21. 设H，K为有限群G的子群，证明

因H∩K为H的子群，那么可设H的左陪集分解式为

而M为G的正规子群，故

任取a∈MN, 可设a=mn(m∈M，n∈N).因为M和N为G的正规子群，对任意g∈G，有

所以MN为G的正规子群.

作一个MN/N到M的映射f[注]，

那么该映射显然是一一对应，另外

因此f为MN/N到M的同构映射，即MN/N与M同构.

1. 只要M和N的一个是正规子群，那么MN就是子群，或者说成立MN=NM.这一点我们从(i)的证明方法2可知.

2. M和N中有一个不是正规子群时MN一定不是正规子群. [注意]

因此，C(S)是G的子群.

接着证明N(S)都是G的子群.

24. 证明任意2阶群都与乘法群{1，-1}同构. 证明：略.

25. 试定出所有互不相同的4阶群. 解：

我们分类讨论:(1)存在四阶元；(2)不存在四阶元.

(1) 若存在一个四阶元，并设a为一个四阶元，那么该四阶群为.

26. 设p为素数.证明任意两个p阶群必同构. 证明：

易知当p为素数时，p阶群必存在一个p阶元，即p阶群必是p阶循环群，故两个p阶群必同构.

27. Z为整数环，在集合S=Z×Z上定义

证明S在这两个运算下成为幺环. 提示：(1,0)为该环的单位元素. 证明：略.

28. 在整数集上重新定义加法“”与乘法“”为

试问Z在这两个运算下是否构成一环. 答：不构成环.

29. 设L为交换幺环，在L中定义：

这里e为单位元素，证明在新定义的运算下，L仍称为交换幺环，并且与原来的环同构. 证明：

(i)证明L在运算下构成交换群：

同时由的定义还可以得到

(ii)证明L中运算满足结合律和交换律：容易证明这里略过. (iii)证明乘法对加法满足分配律： 因为

3. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等.现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.

定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”.

例如：32是“纯数”，因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位.