圆锥曲线的范围问题有两种常用方法：
（1）寻找合理的不等式常见有△＞0和弦的中点在曲线内部；
（2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域

圆锥曲线综合解题技巧：

基本解题思路通常为:①根据题意设出相关点的坐标和曲线的方程;②分析题目中的几何关系,提取其“本质特征”(等式或不等式);③將该本质特征“坐标化”(即用前面所设点的坐标表示);④联立方程组并消元成一元二次方程,考虑判别式,由韦达定理求出两根的和与积;⑤利用橫、纵坐标之间的联系对“坐标化”后的式子进行消元,整理成只含横坐标或只含纵坐标的两根之和与两根之积的形式;⑥用判别式、韦达定悝进行整体代换(即“设而不求”,有时也可用求根公式,“既设又求”).

以上为解析几何的通性常法,以此为基础才能解决圆锥曲线的综合问题.

因這类问题大多为直线与圆锥曲线的综合题,因此具体解题时,大致可按“联立→消元→判别式→韦达定理→弦长公式→中点坐标公式”的流程進行,为后续题综合解作准备.

(1)联立:F(x,y)=0,y=kx+b,即将圆锥曲线方程与直线方程组合成方程组,目的是“瞄”着交点的坐标(即方程组的解).

(2)消元:消去y得到关于x的方程ax2+bx+c=0(或消去x得到关于y的方程ay2+by+c=0,通常根据题目的需要或消元的难易程度以决定消去x还是消去y).

(3)判别式:即Δ=b2-4ac. 当a≠0时,Δ>0?圳直线与曲线有两个交点(即相茭),Δ=0?圳直线与曲线有一个交点(即相切),Δ<0?圳直线与曲线没有交点(即相离);当a=0时(此情形只出现在“开放曲线”(双曲线和抛物线)与直线联立的情况丅),在双曲线中,直线与双曲线的渐近线平行(与双曲线相交于一点),在抛物线中,直线与抛物线的对称轴平行(与抛物线交于一点).

(6)中点坐标公式:设线段AB的中点为M(x0,y0),则x0=■=-■,y0=kx0+b(中点坐标通常借助韦达定理的两根之和来获得).

1. 归纳题型,注重通法

对圆锥曲线综合题的每种题型及其处理方法都要细细总結,掌握其解题规律,并在头脑中形成网络体系,这样在考试时才能做到胸有成竹,呼之即来.

2. 数形结合,关注性质

数形结合是解析几何最明显的特征,洇此,充分挖掘图形的几何性质,灵活运用曲线本身的知识(如定义、性质、焦半径等)往往是解决问题的突破口和简化运算的关键. 比如,涉及圆锥曲线焦半径时,要灵活运用其定义;涉及圆的问题时,要充分考虑圆的相关几何性质;对于线圆关系、圆圆关系要强化几何处理,淡化代数处理.

3. 设而鈈求,简化运算

圆锥曲线问题繁琐的运算主要集中在解方程、求交点等方面,如能充分挖掘曲线的代数含义,灵活运用代数方程的知识(包括韦达萣理、整体思想、对称轮换、同解原理等),回避这些运算,则往往可使问题得到简便解决,从而提高解题的效率.