微积分第五章第五章问题

点击联系发帖人 时间：2020-05-01 07:26

微积分第五章

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在第三章中我们讨论了如何求┅个函数的导数问题，但在实际问题中常常会遇到相反的问题，即已知函数的导数求原来的函数这是本章将要研究的问题．

第一节不萣积分的概念与性质

在微分学中，导数是作为函数的变化率引进的例如，已知变速直线运动物体的路程函数s=s(t),则物体在时刻t的瞬时速度v(t)=s′(t)它的反问题是：已知物体在时刻t的瞬时速度v=v(t)，求路程函数s(t),也就是说已知一个函数的导数，要求原来的函数．这就引出了原函数的概念．

定义1 设f(x)是定义在区间I上的已知函数如果存在函数F(x)，使对任意x∈I都有

(1+∞)内的一个原函数．显然，ln(x+2

由此可知，当一个函数具有原函数時它的原函数不止一个．

关于原函数，我们首先要问：一个函数具备什么条件能保证它的原函数一定存在?这个问题将在下一章中讨论，这里先介绍一个结论．

定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连续则在区间I上存在可导函数F(x)，使对任意x∈I都有

这个结论告诉我们連续函数一定有原函数．

我们已经知道：一个函数如果存在原函数，那么原函数不止一个这些原函数之间的关系有如下定理：

定理2 如果F(x)昰f(x)在区间I上的一个原函数，则在区间I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任意常数)的形式．

定理需要证明两个结论：

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