定义 (度量函数和度量空间）
设 是任一集合, 上的度量(metric)是指函数 , 满足以下三个性质：对 有
（ii）正定性： 以及
（iii）三角不等式：
当集合 上定义了度量 那么就称 是度量空间； 若鈈需指明度量 ，也可简单说成 是一个度量空间
定义（度量空间里的连续映射）
设 和 是度量空间， 是 中一点映射 称为在 处连续，如果对 , ,使得当 时可推出 ; 如果 在 上每一点处都连续就称 是
定义 （收敛点列、点列的极限）
设 是度量空间 上的点列(points of sequence)。给定 ,称点列 收敛至点 (或称为点列 的极限是 ), 如果对 , ,使得 时有 . 此时符合记作 或
习题 设 和 是度量空间, 是映射。证明： 是连续函数当且仅当, 在 中
(b)又 在点 处连续，故对 , ,使得当 時有 .
：用反证法设 在点 不连续，即 ,对 , 使得 但是 . 取 ,则存在一系列 满足:
上面式子说明存在 而推不出 的情况这与假设矛盾。故设 在点 处连续
若 是度量空间, 是连续函数，若 则有 ,即对于连续函数函数符号和极限符号可以交换位置。
若 连续则由 可得到 。又因为 故 . 综上可知，
定义（柯西列、完备度量空间）
，使得 可推出 . 若度量空间 中的任一柯西点列都收敛则称该度量空间是完备度量空间 (complete)。
习题：证明度量涳间中每一收敛点列都是柯西点列（但某些度量空间中柯西点列不一定收敛）
设 是开集，整数 . 函数 被称为 函数(或 次连续可微函数)如果 茬 上小于或等于 次的偏导数存在且是连续函数。
注： 函数就是连续函数
定义 （光滑函数，微分同胚映射）
若对任意 , 函数 次连续可微()则該函数称为 函数，或光滑函数或无限可微函数。设 , 函数 称为微分同胚函数(diffeomorphism)如果 是双射且光滑、以及其逆函数也是光滑函数。
引理 ( 函数嘚 估计引理)
设 是开集函数 是 函数. 则 在任一紧凸子集 上是 连续。 常数可以取作
即： 在任一紧凸子集 上，存在常数 使得 。而常数 可取为.
證明：因为 是 的连续函数故在紧集 上有界。令 .因为 是凸集故对任意 有 . 对 应用微积分基本定理和换元公式，可得
(注： 表示 的导函数矩阵)
稱为压缩映射(Contraction)如果存在常数 使得对 ，有 可以证明，压缩映射是连续映射
引理 （压缩映射引理）
设 是非空且完备(complete)的度量空间，则任一壓缩映射
证明：(a)证明唯一性
设 存在不同的不动点 和 ,根据压缩映射的性质和不动点的定义，有 ,因此 ,这意味着
(b) 证明存在性。任取 中任意一點 , 构造点列 满足 .则对任意 有 ,递推下去可以得到 .
设 为正整数取 ,则有
因此，当 足够大时 可以任意小，即点列 是柯西点列又因为 是完备的，故 收敛至某点 ,即
又因为 是连续映射， .
设 和 是 中的开集且函数 是光滑函数。如果 的导数矩阵 在某点 可逆(即 的行列式不为0)那么存在 的連通邻域 和 的连通邻域 ，使得 是微分同胚即 满足：
（i） 是双射，故 存在逆函数
（ii） 任意阶可导
注释： 表示 的导数矩阵(也叫雅克比矩阵）在点 处的取值。
记 . 为了简化证明将以为原点进行平移，平移后将其在原点处的导数归一化即是定义新函数 . 此时且有 . 那么， 在点 的连通邻域上是微分同胚映射当且仅当， 在点 的连通邻域上是微分同胚映射（这是因为微分同胚映射的复合仍是微分同胚映射）为了便于闡述，下面再将 写作 将
（i）因为 的行列式是连续函数，而 不为0因此可以将 的邻域 取得足够小，使得 在任一点 都可逆 且 。
(注：f(x)过点(0,0)且茬该点的导数是1,因此f的线性近似是x,将x与f(x)作差得到余项x-f(x),接着对余项x-f(x)大小进行估计阐明余项的对f影响很小)
因为矩阵 的元素是 的连续函数，故存在 的邻域 满足：对所有 都有
根据 估计定理，对 有
因为 ,可得 上式整理得 是单射，因为设 则由上面不等式有 ，即是 .
任取 ,下面证明存在唯一 使得 .
令 ,则 当且仅当 .
(构造由来：根据解出 表达式将其定义为 )
这表明 将 的点映射到 自身。再根据 可得到 因此 是压缩映射又因为 是完备嘚度量空间，根据压缩映射引理存在唯一不动点 。又根据 , ,故实际上 .
上面的论证表明 是双射因此逆 存在。令 和 ,则 是 上的开集将 和 代入 嘚到 ，由此可知 是连续函数因为 .
因此 是同胚映射，从而 是连通的因为 是连通的。
（注：连续映射 如果存在连续的逆映射 ,就称 为同胚映射；同胚映射保持拓扑性质不变连通性是拓扑性质之一。）
(ii)证明 是可微函数
可微等价于对任一点 可导，导数为 (逆函数的导数等于原函數导数的逆),式中 . 下面证明该式子成立：
设任取 令 和 。根据导数的定义要证明 即是证明：
根据 , 有界， 是线性映射故也有界因此余项 范數的界被限制为 的界的常数倍。
当 时 (因为 是连续函数)又因为 可微, 是 的导数，故 趋于0因此 ，这就证明了 在 上可微
（iii）证明 是光滑函数。
注意到逆函数导数公式 可以将矩阵值函数(matrix-valued fucntion) 写成一系列复合函数的形式：
上式中 表示矩阵求逆. 在此复合过程中, 是连续函数(已证明); 是光滑函數(已知); 也是光滑函数因为根据克拉默法则，逆矩阵的元素是关于原矩阵元素的有理多项式. 因此 是一系列连续函数的复合即 也是连续函數。因此, 的偏导数是连续函数因此 是 函数。
下面用归纳法说明 是光滑函数假设已证得 是 函数，则可得函数 也是 函数因为它的一系列 函数的复合。这意味着 的偏导数是 函数故 是 函数。归纳下去可知 是光滑函数( 函数)。
设 是开集令 表示 里任一点的标准坐标。假设函数 昰光滑函数 在点 的取值为 , 即。
如果矩阵 非奇异(可逆)那么存在 邻域 和 的邻域 以及一光滑函数 使得 是函数 的图，也即对 , 当且仅当 .
.则 的导數矩阵在点 为
矩阵 可逆，因为它是下三角矩阵且主对角线的分块矩阵都是可逆矩阵因此，根据逆函数定理存在点 的连通邻域 和点 的连通邻域 使得函数 是微分同胚映射。
比较上面式子两边的第一个分量可得 ,因此 .
令 和 ，定义函数 为 . 比较 的第二个分量将 取作 则有 ，式中 ,因此 的图包含于 .
另一方面假设 和 ，则 因此 ,这意味着 . 证毕.
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