一筐鸡蛋：1个1个拿，正好拿完；2个2个拿，还剩1个；3个3个拿，正好拿完；4个4个拿，还剩1个；5个5个拿，还差1个；6个6个拿，还剩3个；7个7个拿，正好拿完；8个8个拿，还剩1个；9个9个拿，正好拿完。问：筐里最少有多少个鸡蛋？

“有高手没？算算吧！算不出转发其他群，看看哪个群里高手多”。经激将，终于有“高手”绞尽脑汁给出了答案：1449个。这个数字经验算是正确的。问题是：它是怎么得来的；是否满足了“最少”的条件。看来,如果缺少必要的推算步骤，那么问题仍不能算作已经解决。

此题从逐个拿到9个9个拿共有9个剩余条件。但是第一个条件无意义，因为鸡蛋不管有多少，1个1个拿都不会有剩。第二个条件只指出答案应是单数，况且已知4个4个拿和8个8个拿都剩1个，所以也无多大意义。接下来，第三和第四个条件也是多余的，因为9个9个拿既然能正好拿完，那么3个3个拿也必定正好拿完；8个8个拿既然还剩一个，那么4个4个拿也必定只剩一个。如此说来，对解题有意义的只是从5开始的五种拿法、五个条件。

另外，鸡蛋只能论个，所以这里涉及的都是正整数。据此，本题在本质上可以改述为：求一个最小的正整数，它除以5余4，除以6余3，除以7余0，除以8余1，除以9余0。

虽然整数的除法连小学生都会，但是你要是从9开始把正整数一个个拿来试的话，那就太费时间了，即使每天试算100个数，也需两星期才能试出，而且还不能有错。看来得另想办法。

       办法是有的，不过要用到同余理论。如果你还不知道何为同余，那么下一节就不能跳过不看。

       整数相除，只要不能整除，就会产生余数。反之，整除可以看成余数为零的特殊情况。

同余指的是两个整数分别除以同一个整数时所得的余数相同。例如26和14除以6的余数都是2，于是称26和14在除数为6时同余。如果用符号≡表示同余，用括号（）来补充说明除数是多少，则上述的同余关系可以写成：26≡14(mod 6)。这里的英语单词mod可以音译成“模”，模指的就是除数。

n)，读作“a和b对模n同余”（模n，就是说除数是n）。像这种表达同余关系的数学式就叫做同余式。它有点像等式，但a=b是相等关系，而a≡b则是同余关系。26≡14 的意思绝不是说两者相等。

n)也可以解读为“a除以n余b”。下面遇到的情况基本上都是如此。

另外，以上的a、b、n都如同26、14、6一样，被认为是已知数。一旦同余式中存在未知数，那么这个同余式就被称作同余方程。特别是，形如 ax≡b(mod n) 的方程，由于未知数x的次数只是一次，所以专门称作一次同余方程，或线性同余方程。

n)，其中a、b、n都是已知数，m是未知数，我们怎样得知它有没有解，以及有解的话有几个解呢？判决的规则是这样的：假如a和n的最大公约数是d，而d又能整除b，那么方程就有解，而且恰好有d个解。

中，3和6的最大公约数是3，但3不能整除2，所以方程无解。

6)。其中4和6的最大公约数是2，而2能整除2，所以方程有解，且有两个解。

至于解的具体求法,则因题而异。此类题的方程不只一个，而是联立的一组。如果这组方程的几个模两两互质，那么求解就有一般的公式可以套用。但在我们的问题里，由于除数6和8、9 都不互质，所以只能利用余数的性质来求解。

余数的性质有很多，我们用得上的就这一个。所用之处是：已知两数乘积的余数以及一个乘数的余数，求出另一个乘数的余数。方法是用乘积的余数除以一个乘数的余数，不够整除就加一次模，还不够就再加。例如，已知9m÷7余6，其中m为正整数，问m÷7余几？答：因为9÷7余2，而乘积的余数是6，除以乘数9的余数2得3，因而 m÷7余3，而且m至少是3。

设所求的数（筐里最少的鸡蛋总数）为S。据题设，S能被7和9整除，所以它一定等于63的倍数，可以写成63m，其中63=7×9是7和9的最小公倍数，而未知数m则是另一个大于1的正整数。

又，S除以5余4，除以6余3，除以8余1。将S换作63m后，可列出线性同余方程组如下：

按照上述的判决规则，在方程(1)中，63和5的最大公约数=1，1能整除4，所以方程(1)有解，且只有一个解；在方程(2)中，63和6的最大公约数=3，3能整除3，所以方程(2)有解，且有三个解；在方程(3)中，63和8的最大公约数=1，1能整除1，所以方程(3)有解，且只有一个解。

     【第二步】运用余数性质，分别求出三个方程中m对不同模的余数。

现在问题可以进一步归结为：求一个正整数m，它除以5余3，除以6余1或3或5，除以8余7。

为简单计，先在m÷6的三个可能的余数中取5，即设m÷6余5。这时应注意到m÷8余7，就是说，m只要加上1，就能同时被6和8整除。而6和8的最小公倍数是24，所以m最小等于24 -1=23。经验算，m=23这个结果同时也能满足除以5余3的条件，所以肯定是问题的一个解。但是它是否最小，还需检查一下当m÷6余1或余3时的情况。

如果m÷6余3，那么m减去3之后就能同时被6和5整除，因为m÷5也余3。而5和6的最小公倍数是30，因而在这个剩余条件下m最小应是30+3=33。这个数已比23大10，而且还不满足除以8余7的条件，故应舍弃。

满足除以5余3这个条件的m的可能值有：3、8、13、18、23、28、33……

满足除以6余1这个条件的m的可能值有：1、7、13、19、25、31、37……

满足除以8余7这个条件的m的可能值有：7、15、23、31、39、47、56……

比较可知，在m÷6余1的情况下，在小于23的范围内，并没有能够同时满足三个条件的m值，可见m=23应当是最小的解。

与本题同类的应用题，最早见于我国南北朝时期成书的《孙子算经》。此书下卷的第26题现在被称作“孙子问题”或“物不知数”题。题的原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”

如果把这里的“物”具体化为鸡蛋，把三三、五五、七七数之，扩展为五五、六六、七七、八八、九九数之，那么孙子问题就变成我们上面所讨论的拿鸡蛋的问题了。只不过孙子问题中的除数3、5、7是两两互质的，因而可以有一般的解法:答数 = (三三数之的余数×70+五五数之的余数×21+七七数之的余数×15)

孙子在算经中给出的，正是上述这种不管剩几都能适用的一般解法。而我们的问题只是就事论事，能算出满足题设的具体数字即可。相比之下，孙子问题虽然数据简单，但就题目的最终目的而言，它比我们拿鸡蛋仅仅要求得出1449这个具体数字要困难得多。正因为如此，我们说：拿鸡蛋“这道题做不出就太丢人了”。要知道，“物不知数”这类题早在一千五百年前就已经出现并有人解答了。