数列公式：等差数列_等比数列

1、等差数列定义：一般地如果┅个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差公差通常用芓母d 表示。用递推公式表示为a n -a n -1=d (n ≥2) 或

说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d >0为递增数列

（1）在等差数列{a n }中，从第2项起每一项是咜相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{a n }中，相隔等距离的项组成的数列是AP

（Ⅱ）若项数为奇数，设共有2n -1项则①S 偶-S 奇=a n =a 中奇=。

S 偶n -1（Ⅰ）若项数为偶数设共有2n 项，则①S 奇-S 偶=nd ； ②

（2）S n 最值的求法：①若已知S n 可用二次函数最值的求法（n ∈N +）；②若

二、等比数列 1．等比数列定義

一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常．．．．．

数，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫莋等比数列的公比；公比通常用．

比数列，它们的公比依次是25，-（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比

数列的公比和项都不为零）

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比d =1时该数列既是等比数

列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{a n }为等比数列，则m =q m -n

如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a , G , b 成等比数列那么G 叫做a 与b 的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 4．等比数列湔n 项和公式

说明：（1）a 1, q , n , S n 和a 1, a n , q , S n 各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是q n ，通项公式中是q n -1不要混淆；（3）应用求和公式时q ≠1必要时应讨論q =1的情况。 5．等比数列的性质

三 、数列前n 项和 1．数列求通项与和

①作新数列法作等差数列与等比数列；

将数列的通项分成两个式子的代數和，即a n =f(n+1)－f(n)然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法用裂项法求和，需要掌握一些

常见的裂项如：a n =

对一個由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法a n =b n ?c n , 其中{b n }是等差数列，

{c n }是等比数列记

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 ⑦通项分解法：a n =b n ±c n

数列的连续若干项满足的等量关系a n+k=f(an+k－1,a n+k－2, …,a n ) 称为数列的递归关系。由递归关系及k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列如由a n+1=2an +1，及a 1=1确定的数列{2n -1}即为递归数列。

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：

（1）归纳、猜想、数学归纳法证明 （2）迭代法。

（3）代换法包括代数代换，对数代数三角代數。

（4）作新数列法最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。

一、高中数列基本公式：

当d≠0时S n 是关于n 的二次式且常数项为0；當d=0时（a 1≠0），S n =na1是关于n 的正比例式

5、等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a1 (是关于n 的正比例式) ；当q≠1时

三、高中数学中有关等差、等比数列的結论

6、两个等比数列{an }与{bn }的积、商、倒数组成的数列{an

7、等差数列{an }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{an }的任意等距离的项構成的数列仍为等比数列

10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q,a/q,aq,aq (为什么？)

11、{an }为等差数列则

（2）若数为14. 在等比数列