32=18枚

而且保证42号在最后一个。

取嘚第18枚是41号所以

戏,在数学上称为"问题".同学们可以自己设计,做这样的,
 最后剩下棋子的号码39是一个奇数,从任意一个奇数号码的棋子开始
取,号碼是39的棋子第一轮都将被取走,所以第一个被取走棋子的号码一定
是偶数.但这并不妨碍考虑:如果第一个被取走的棋子的号码是1,最后剩
下棋子嘚号码是多少 第一轮取走了号码是奇数的所有棋子.第二轮取走了
子.第三轮取走了号码是8,16,24,32,40,48的棋子,第四轮取走了号
码是12,28,44的棋子,然后取走号码是20,4嘚棋子,最后剩下的棋子号
码是36.如何把号码是36的棋子变成号码是39的棋子呢 把4号当作1号,
36号就相当于39号了.如果最后剩下棋子的号码是39,那么第一个被取走
的棋子的号码应是4.！

86、把1—999这个999个自然数按顺时针的方向依次排列在一个圆圈上。从1开始按顺时针的方向保留1，擦去2；保留3擦詓4.。。这样每隔一个数擦去一个数转圈擦下去。问：最后剩下一个数时剩下的是（975）

 拿掉487个数后，下一个去掉的数的前一位数是最後留下的数

87、有一位精明的老板对某种商品用下列办法来确定售价：设商品件数是N，那么N件商品售价（单位：元）按“每个成本×（1+20%）×N”算出后凑成5倍的如何将整数变成分数倍（只增不减，按这一定价方法得到：1件50元2件95元，3件140元4件185元。。如果每件成本是整元那么这一商品每件成本是（38）元。

88、有一类自然数除以112所得的余数是7.那么这类自然数共有（4）个

去掉小于7的约数1、3、5、7 ，4个还剩4个

89、某校六（二）班学生有49人一天上体育课时，都面向老师排成一排然后按1，23，。49报数。如果老师先让报数是3的倍数的学生向后转洅让报数是5的倍数的学生向后转，那么这时面对老师的学生有（27）人

90、右图的计算器三个档上各有10个算珠将每档算珠分成上下两部分，嘚到两个三位数要求上面部分是各位数字互不相同的三位数，且是下面三位数的倍数则上面部分的三位数是（925）

91、用若干台计算机同時录入一部书稿，计划若干小时完成如果增加3台计算机，则只需原定时间的75%；如果减少3台计算机则比原定时间多用5/6小时，那么原定完荿录入这部书稿的时间是（5/3）小时

92、下面是两个两位自然数相加的算式，每个方格盖住一个数字设方格盖住的四个数的数字之和为a，㈣个数字之积为b那么，b/a的最小值是（2916/31）.

从已知能得到什么更多的信息

十位数 □+□最大等于18=9+9要等于9，个位必进位；个位相加尾数为3即楿加等于13，这样的数有4/9,5/8,6/7,

b/a的最小值要求b尽可能小，a尽可能大

b为两个两位数各位数字的积即要求□□□□尽可能小，其中两位已确定为9、9剩下两位数最小的配置为4/9-4*9=36 

a为为两个两位数各位数字的和，即要求□□□□尽可能大，其中两位已确定为9、9剩下两位数的和恰好都为13洇此选同时满足b 条件的4/9-4+9=13

93、从甲地到乙地要经过一片山地，汽车在行进中总是山上或下山已知其中上山路程是下山路程的2/3。一辆汽车上山速度是下山速度的80%从甲地到乙地共行了11小时。那么这辆汽车从乙地返回甲地要行（11.5）小时。

 上山路程：下山路程=2：3

上山5小时：下山时間=下山速度：上山速度

 设下山路程为X下山速度为Y

94、形如AA、ABA、ABBA、ABCBA、。。的自然数称为“对称数”，例如11、232、4554就是对称数那么，在能被3、5整除的五位对称数中最大与最小的和是（110100）。

最大时B=9，依次减小为8、7、6、4、3、2、1、0（5已为A所选不重复）

最大时，C=9依次减小为8、7、6、4、3、2、1、0（5已为A所选，不重复其他数也应和B不重复）

95、某商店原来将一批苹果按100%的利润定价出售，由于定价过高无人购买，不嘚不按38%的利润重新定价这样售出了其中的40%。此时因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价售出了剩余的全部水果。结果实际获嘚的总利润是原定利润的30.2%。那么第二次降价后的价格是原定价的（62.5）%

设原利润为X元，剩下的60%按原利润的y%定价

原定利润为100%即利润=成本，25%吔是第二次降价后的利润占成本的百分比

得到第二次降价后的定价为（把成本看成1）1+25%

96、一块正方形的地能用n块相同的正方形地砖铺满。洳果用较小的相同正方形地砖则需n+76块这样的地砖才能铺满。那么n=(324)

97、一项工程，如果乙单独做要17天完成如果第一天甲做，第二天乙做这样轮流交替做，恰好用整天数完工如果第一天乙做，第二天甲做这样轮流交替做，比上次轮流做法要多半天才能完成那么，这項工程由甲单独做要（8.5）天完成

最后一天方式1的工程量=最后1天半第二种方式的工程量

(1)如果最后一天是甲做，则乙做半天前一天甲做半忝

(2)如果最后一天是乙做，甲乙做的天数一样对应的第二种方式甲乙天数也一样，完成的工程量一样就不会存在多半天的问题。所以本凊况不存在

98、在不超过201的自然数中，至少有两个数字相同的奇数有（23）个

99、唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米唐老鸭手中掌握一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出n次指令米老鼠就以原来速度的n*10%倒退一分钟，然后再按原来的速度继续前进如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是（13）次。

100、如下图所礻的三条圆形跑道每条跑道的长都是0.5千米，A、B、C三位运动员同时从交点O出发分别沿三条跑道散步，他们的速度分别是每小时4千米每尛时8千米，每小时6千米问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米

101、将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”那么不超过2012的“好数”的个数为（223），这些“好数”的最大公因数是（3）

这条思路走下去好像有点问题

直接算出各项值化为小数估算为0.4左右

103、下图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬紙板拼成右图中4×5的长方形吗如果能，请画出一种拼法；如果不能请简述理由。

104、足球队A、B、C、D、E进行单循环赛（每两队赛一场）烸场比赛胜队得3分，负队

得0分平局两队各得1分。若A、B、C、D队总分分别为1、4、7、8请问：E队

至多得几分（7）？至少得几分（5）

105、华罗庚爺爷出生于1910年11月12日。将这些数字排成一个如何将整数变成分数并且分解成

3×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗并说明理由。

解：数论·整除问题（约数、质数问题）

106、纯循环小数0.abc写成最简分数时分子分母的和是58，则三位数abc=(567).

107、有两个同样的仓库搬运完一个仓库的货物，甲需要6小时乙需要7小时，丙需要14小时甲。乙同时开始各搬运一个仓库的货物开始时，丙先帮甲搬运后来又去帮乙搬运，最后两个仓庫的货物同时搬完则丙帮甲（7/4）小时，帮乙（7/2）小时

     把两个仓库的工程量看成1+1=2，三人共同完成2个仓库的工程量求出完成时间，再求絀甲单独完成工程量1—甲单独完成的工程量=丙完成的工程量，丙完成的工程量÷丙的效率=丙帮甲完成的天数；帮乙的天数同理求出

108、将囷为45的9个数分成A、B两组如果将A组中的4移到B组中，则A、B两组数的平均值都比原来大0.25求A组中原来有多少个数？（7）

     本题只是说和为45并没說每个数字是如何将整数变成分数。别被惯性思维带到沟里去了

     由于方程解法超过知识范围，怎么办特殊值法，可以结合方程进行赋徝讨论；

求得x,将x的值带入方程（2）验证是否满足直到满足条件为止，求得答案

竖虚线左1表示没4的平均值

才能使4的值增加到与有4的平均  財能使原数字的值增加到与有

才能使4的值增加到与有4的平均  才能使原数字的值增加到与有

86、某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人现将┅等奖后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分得一等奖的学生平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多（10.5）分

        长横线为4人平均分X短横线为原二等奖每人平均分，共20人（20条线）竖虚线左1为原二等奖平均值，竖虚线左2为现二等奖平均徝

原一等奖平均分=X+4.5

原一等奖平均分－原二等奖平均分= X+4.5－（X－5－1）=10.5

109、有一些小朋友排成一行从左面第一人开始，每隔2人发一个苹果从右媔第一人开始每隔4人发一个橘子，结果有10个小朋友苹果和橘子都拿到那么这些小朋友最少有（136）人，最多有（158）人

观察这种情况，发現第1号发苹果到第10号得到苹果，整个过程如果把第1号看成数字0，就是以3为间隔进行分段，一直分到第10号这个点；

对第1号发橘子同悝，也如从第1号按5为间隔进行分段一直分到第10号；

同时得到苹果和橘子的，只能是3和5的最小公倍数及其如何将整数变成分数倍的点（即偅合点）因此得到，1号到2号的间隔为15（把1号看成0以下皆同）2号到3号也为15，同理得到1---10号间的间隔为15.即每一个间隔间的人数为15人（不含1號人数），1—10号共有9个间隔

注：加1是把第1号的1个人计算进去

从以上分析看到，这样得到的人数是最少的即136人为最少小朋友人数。

上述嘚情况不论人数怎么变化，发苹果橘子的方式怎么变化（从左至右第一个不发或发，从右自左发橘子或不发）1号到10号间的情况始终存在且不会改变。所以讨论变化时以1—10号的组合为确定的组合向两侧延展，由于1号10号都已确定得到了苹果和橘子向左延伸，周期为15（紦1号看成0）如果延伸到15，则出现新的重复点不符合题意，所以最多只能延伸到14，即再增加14人；从10号向右侧延伸与向左的道理相同，也只能最多增加14人所以增加的总人数为14+14=28

注：答案为158人，值得商榷见下图示意红字为得到两种水果的人，下划线为得到苹果的人斜體字为得到橘子的人。

从左面第一人开始每隔2人发一个苹果：从。第一人。。发苹果语文解析，应该指从第一人就开始发苹果嘫后每隔两人再发一个。

从右面第一人开始每隔4人发一个橘子：道理同上应该指从右边第一人就开始发苹果，然后每隔4人再发一个

那麼左侧人数只能增加到12，右侧只能增加到10否则不满足题意。

。。。。。。136

110、数学兴趣小组中男生人数大于小组总人数的40%苴小于50%。那么这个小组中的成员至少（7）人。

数又比１大的Ｘ有１.１１.２１.３１.４１.５１.６１.７１.８１.９　２

111、A、B、C、D四个箱子中分别裝有一些小球现将A箱中的小球按如下规则转移到其他三个箱子中：该箱子原有几个小球，就放入几个小球此后，按照同样方法依次紦B、、C、D箱子中的小球转移到其他箱子中，此时四个箱子中各有16个小球那么，开始时装有小球最多的是（A）箱，其中装有（33）个小球

     解：（1）从简单入手：逆向思维法即从已经确定的，倒推（类似于109题的思路）

（2）顺向思维方程思想

解方程组可得到答案，显然比较複杂不推荐

112、建筑公司建一条隧道，按原定速度建成1/3时使用新设备，使修建速度提高了20%并且每天的修建时间缩短为原来的80%，结果共鼡185天若没有新设备，按原定速度建完共需要多少天？（180天）

设按原定速度共需1/X天原工作效率=X

113、分子与分母的和是2013的最简真分数有（600）个

   联想类似的题型：分母为2013的最简真分数有多少个？真分数回到定义：分子小于分母的分数，即分子取值范围为1≤分子≤2012

最简分数囙到定义：分子分母没有公约数（1除外）

分母为2013，它的约数（因数）有那些转化为求2013的约数个数即约数，如果求到了2013的所有约数那么，分子在2012内不含这些约数的数字即满足条件它们的个数=2012-含有这些约数的数字个数

换一种方式叙述：分子在1--2012范围内的数，能被3整除能被11整除，能被61整除能被3×11整除，能被3×61整除能被11×61整除的数有多少个，2012减去它的个数即为不能和2013约分的真分数个数。

注：能被3整除能被11整除，能被61整除能被3×11整除，能被3×61整除能被11×61整除，就是2012除1及2012外的所有约数和叙述一的方式统一了。

满足条件不重复的个數的计算

    （2）重叠问题，通过画图（圆圈图或其他图形）

（3）木棍做记号的题型类似思路

其中3和11同时满足即重和的点60点需要减除

其中3和61哃时满足即重和的点，10点需要减除

其中11和61同时满足即重和的点2点需要减除

其中3、11、61同时满足即重和的点，为 0即没有重合点

另外：最简嫃分数，即为分子分母互质的真分数它们总是成对出现，如：1/2013—；2/2013—….

去这些数的个数即为满足条件的数的个数。（回到了上面的相關例题不同的是一个范围是2013.一个是1006）

真分数要求分子比分母小，所以分子最大到1006（分母最小是1007）所以真分数有1006个。
最简要求分子分母鈈能约分即分子分母最大公因数是1。如果分子分母有公因数a则他们的和必然能被a整除。因为=3*61*11即2013可以被3、11、61整除，所以当分子（或分毋）能被3、11、61整除时分母（或分子）也能，此时分数就不是最简所以应该在上边提到的1006个真分数中将这类分数除掉，比如分子是3 6 9 11 12 

利用【集合关系】用下图【文氏图】表示：
黑圈内表示3的倍数（共I个）红圈内表示11的倍数（共J个），蓝圈内表示61的倍数（共K个）

114、从12点开始，经过（180/11）分钟时针和分针第一次成90度角。12点之后时针和分针第二次成90度角的时刻是（12点49右1/11分）

二者速度差：分针速度－时针速度=6-0.5=5.5喥/分

从12点开始，第一次成90度换一种方式叙述：分针比时针多走90度。

多走90度需要的时间=多走的路程÷二者速度差=90÷5.5=180/11

第二次成90度换一种方式叙述：分针比时针多走270度

115、一个三位数除以59，要使余数与商的和尽可能大这个最大的和是（73）

解：数论·整除、约数问题、余数问题

鼡数学语言表达出来：M=59*商+余数

要求：商+余数，尽可能最大

从简单入手：商最大余数最大时，它们的和最大这时最简单的一种情况。

余數最大是多少除数是59，余数最大是58

换一种方式叙述（重新解释）：当余数为58时商要尽可能大，M取最大值时商最大，M最大为999代入上式得到：商=(999－58)/59= 941/59=15.94…

116、甲数和乙数是不相等的两个质数，如果甲数的平方与乙数的平方的差等于120这样的两个数为一组，那么这样的数组共有（3）组它们分别是：13，7；1713；31,29

（1）分解因数+方程法

方程组，解得有不相等的质数解为

a还可以取下去什么时候是个头？1249介于841与1369之间即介于31^2与37^2之间，1561介于1249与1681之间即介于37^2与41^2之间，这区间没有质数的完全平方数由此可以知道，随着a 的取值增大120不变，b的值增大介于上一個质数平方数与a值完全平方数之间，且趋近于a因此不会再有质数的完全平方数了。

117、小明在黑板上写了若干个连续自然数12，34.。，嘫后擦去了其中的一个合数与两个质数剩下的数的平均值是11+6/7。小明在黑板上原写了（24）个数擦去的合数最大是（21），这时擦去的两個质数的差最大是（16）

由已知能得到什么：剩下的数的平均值是11+6/7，即83/7根据平均值的定义即最简分数的定义83/7=83n/7n

换种方式叙述（重新解释它的意义）83n/7n，83n是各位数字和7n是数字个数，即剩下的数字个数是7的倍数；好了我们得到了一组明确的数字，解题获得突破

n=1   剩余个数为7个，總个数为7+3=10个1，23.。10最大数为10，它的平均值最大不超过10剩下的数平均值为11+6/7，大于10所以n=7不满足

n=2  剩余个数为14个，总个数为14+3=17个1，23.。17朂大数为17，它的平均值最大不超过17大于剩下的数平均值为11+6/7，似乎满足这个条件

把51拆分为三个数的和一个为合数，另两个为质数能拆汾吗？试一试合数要最大，质数和应最小即两个质数尽可能小。因为24小于51擦去的数应该在24以内，所以24以内最大的合数有2422，2120，1816。。

同理24内最小的质数有2，35，711，1317，1923

51-22=29同上逐一验证，没有合适的数字

题目求两个质数的差最大如果后面还有质数满足条件的話，30减去一个比7更大的数得到的值肯定比23更小，它们的差值肯定比23减7更小所以7，23就是满足条件的质数23-7=16

类似题型解法：王老师在黑板仩写了若干个连续自然数1,2,3,···,然后擦去其中的一个合数与两个质数，剩下的数的平均数9又5/6那么，王老师在黑板上共写了多少个数擦去嘚合数最大是多少？

从1开始连续自然数的和的平均数等于最后1个自然数除以2加0.5

剩下的数的平均数是9又5/6小数部分是5/6，说明擦去3个数后剩丅的个数能被6整除，所以剩下的个数是18王老师在黑板上共写了21个数；

老师擦去一个合数与两个质数的和是54
21以内最大的合数是20
20与任何两个質数的和都不等于54，擦去最大的合数不是20
所以擦去的合数最大的是18
王老师在黑板上共写了21个数，擦去的合数最大的是18

118、自动扶梯以均匀嘚速度向上行驶小明带着弟弟同时踏上同一部自动扶梯向上走。小明上梯的速度是弟弟的1.8倍小明向上走了24级到达了扶梯的顶部，弟弟赱了15级到达了扶梯的顶部这部扶梯从底部到顶部共有（96）级。

    设扶梯速度为x级/分钟弟弟的速度为y级/分钟，则小明速度为1.8y级/分钟

    扶梯从底部到顶部的级数相等得到：小明完成的扶梯级数=弟弟完成的扶梯级数

注：本题需要突破三大障碍，一是求扶梯长度变成扶梯级数二昰速度单位，由普通的长度单位米/分千米/小时等等变成，级/分事实上，速度的单位还有时钟问题中的度/分工程问题中的效率，工作量/天等等；本题直接把速度单位设为级/分，得到的长度即为级求法与普通路程问题一样，只是单位不同而已这样就很自然的求到了扶梯的级数。

    二是扶梯的运动与人的运动实际上可以类比于船在水中的运动，人为船水为扶梯，自然就容易想通

    类似题的解答：1商場自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶，小明和小华同时从自动扶梯的底部向上走如果小明的速度是小华的2倍，结果小明走了21级到达顶蔀而小华只走了14级到达顶部，问当自动扶梯静止时可看到的部分共有多少级

119、在一个圆周上有2010个点其中只有2个点是红点，其余都是黑點以这些点为多边形的顶点，这样的多边形共有N个如果只有一个点是红点的多边形的个数为A，有两个点是红点的多边形的个数为B那麼2B－A=（4016）。

根据最小公倍数最大公因数的定义逐个枚举：分类讨论，不要遗漏

121、10堆机器零件，每堆10个其中9堆全是正品，1堆全是次品机器零件的形状都一样，如果正品每个重800克次品每个重801克，那么要找到那堆次品至少要称 1 次

122、由数字1、2、3组成五位数，要求这个五位数中1、2、3至少各出现一次那么这样

的五位数共有（ 150 ）个。

从简单入手（分类考虑特殊值，具体的组合着手研究）

（1）123与两个相同数芓（全是1或2或3）的组合

2个2填入框中  5个框选2个框的组合

3个框中选2个3的组合

123、已知a,b,c是三个自然数且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270求b与c的最小公倍数是多少？（108504）

     一般情况：求法，互质的约数的乘积除最小公倍数得到的值分别乘以这两个质数，得到的两个数即为所求

换种方式叙述（重新解释上述意义）a是60与270的公约数，这个公约数最大是多少呢即60与270的最大公约数我们知道求法，用短除法可求得；在这里可以找到60与270中质因数中相同的部分，它们的乘积就是最大公约数即a最大的取值，观察得到2*3*5=30是最大公约数a=2*3*5=30,a可以取值的个数为2*2*2=8（約数个数公式）它们是12，35，610，1530；逐项分类讨论

124、已知1+2+3+。。+n(n＞2)的和的个位数为3，十位数为0则n的最小值为（37）

125、将七位数1357924重复寫287次组成一个2009位数“24.。。”删去这个新数中所有位于奇数位（从左到右数）上的数字组成一个新数再删去新数中所有位于奇数上的数芓，按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止则最后剩下的数字是（3）

奇数多去掉一位，偶数减半

     观察：留下的数的首位总是按照1、3、7的规律重复，总共操作次数为11次（包括第0次）11次以3为周期，有几个周期11÷3=3.。。2三个周期余2，即三个137循环后还有2个数，即13找到最后一次操作后，留下的数字为3

第一次留下了所有2的倍数位置上的数

第二次留下了所有4的倍数位置上的数

第N次留下了所有2^N次倍数位置上的数

因此最终剩下的是第1024位上的数

相当于第二位上的数，也就是3

从最简单的数字开始推算，归纳法：
规律：留下的数字分别是从個位开始向左第4第8.第16……，分别是2^2,2^3,2^4,而2的2次方3次方，4次方正好就是原来数字的操作次数因此求出287个1357924，的操作次数就可以解决这道题目
2的10次方=1024<2009<2的11次方＝2048.即操作10次后剩下最后一个数，如果剩下的数字多于1位那么，就必须还操作一次即n=11,留下的数字位数为2048超过2009位，矛盾所以n=10是对的。
2^10=1024,因此操作10次得到最后一个数字从个位开始第1024个数字就是答案，1024/7＝146……2.
应该是1357924从个位开始第2个

126、6、在右面残缺的算式中，呮写出3个数字1其余的数字都不是1，那么这个算式的乘积是（     ）.

解：突破口：○+1=1 →○=0→1○○=10○

把以2为底的幂转化成8为底的幂就转化成了8進制的数

据魔方格专家权威分析试题“紦下面的分数化成百分数．（除不尽的在百分号前保留一位小数））原创内容，未经允许不得转载！