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1、,离散数学,1,数理逻辑简介,一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子,其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。” 请问这个人说得对吗？他是怎

2、么推导出来的呢？,,离散数学,2,数理逻辑简介,前提,结论,推理（规则）,,离散数学,3,逻辑学:研究思维(或推理)的形式结构和规 律的学科。利用数学方法研究思维(或推理)的形式结构和规律的学科，称作数理逻辑。,数理逻辑,数理逻辑的基本内容：命题逻辑(演算)、谓词逻辑。它们对电子元件设计和性质分析，对逻辑程序设计语言的研制具有十分重要的意义。（数字电路）,,离散数学,4,第一章 命题逻辑 1.1 命题符号化及联结词 1.2 命题公式及分类 1.3 等值演算 1.4 联结词全功能集 1.5 对偶与范式

3、散数学,5,一、命题的概念,命题：能够判断真假的陈述句。 这种判断只有两种可能，一种是正确的判断，一种是错误的判断。,1.1 命题与联结词,命题真值：命题的判断结果. 判断为正确的命题称其命题真值为真(1) ； 判断为错误的命题称其命题真值为假(0) ； 命题是具有唯一真值的陈述句。,,离散数学,6,例1 判断下列句子中哪些是命题。,(1) 2是素数。 (2) 2

4、),(是),(是),(是),(是),(否),(否),(否),(否),(否),,离散数学,7,解题思想： 判断一个句子是否为命题，一看它是否为陈述句，二看它的真值是否唯一(与我们是否知道无关)。,,离散数学,8,二、与命题相关的几个概念,1、简单命题(或原子命题)： 命题为简单的陈述句，不能分解成更简单 的句子。一般用英文字母p, q, r, 表示。,2、命题常项(或命题常元、常量)： 由于简单命题的真值确定，故又称之为命题常项 或命题常元。 如例1中的陈述句(1) (2) (3) (4) (5)。,,离散数学,9,二、与命题相关的几个概念（

5、续）,3、命题变项(或命题变元、变量)： 真值可以变化的简单陈述句，但它不是命题,也可以用p,q,r等表示。 如例1中的陈述句(6) (5x + 1 11)。,4、复合命题： 由简单命题用联结词联结而成的命题。 命题逻辑主要就是研究复合命题。,5、命题的符号化： 用符号来表示命题。,,离散数学,10,三、联结词,先看一个例子： 例2：判断下列命题是否为复合命题，说出其联结词。 (1) 3不是偶数。 (2) 2是素数和偶数。 (3) 林芳学过英语或日语。 (4) 如果角A和角B是对顶角，则角A等于角B。 (5) 我去上街当且仅当我有时间。,(非),(且),(或),(如果,则),

6、(当且仅当),,离散数学,11,常见的基本联结词有以下五个：,,离散数学,12,例如：李平既聪明，又用功 p q 李平和张文是同学。 （简单命题） (不但而且.) , (虽然但是)和，与 p5,2. 合取联结词 “ ”，读作“ 合取”，且。 写法： p q p q 为真当且仅当p 与q 同时为真,,离散数学,13,3. 析取联结词“ ”，读作“ 析取” “或”，写作“ p q”，一般指代自然语言中的“ 或”，“ 要么，要么”，“ 不是，就是”等。 p q 为真当且仅当 p 与 q 中至少一个为真。,例如： 王燕学过英语或法语。 p q (

7、是相容或，即两命题可同时为真） 选王燕或李燕当班长 （排斥或） （p q) ( pq) 思考: “王燕在教室或在寝室”. 如何符号化?,,离散数学,14,4. 蕴涵联结词“ ”，读作“ 蕴涵”，写法：pq， p表示前件(q的充分条件），q为后件（p的必要条件）,常指代自然语言中的“ 如果，那么”，“ 只要，那么”，“ 只要，就”，“ 若，则 ” p q 为 假当且仅当 p 为真且 q 为假。/注意事项,例题1.6 将下列命题符号化。 (1) 如果我上街，那么我就去新华书店看看。 (2) 如果雪是黑色的，那么太阳从西方升起。,解: (1) 设 p：我上街；q：我去新华书店看看。

8、符号化为:pq。 (2) 设p：雪是黑色的；q：太阳从西方升起。符号化为:pq。,,离散数学,15,只要天下雨（p)，我就坐公交车上班(q)。 p q ，或 q p （不能： p q ，或 q p） 只有天下雨（p) ，我才 ( 可能）坐公交车上班(q) 。 p q 或 q p (不能： p q 或 q p ),,离散数学,16,只要a能被4整除,

9、符号化: p q ? 如果3 +3=6 , 则雪不是白色的. 符号化: p q ?,,离散数学,17,5. 等价联结词“ ” ，读作“ 等价”，写法：PQ。常指代自然语言中的“ 当且仅当”。 p q 为真当且仅当 p 与 q 真值相同,例如： 2+2=4当且仅当3是奇数 可符号化为： p q （其中：p: ? , q: ? ) 优先级：

将下列命题符号化,设p:李文和李武是兄弟，则符号化为p,设p:天下雨,q:我骑自行车上班,则符号化为q p,设p:天下雨,q:我骑自行车上班,则符号化为p q,设p:李平聪明，q:李平用功,则符号化为 ( p) q,解题步骤: (1) 分

11、析出各简单 命题，并符号化； (2) 使用合适的联 结词，把简单命题 逐个联结起来，组 成一复合命题的符 号化形式。,,离散数学,20,例3 将下列命题符号化（续）,(6) 2 + 2 4，当且仅当3不是奇数。 (7) 小王现在在宿舍或在图书馆。 (8) 选小王或小李中的一人当班长。 (9) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 (10)王一乐是软件学院的学生, 他生于1994年或1995 年, 他是三好学生。,设p:2 + 2 = 4，q:3是奇数, 则符号化为 p q,设p:小王在宿舍，q:小王在图书馆,符号化为p q,设p:选小王当班长，q:选小李当班长,则符号化为

小学数学常见数学思想方法归纳与整理

对应是人们对两个集合元素之间的联系的一种思想方法。小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想 。如直线（数轴）上的点与表示具体大小的数的一一对应，又如分数应用题中一个具体数量与一个抽象分数（分率）的对应等。对应思想也是解答一般应用题的常见方法。

这是解决数学问题的重要策略。是由一种形式变换成另一种形式的思想方法。如几何形体的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等。在计算中也常常用到转化，如甲÷乙（零除外）=甲×，又如除数是小数的除法可以转化成除数是整数的除法来计算。在解应用题时，常常对条件或问题进行转化。通过转化达到化难为易、化新为旧、化繁为简、化整为零、化曲为直等。

数学的思维离不开符号的形式（图、表），这样可大大地简化和加速思维的进程。符号化语言是数学高度抽象的要求。如定律a.b=b.a，公式S=vt等都是用字母表示数和量的一般规律，而运算的本身就是符号化的语言。所以说，符号化思想方法是数学信息的载体，也是人们进行定量分析和系统分析的一种载体。

分类的思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如对自然数的分类，若按能否被2整除可分为奇数和偶数，若按约数的个数分则可分为质数、合数和1。又如三角形既可按角分，也可按边分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性。数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。

比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

6、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。

它是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。

假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法，有时可以借线段图逆推。

把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。

集合思想是近代数学的最基本思想，许多重要的数学分支，如数理逻辑、实变函数、概率统计等都建立在集合理论的基础上。小学数学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合的思想。如在数的认识时出现韦恩图，在讲述公约数和公倍数时孕伏了交集的思想方法。

12、数形结合思想方法：

数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数。一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化；另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。

数据处理方法随着现代化的发展进程，越来越深入到社会生活的各个领域。小学数学中的统计图表是一些最基本的统计方法。求平均数应用题就是体现出数据处理的思想方法。数学课程标准在学习内容制订中就十分强调要发展学生的统计观念。

事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。这个变化过程中存在一个“关节点”，在小学数学讲述圆的周长、面积知识时，就以“极限”为“关节点”。“化曲为直”地从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。

15、有序的思想方法：

思维要有序，即要按照一定的顺序，有条理地，全面地观察和思考问题。如果思维无序，观察或思考时杂乱无章，就容易造成思维的重复或遗漏。 例15

对数学问题的观察和分析应从宏观和大处着手，整体把握，化零为整往往不失为一种更便捷更省时的方法。

恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。在小学数学教学中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。

18、运动的思想方法：

运动是永恒的，静止是相对的。用运动的、变化的眼光看事物，往往最能把握事物间的本质联系。如几何中的点到线，线到面，面到体，变化的根本原因就在一个“动”字。

19、数学模型的思想方法：

所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析、综合概括等思维过程，达到简化和假设。它是把生活中实际问题转化为数学问题（模型）的一种思想方法。培养学生用数学的眼光去认识和处理周围事物或数学问题，乃数学教学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。

20、变中抓不变的思想方法：

在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓“不变量”作为突破口，往往问题就可迎刃而解。

除了以上介绍的这些主要思想方法外，小学数学还有其它的一些思想方法，如倒推法、类比法、列举法、假定法、实验法等。

第一章 极限、连续与求极限

基本性质：极限的不等式性质，局部有界，极限保号定理（在证明题中时常用到）；两个重要极限。

极限存在的判别：可用两个准则（夹逼准则和单调有界数列必收敛定理）；双侧极限（左右极限相等）

证明极限不存在：在其定义域内取特殊值法

无穷小的概念及其应用：无穷小与极限的关系（可对难求的极限进行转换）；高阶无穷小、低阶无穷小、等级无穷小、同阶无穷小 、k阶无穷小的概念；牢记常见的等价无穷小替换；熟悉无穷小重要性质；无穷小确定方法（等价无穷小、洛必达法则、泰勒公式、无穷小的运算性质）

利用连续函数，利用函数极限求数列极限，利用导数定义求极限，分别求左右极限。（以下重点掌握）利用幂指数和极限的四则运算，变量代换为两个重要极限，等价无穷小，洛必达法则，夹逼准则（放缩法），递归数列求极限（实际应用单调有界数列必收敛定理），定积分在定义的应用（有两种形式，可先用放缩法再用定积分定义），泰勒公式（记住几种常用泰勒公式）。

求极限首先看清楚是什么型的极限，如0*无穷、无穷减无穷等，都化为0/0型或无穷比无穷型。之后考虑化简（重点要先化简）再运算。如指数形式的极限一般先用指数换底公式后转换为0/0型或无穷比无穷型再进行运算。对于含有积分限的极限，先化简，再化为0/0型或无穷比无穷型，再用洛必达法则去掉积分号。

（总之求极限显审题再化简最后应用求极限方法）

换元法、放缩法、分子或分母有理化、通分、同时除以一个x变为分数后再换元、提出公因式、因式分解、常见的几个数列求和公式、对数的四则运算、三角函数公式（二倍角、和差化积、万能公式等）、含有积分的可以应用分部积分来化简。

一般用到等价无穷小，；洛必达法则，泰勒公式。

函数连续和间断的判别：

函数连续：初等函数在其定义域内的都连续。

连续性运算法则（由初等函数复合）

判断函数在x0点的左右极限是否等于该点函数值。（应用该判定可以求出函数中

第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点等（左右极限存在）

第二类间断点：除去第一类间断点外都为第二类间断点

连续函数的性质：（证明题）

连续函数零点定理（零点定理的应用1，闭区间上2，开区间上（边界点有定义，补充定义后用零点定理）3，开区间上（边界点没有定义，在边界点处求左右极限判断两个边界点是否异号，如果异号可用零点定理）

连续函数介值定理（减去一个常数可转化为零点定理问题来解决，即构造函数）

连续函数零点和介值定理都可以和微分中值定理和泰勒公式联合起来求含有一阶二阶导数和高阶导数的恒等式。

连续函数在闭区间上有界及连续函数在闭区间有最大最小值（可和泰勒公式和洛必达法则，微分中值定理联系来证明不等式）

方程的根的个数（构造函数后应用零点定理）

应用反证法来证明恒等式成立

第二章一元函数的导数与微分概念及其计算

导数应用：当求导法则失效时候可以用导数定义求导数

左右导数：函数f（x）的左右导数x0存在且相等则函数f（x）的在x0处可导。 一阶导数和二阶导数的几何意义和物理意义

微分应用 ：函数f（x）在x=x0出的微分是该函数在x=x0处函数增量的线性主要部分（其几何意义）

导数的奇偶性：f（x）在I上可导，若f（x）在I上位奇（偶）函数，则f（x）在I上为偶 （奇）函数。

导数的周期性：f（x）在x上可导，并以T为周期，则f（x）在x上也以T为周期。 两个函数复合的可到性判断：设F（x）=g（x）*f（x），f（x）在x=a连续，但不可导，有g（x）在x=a处可导，则g（a）=0是F（x）在x=a可导的充要条件。

按定义求导数（求导法则不能用、分段函数求导）、利用导数定义求极限。

基本初等函数求导公式、导数四则运算、复合函数求导（幂函数、反函数、隐函数、参数方程、变限积分）、分段函数求导（三种形式）（方法一：按求导法则分别求连接点出的左右导数；方法二：按定义求连接点出的导数或左右导数；方法三：连接点是连续点时，求导函数在连接点处的极限值）。

幂函数求导（先用换底公式或两边取对数）变限积分求导（先用换元法变换积分限）（先化简再求导可以使运算简便）

重要题型：变换求导方程，使x自变量、y因变量变换为y自变量、x因变量

高阶导数和n阶导数的求法：

归纳法求得的几个常见的函数高阶求导公式（最好牢记）

分解有理函数、无理函数或三角函数化为几个常见的函数高阶求导公式；牛顿莱布尼兹公式；泰勒公式。

一元函数微分学的应用：

几何应用：求显示方程、参数方程、极坐标方程、隐函数方程的平面切线。

物理应用：棒的密度、导向线内电流强度、求物体在T温度下的比热、、功率。

1. 小学数学中常见的数学思想方法有哪些？

答：小学数学中常见的数学思想方法有：转化思想、集合思想、数形结合思想、函数思想、符号化思想、对应思想、分类思想、归纳思想、模型思想、统计思想等。

2.小学生应该形成的基本活动经验有哪些？

答：小学生应该形成的基本活动经验有操作、观察、实验、猜测、度量、验证、推理、交流。

（1）、基本数学活动经验。我们大致把数学基本经验分为：日常生活中的数学经验，社会科学文化情境中的数学经验，以及纯粹数学活动累积的数学经验。

（2）、日常生活中的数学经验。

第一类:可以直接拿来促进学生数学学习的生活经验。

第二类;可以通过类比来促进学生数学学习的生活经验。

第三类:可能对学生的数学学习产生负面影响的生活经验。

第四类：包含着一搬规律的生活经验。

（3）、关注学生生活经验、积累生活中的数学活动经验。

（4）、围绕新课程下的数学教学，我们要帮助学生积累生活中数学活动经验，应该依据学生生活经验、利用学生生活经验、提升学生生活经验。

（一）依据学生生活经验

（二）利用学生生活经验

（三）提升学生生活经验

3.简要谈谈学业评价具有哪些功能？

（一）学业评价的基本功能：巩固功能、反馈功能、矫正功能。

（二）学业评价的新增功能：发展功能、激励功能、沟通功能

另外，学业评价的功能还有选拔功能、自测功能、展美功能、育人功能等、这些功能不是单一的、孤立的，而是相互联系、相互促进的，有时还是相互转化的。

4、具体谈谈学业评价具有哪些特征？ 答：学业评价呈现以下基本特征：

一、学业评价具有系统性

(1)前测性的学业评价。前测性的学业评价可以是一节课开始之初的评价，也可以是一个教学单元甚至一门课程开始之前的评价。这种评价的主要目的是想弄清楚学生是否具备即将开始学习所必需的知识和技能，即确定学生的学习准备情况，它是进行教学活动的基础，直接关系到教学目标是否能够达成。

(2)形成性的学业评价。形成性的学业评价可以是一节课之中的评价，也可以是一个教学单元之中甚至一门课程实

施之中的评价。这种评价主要被用于监测学习进步、检测学习中的错误，并为学生和教师提供反馈。这种评价是监控学生学习进展最重要的手段，也是进一步教学的基础。对于那些在形成性评价中持续出现困难的学生，教师必须找准导致学习障碍的原因，采取切实有效的帮救措施，从而为学生的发展提供最有价值的建议。

(3)终结性的学业评价。终结性的学业评价是在一节课、一个教学单元或一门课程结束时，评估学生的学习成果达到预期目标的程度。终结性评价并非是学业评价的结束，它可以是下一轮学业评价的前测性评价，它也可以是评价体系中的形成性评价。因此，学业评价不是一次性工作，它是一项系统的、动态的一种学习过程。

二、学业评价具有综合性

(1)学科内综合。小学数学学业评价不是单一数学知识的再现，一般都具有综合性的特征。在评价范围上，不仅应该有知识与技能的评价，还要有过程与方法、情感态度与价值观等全方位的评价；在评价内容上，不仅应该有数与代数知识领域的评价，还要有空间与图形、统计与概率等知识领域的评价。

(2)学科间综合。小学数学学业评价除了具有学科内综合的特征外，一般还具有与其他学科综合的特点。在进入信息化时代的今天，小学数学还具有与现代信息技术整合的特

点。如在学习求比值以后，有位数学老师设计了一道数学题。要求学生上网查询“黄金分割与生活”这个关键词，然后把看到的最有趣的信息改编成一道数学题，并在班上交流。学生对这类作业非常感兴趣，完成作业的热情非常高。最后答案有以下几种。

三、学业评价具有差异性

(1)学生个体成长具有差异性。心理学告诉我们，遗传素质为人的身心发展提供了可能性，环境和教育规定了人的身心发展的现实性。遗传素质为人的身心发展提供了必要的生物前提。但是，要使遗传为人的发展提供的可能性能够成为现实性，关键在于后天的环境和教育。一个遗传素质较差的儿童，未必终身无所作为。在现实条件下，不同的条件、教育程度或教育专业，在很大程度上，作为一种实际的驱动机制产生着各种不相同的现实的人：文盲、工程师、艺术家，并直接导致他们身心发展的水平、性质、领域等方面的种种差别。因此，学生个体成长具有差异性。

(2)学生学业成就具有差异性。学生个体成长具有差异性，必然导致学业成就具有差异性。学业评价要依据课程目标的要求，结合教学内容和学生实际，尽量做到全体学生都有适合自己水平的评价习题。同一评价习题，可从要求上分层也可从数量上分层，要尽量使不同层次的学生在同一时间里都能完成老师交给他们的学习任务，从而体验学习的乐

趣。学业评价也可为不同层次的学生分别设计不同内容的习题，这样的学业评价并没有用一把尺子来度量他们，而是增大了思维量，拓宽了思路，调动了所有学生的学习积极性，使每个学生都在原有基础上得到了不同程度的提高。总之，学业评价应找准不同层次学生的“最近发展区”，尽量满足不同层次学生的学习需要，潜能生必须达到课程标准的最低要求，学优生尽其所能拔尖提高，使他们人人学有所获、学有所乐。

四、学业评价具有多元性

(1)学业评价主体具有多元性。学业评价要让学生、家长共同参与，主要形式有学生自评、伙伴互评、家长评价、教师评价等。首先，学生是学习的主人，也应该是自我评价的主人，要指导学生实事求是地对自己的努力程度、学习情况作出分析；同时，也要鼓励学生就教师对自己的评价提出不同的看法。其次，学生之间的相互了解度有时比教师对学生的了解更为全面和准确，学生间的相互评价往往更能够说明被评价者的实际情况；教师有必要加以引导，让学生在相互评价的过程中学会相互勉励，共同进步。另外，家长是学生校外生活的最亲密接触者，对孩子在兴趣、学习习惯等方面的情况了如指掌，家长的评价能够为教师的教学工作提供许多有价值的信息。无论是过去、现在、还是将来，数学教

师在小学生的学业评价方面的主导作用都是旁人无法取代的。

(2)学业评价内容具有多元性。数学学业评价重点关注的内容有对学生基础知识和基本能力的评价、对学生学习过程和学习效果的评价、对学生发现问题和解决问题能力的评价等。学业评价不仅要了解学生知道什么，还要关注学生是采取怎样的学习方式，通过怎样的思维活动获得发展的。学业评价重视对学生发现问题和解决问题能力的评价，考查学生能否从现象中发现并提出简单的数学问题，能否选择合适的方法解决数学问题，是否愿意与他人合作解决数学问题，能否大胆表达自己的思维过程与成果，是否养成了反思自我学习活动与成效的良好习惯，等等。

(3)学业评价形式具有多元性。学业评价要充分尊重个体间的差异，关注每一个学生的成功体验和自我发展的本能需求，这就决定了其评价形式具有多元性。学业评价的主要形式有质性评价、量化评价、延迟评价等。质性评价的典型样本是数学成长记录袋，它是用来记录学生在某一段学习过程中的活动表现的实物袋子或电子档案，如观课、笔记、计算、分析、思维、判断、推理、观察、操作、合作交流等记录。量化评价包括各种专项测试、单元考核、期终质性评价等，当然，量化评价的最终目的是为了学生更好地发展，绝不是为了给学生排名。延迟评价指如果学生在完成某次作业

时对结果不满意，教师可以给学生创造条件，在学生通过自己努力改正内容后再作出评价。

5、教师如何通过学业评价促进学生公平发展？ 答：教师要在学业评价中体现公平，要通过学业评价促进学生公平发展，分析学业评价导致学生不能公平发展的成因，找出学业评价促进学生公平发展的对策和措施。

（一）明确公平的基本特征

(1)相对性。 (2)发展性。(3)综合性。

（二）分析学业评价导致不公平的成因

(1)个体差异与相同标准。 (2)多元评价与成绩独尊。 (3)综合评价与简易操作。 (4)教师素质与同绩异果。

（三）增添学业评价促进学生公平发展的措施 (1)强调发展性评价，体现学业评价的激励性。 (2)突出综合性评价，体现学业评价的科学性。 (3)实行弹性评价，体现学业评价的灵活性。 (4)提升评价者修养，实现学业评价的公正性。 6. 数学作业有哪些功能？ 答：数学作业的功能：

(1)有效落实基础知识与基本技能。 (2)提升学生的数学素养。 (3)优化学生的学习品质。 (4)激发学生的学习兴趣。

(5)促进情感交流。作业是师生情感互动、心灵互通的纽带。

7. 简述试题的编制过程。

答：(1)制定考试说明。又称为考试标准。

拟定考试标准，首先要弄清本次数学考试的性质、目的。其次，深入研读《数学课程标准》，准确掌握考量尺度。课标是指导教育教学实践的纲领性文件，有教育“小宪法”之称。它是一切教育活动（包括考试）必须遵循的准则。考试标准的拟定，应根据数学学科的特点和性质，既要体现整体要求，又要突出重点。

它包括两项内容：一是编制试题的原则和要求，说明考试的内容范围、方法目标、试题类型、编制试题和组配试卷的要求。二是规定试卷中试题的分布，即具体考试内容中各部分试题的数量分布、所占比例以及各部分内容所需的大概时间。编制命题计划，要依据学科《课程目标》规定的考试内容、考试范围和教科书中涉及的各项知识所要求掌握的程度，来确定试题分布范围、难易程度、重点难点。但同时要把握好试卷对考试内容的覆盖率、代表性，以避免测试的偏差给教学工作带来不必要的副作用。

(3)确定双向细目表。所谓双向细目表，是一种考查目标（能力）和考查内容之间的联系表。一般纵向为要考查的内容即知识点，横向为列出的各项要考查的能力，或者说是在认知行为上要达到的水平，通常采用识记、理解、运用、分析、综合、评价六个等级。双向细目表的制定，可以减少考试命题的盲目性，使命题者有明确的检验目标，把握试题的比例分量，提高命题的效率和质量。同时，它对于审查试题的效度也有重要的指导意义。衡量考试质量通常有四个重要指标，即考试的效度、信度，试题的难度和区分度。

(4)草拟试题。严格按考试标准和编题计划（双向细目表）设计试题。草拟试题要紧扣考试目标，一方面要考虑以哪方面命题才能将该教学目标界定内容都检测到，另一方面必须按测试要求的认知水平（一般为记忆认知、理解、运用三级）设计题目。

客观性试题和主观性试题分别编制。客观题的答案要唯一或准确，主观题要充分体现开放性和多元性。题量应大于实际考试题的量，以备筛选。

(5)筛选组卷。尽管遵循了以上项目，但是试题的命制也不是一蹴而就的，命题者还要对照双向细目表，审查所设计的试题是否与各知识点及其学习水平相符，并根据具体情况进行增补或删减、修订。拟好简明扼要的试题指导语，依据考试时间，控制试卷的总题量和试题数，按先易后难的顺

序进行组合，形成整卷。使用统一的试卷纸，语言表述要准确，符号规范,用计算机打印。注意卷面字迹清晰，疏密有致，整齐美观。

(6)拟定参考答案及评分细则。新课程背景下试题的参考答案及评分意见的拟定，要注意合理而富有参考价值。参考答案观点要鲜明，答案要正确，操作性要强。客观性试题的答案要准确、明晰，便于阅卷；主观性试题的答案要注意规定性和灵活性的结合，充分估计到各种可能出现的情况，除拟出答案要点外，还应珍视学生的独特体验，并表明态度，以便阅卷人员在掌握标准的前提下灵活处理。这样的答案拟定，既能让阅卷教师根据学生答题的具体情况评分，又能为学生放下包袱、大胆发挥自己的创造潜能提供心理安全保障；同时，还对教师的课堂教学起到了正确的导向作用，教要活而不虚，学要实而不死。

8. 如何做好综合素质评价？

答：学生综合素质评价的方法之一是发展性评价。发展性评价从评价的功能、目的角度出发，直接针对评价无法改进教学和促进学生发展等弊端而提出，强调有效发挥评价的改进和促进功能。发展性评价是以充分发挥评价对学生学习与发展的促进作用为根本出发点，改变了单一的分数评价，讲究评价方法的多样性、评价主体的多元性，以形成网状结构模块的评价体系和民主、开放、灵活的评价策略，使每一

位学生都能够在这个评价体系中找到成功的体验和快乐，以促进学生的发展。其中，评价方法的多样性包括观察、访谈、调查、测验、操作、表现性评价、成长记录袋、评语。评价主体的多元性包括自评、互评、他评（师生、家长参与）。通过不同的评价方式和评价主体，让每一位学生都有成功的体验。

（1）单项评价与综合评价相结合 （2）形成性评价与终结性评价相结合 （3）量性评价与质性评价相结合 （4）自主性评价与他主性评价相结合 （5）书面检测与开放性测试相结合

总之，通过各种形式、各个评价主体、各种评价方式的运用，能够让学生在学习过程中找到成功的感觉。如果死盯着分数，只用分数一个标准来评价学生的成长，甚至产生分数不行就什么都不行的想法是非常有害的。

9. 选择一种题型（填空、选择、判断、计算、作图和解决问题），简要阐述这种题型命题时的要点。

答：教师在设计解决问题的试题时应注意内容与现实生活紧密联系，让试题结构灵活多样，让解决问题的习题内容密切结合学生的年龄水平、认知水平和生活经验，创设生动活泼的生活情境，赋予解决问题习题的开放性、趣味性，发

散学生的数学思维，提高学生分析问题、解决问题、探索知识的能力，激发学生学习数学的兴趣。

（1）根据小学生的年龄特点、认知水平进行命题 学生参与数学活动处于两种状态：一种是被动，另一种是主动。当学生的主观能动性被充分调动起来，他们的潜能就能得到极大的发挥。因此，教师应根据小学生的年龄特点、认知水平进行命题，克服解决问题试题的枯燥性和呆板性，设计富有情趣的解决问题的数学试题，让学生充分感受到数学来源于生活，生活离不开数学，激发学生解决问题的欲望，让学生由被动学习变为主动学习、主动探究、主动思考。

（2）生活中的现实数学问题情景再现

教师应设计创设生活中经常遇到的故事情景，让解决问题的试题贴近学生实际的生活，让学生感受到问题是真实的，是我们必须要解决的，所学知识与生活是紧密联系的。使学生运用所学的数学知识去解决、解释生活中的数学现象，充分体会数学的应用价值，体验学习的成功，增强学习的兴趣。同时，培养学生认真观察、多向思维、综合应用知识的数学能力，提高学生收集信息、处理信息、分析问题、解决问题的能力，陶冶学生的学习情感态度，使不同的学生得到不同的发展。

（3）呈现多个数学信息的命题，培养学生的信息选择和处理能力

小学数学解决问题的命题，就是促进学生运用数学知识，解决生活中的实际问题。而传统的数学解决问题的命题设计非常严格，常常要求问题所需的条件不多也不少，这样的题型设计严肃呆板，按一定的模式进行解答，机械模仿，毫无情趣。有些题目由于问题的结构明显，数学意义明确，使得学生用于数学抽象的思考减少到了最低限度，学生信息处理能力和独立思考能力被压抑了。

因此，我认为，数学解决问题的命题设计要注意挖掘知识中的潜在因素，合理、灵活、恰当、巧妙地设计一些开放性、综合性题目，让学生自觉主动地联接所学知识，放飞思维，丰富想象力，激励学生大胆探索，敢于标新立异，培养学生的数学能力。

（4）设计开放性的试题，培养学生思维的灵活性和发散性

传统解决问题的试题的答案是唯一的，学生往往只满足于找准答案就行了，学生不能举一反三，思维的广度、深度、灵活性就无法得到培养和训练，个性就无法得到张扬。因此，教师应设计开放性的试题，设计有多种解决方法或者有多个答案的问题，引导学生从不同角度、用不同的思路和不同的方法,去分析解答同一个数学问题的练习活动，以此来培养学生思维的品质,激发学生学习数学的兴趣,开拓学生的思路，提高学生解决问题的能力，培养他们不断进取的精神。

10. 如何计算试题的难度系数？

答：难度是衡量试题与试卷难易程度的指标，以难度系数(记为P)来衡量。一般情况下，试题的难度系数即为该试题的平均得分率，试卷的难度系数为测验总分的平均得分率，也可用试题的平均难度来计算，本质上都是一样的。平均得分率越高，难度系数越大，试题越容易，反之越难。通常用P表示难度系数，用下面公式求试题的难度系数：P=X/W（其中P为难度系数，X为样本平均数，W为试卷总分）。根据考试的对象确定难度,水平测试的难度系数一般是0.6-0.75为宜,即平均分在60-75分之间。

小学数学教学研究 第四次作业答案

1. 下列不属于数学性质特征的是（

2. 下列不属于当今国际小学数学课程目标特征的是（

A. 注重问题解决 B. 注重数学应用 C. 注重解题能力 D. 注重数学交流

3. 新世纪我国数学课程内容从学习的目标切入可以分为“知识与技能”、“数学思考”、“解决问题”以及（

A. 数与代数 B. 统计与概率 C. 空间观念 D. 情感与态度

4. 下列不属于儿童数学问题解决能力发展阶段的是（

A. 语言表述阶段 B. 理解结构阶段 C. 学会解题阶段 D. 符号运算阶段

5. 问题的主观方面就是指（

A. 问题的起始状态 B. 问题空间 C. 问题的目标状态 D. 问题的中间状态

6. 下列不属于小学数学学习评价价值的是（

A. 导向价值 B. 甄别价值 C. 反馈价值 D. 诊断价值

7. 从逻辑层面看，在小学数学运算规则学习中，主要包含“运算法则”、“运算性质”和（

A. 数的认识 B. 运算方法 C. 简便运算 D. 理解算理

8. 儿童形成空间观念的主要知觉的障碍主要表现在“空间识别障碍”和（

A. 空间想象障碍 B. 性质理解障碍 C. 视觉知觉障碍 D. 空间描述障碍

9. 数学问题解决的基本心理模式是“理解问题”、“设计方案”、（

A. 填补认知空隙 B. 执行方案 C. 反思修正 D. 调查资料

10. 一般地看数学问题解决的过程，主要运用的策略有“算法化”、“顿悟”和（

A. 探究启发式 B. 尝试错误法 C. 逆推法 D. 逼近法

11. 皮亚杰的“前运算阶段为主向具体运算阶段过渡”阶段，相对于布鲁纳的分类来说，就是（

A. 映象式阶段 B. 动作式阶段 C. 符号式阶段

D. 映象式阶段向符号式阶段过渡

12. 下列不属于“客观性知识”的是（

A. 运算规则 B. 数的概念 C. 图形分解的思路 D. 不同量之间的关系

13. 传统的小学数学课程内容的呈现具有“螺旋递进式的体系组织”、“逻辑推理式的知识呈现”和（

A. 论述体系的归纳式 B. 以计算为主线 C. 模仿例题式的练习配套 D. 训练体系的网络式

14. 儿童在数学能力的结构类型中所表现出来的差异主要有分析型、几何型和( )三种。

15. 属于以学生面对新的问题，形成认知冲突为起点，通过在教师引导下的自学，并在集体质疑或小组讨论的基础上形成新的认知为特征的小学数学课堂学习的活动结构的是（

A. 以问题解决为主线的课堂学习的活动结构 B. 以信息探索为主线的课堂教学的活动结构 C. 以实验操作为主线的课堂教学的活动结构 D. 以自学尝试为主线的课堂教学的活动结构

16. 下列不属于常见教学手段的是（

A. 操作材料 B. 辅助学具 C. 音像资料 D. 计算机技术

17. 下列不属于在建立概念阶段的主要教学策略的是（

A. 多例比较策略 B. 生活化策略 C. 操作分类策略 D. 表象过渡策略

18. 在小学数学运算规则教学的规则的导入阶段中常见的策略有“情境导入”、“活动导入”和（

A. 练习导入 B. 问题导入 C. 经验导入 D. 算理导入

19. 在儿童的几何思维水平的发展阶段中，处于描述（分析）阶段被认为是（

20. 儿童在解决数学问题过程中的理解问题阶段也称作（

A. 问题表征阶段 B. 明确条件阶段 C. 感觉阶段 D. 理解联想阶段

1． 创设情境 、 提出假设、 检验假设 、 总结运用 。2． （创设的）问题情境（须）有效 、 注重儿童发现知识的过程 、 （要）注意适时（的）指导 3． （运用）情境的方式呈现学习任务、 数学活动是以任务来驱动的 、 探索是数学活动的重要形式 4． 关注儿童对现实生活的经历 、 增强在数学活动中的体验 、 强化将知识运用于现实情景 5． 定向环节 、 行动环节 、 反馈环节 6． 目标取向的评价 、 过程取向的评价 、 主体取向的评价 7． 淡化严格证明，强化合情推理、 重要规则逐步深化 、 有些规则不给结语 8． 空间方位 、 空间距离 、 空间大小 9． 认知（能力） 、 操作（能力） 、 策略（能力）10．（设置）问题情景 、 提出假设 、 获得结论 11． 行为（参与） 、 情感（参与） 、 认知（参与） 12． 已有的生活经验和数学概念 、 数学思维能力 、 数学的语言能力 13． 动作（思维） 、 形象（思维）、 抽象（思维） 14． 情景（导入）、 活动（导入）、 问题（导入） 15． 认知 、 联结 、 自动化

数学思想与方法 第一次答案

1. 古埃及数学最辉煌的成就可以说是（

）的发现。 A. 进位制的发明 B. 四棱锥台体积公式 C. 圆面积公式 D. 球体积公式

2. 欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的（

），成为近代西方数学的主要源泉。

A. 几何 B. 代数与数论 C. 数论及几何学 D. 几何与代数

3. 金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的

四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（

4. 《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（

A. 爱奥尼亚学派 B. 毕达哥拉斯学派 C. 亚历山大学派 D. 柏拉图学派

5. 数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（

）已经形成了一些几何与数目概念。

A. 五千年前 B. 春秋战国时期 C. 六七千年前 D. 新石器时代

6. 在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（

）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用（

A. 符号，符号 B. 文字，文字 C. 文字，符号 D. 符号，文字

7. 古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（

），这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。

8. 巴比伦人是最早将数学应用于（

）的。在现有的泥板中有复利问题及指数方程

9. 《九章算术》成书于（

），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。

10. 根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（

A. 最终原理 B. 一般原理 C. 自然命题 D. 初始原理

1. 《几何原本》就是用（

）的链子由此及彼的展开全部几何学，它的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

2. 《九章算术》确定了中国古代数学的框架，不仅以（

）方法为特点影响我国数学成就的建立，而且在培养和造就我国数学家方面起到了促进作用。

A. 封闭的、算法化的、演绎化的 B. 封闭的、逻辑化的、模型化的 C. 开放的、逻辑化的、演绎化的 D. 开放的、算法化的、模型化的

3. 《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点。《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何（

）数学概念的定义，也没有给出任何（

A. 代数概念,推导和证明 B. 集合概念,推导和证明 C. 数学概念,推导和证明 D. 几何概念,推导和证明

4. 欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作,它的著名的平行公设是（

A. 过两点能作且只能作一直线 B. 线段(有限直线)可以无限地延长

C. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交

D. 以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆

5. 《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容：（

）。 A. 定义、公理、公设、命题 B. 定义、公式、公设、命题 C. 定义、公理、公设、推论 D. 定理、公理、公设、命题

6. 《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专著，它的内容十分丰富，全书采用（

）的形式，与生产、生活实践密切相关。

A. 推论形式 B. 问题形式 C. 证明形式 D. 叙述形式

7. 《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一种，成书于（

8. 《九章算术》的叙述方式以（

）为主，先给出若干例题，再给出解法；《几何原本》的叙述方以（

）为主，先给出公理，再通过逻辑推出其他命题。

A. 化归，推论 B. 归纳,演绎 C. 反驳，演绎 D. 计算，证明

9. 《几何原本》的理论体系并不是完美无缺的,比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在（

A. 计算算法 B. 模型方法 C. 几何作图 D. 逻辑推理

10. 《九章算术》是我国古代的一本数学名著。“算”是指（

A. 算法、证明 B. 算法、技术 C. 算筹、技术 D. 算筹、解题方法

1. 从16世纪开始，自然科学研究的中心问题是运动，科学家们相信对各种运动过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究可以用数学来描述。因此，作为运动着的量的一般性质及各个数量之间存在着相依而变的规律，科学家们引出了数学的一个基本概念（

2. 初等数学都是以（

）为其研究对象，运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象，对于运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。

B. 不变的数量和固定的图形 C. 变化的数字和固定的图形 D. 不变的数量和变化的图形

3. 就数学发展的历史进程来看，从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定数学到随机数学等是数学思想方法的几次重要突破。代数形成解决了具有复杂（

）的问题，变量数学创立刻划了（

）的事物与现象，随机数学出现揭示了（

A. 代数关系、几何问题、统计现象 B. 映射关系、对应关系、随机现象 C. 数量关系，运动与变化、统计现象 D. 数量关系，运动与变化，随机现象

4. 代数不但讨论正整数、正分数和零，而且讨论负数、虚数和复数。其特点是用（

A. 字母符号 B. 数字记号 C. 图示符号 D. 箭头符号

5. 第二次数学危机，指发生在十

七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。而这场争论是指（

B. 无穷小量究竟是不是零 C. 无穷大量究竟是很大的数 D. 无穷大量究竟是不是有限

6. 算术解题方法的基本思想是：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种（），并依据问题的条件列出用（

）表示所求数量的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。

A. 未知数据，未知数据 B. 已知数据，未知数据 C. 已知数据，未知数据 D. 已知数据，已知数据

7. 人们在社会实践活动常常遇到两类截然不同的现象，一类是确定性现象；另一类是随机现象。随机现象并不是杂乱无章的现象，当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性。于是，一种专门适用于分析随机现象的数学工具——（

A. 分形数学与模糊数学 B. 概率理论与数理统计 C. 群论与数论

D. 希尔伯特空间与集合论

8. 变量数学产生的数学基础应该是（

A. 线性代数、几何学 B. 概率统计、微积分 C. 解析几何、微积分 D. 数论初步、几何学

9. 第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自（

）的发现起，到公元前370年左右，以（

）的定义出现为结束标志。这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派。

10. 代数学形成过程经历了漫长过程：（

A. 文字代数，简写代数，图标代数 B. 文字代数，简写代数，符号代数 C. 文字代数，符号代数，简写代数 D. 符号代数，文字代数，简写代数

1. 客观世界具有统一性，数学作为描述客观世界的语言必然也具有统一性。因此，数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构：（

）,然后根据不同的条件，由这三个基本结构交叉产生新的结构。可以说，布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性。

A. 集合、几何结构和群结构 B. 代数结构、几何结构和群结构 C. 代数结构、序结构和拓扑结构 D. 代数结构、序结构和群结构

2. 哥德尔不完备性定理是他在1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。它证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是（

）的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。

3. 公理方法就是从（

）出发，按照一定的规定（逻辑规则）定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。

A. 初始概念和公理 B. 定理和概念 C. 公理和推理 D. 定理和命题

4. 第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的（

），促使了数理逻辑这门学科诞生，其中，十九世纪七十年代康托尔创立的（

）是产生危机的直接来源。

A. 理论化集合论 B. 数学化集合论 C. 数学化数论 D. 数学化超穷数理论

5. 公理化方法的发展大致经历了这样三个阶段：（

），用它们建构起来的理论体系典范分别对应的是《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。

A. 形式公理化阶段、实质公理化阶段和纯形式公理化阶段 B. 纯形式公理化阶段、形式公理化阶段和实质公理化阶段 C. 实质公理化阶段、纯形式公理化阶段和形式公理化阶段 D. 实质公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段

6. 罗素悖论引发了数学的第三次危机，它的一个通俗解释就是理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”现在的问题是：如果理发师的胡子长了，他能给自己刮脸吗？（

7. 为避免数学以后再出现类似问题，数学家对集合论的严格性以及数学中的概念构成法和数学论证方法进行逻辑上、哲学上的思考，其目的是力图为整个数学奠定一个坚实的基础。随着对数学基础的深入研究，在数学界产生了数学基础研究的三大学派：（

A. 几何学派、抽象学派、现实学派 B. 集合主义、抽象主义、形式主义 C. 抽象主义、现实主义、直觉主义 D. 逻辑主义、直觉主义、形式主义

8. 三段论是演绎推理的主要形式，由（

A. 小前提、大前提、结论 B. 大前提、小前提、结论 C. 大前提、小推理、结论 D. 前提、推理、结论

9. 自然科学研究存在着两种方式：定性研究和定量研究。定性研究揭示研究对象是否具有（

），定量研究揭示研究对象具有某种特征的（

A. 某种特征数量状态 B. 某种特征实际状态 C. 内在关系数量状态 D. 内在关系实际状态

10. 哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们：真与可证是两个概念，（

）。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。

A. 可证的一定是真的，但真的不一定可证 B. 可证的一定是真的，但真的不一定可证 C. 可证的一定是真的，但真的不一定可证 D. 可证的一定是真的，但真的不一定可证

强抽象就是指通过把—些（

a ）加入到某一概念中而形成（

A. 新特征新概念 B. 特征概念

C. 非特征因素新概念 D. 新特征原始概念

2. 弱抽象又称“概念扩张式抽象”，是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为一般的概念或理论。这时，原型成为新的概念或理论的（

3. 例如，“等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→三角形”这是一个（

4. 概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个（ d ）。

5. 例如，“菱形→等边四边形→平行四边形→四边形”这是一个（ a ）过程。 A. 强抽象 B. 弱抽象 C. 浅层抽象 D. 深层抽象

6. 人们在思维中，抽象过程是通过一系列的（ c ）的思维操作实现的。

A. 比较、区分和舍弃 B. 区分、舍弃和收括 C. 比较、区分、舍弃和收括 D. 比较、区分、增加和收括

7. 抽象是对同类事物抽取其（

d ）的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程。

8. 一个概括过程包括等几个主要环节。 d A. 比较、区分和扩张 B. 区分、扩张和分析 C. 比较、概括、扩张和分析 D. 比较、区分、扩张和分析

9. 概括就是把同类事物的（ b ）联结起来，或把个别事物的某些属性推广到同类事物中去的思维方法。

A. 不同属性 B. 共同属性 C. 本质属性 D. 非本质属性

10. 抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有（

a ）。 A. 种属关系 B. 非种属关系 C. 一般关系 D. 固有关系

1. 猜想就是根据事物的现象，对其本质属性进行（

D），或者是根据一类事物中的个别事物的属性对该类事物的共同属性进行（

），这样的思维方法叫做猜想。

A. 论证、论证 B. 推测、论证 C. 论证、论证 D. 推测、推测

2. 归纳猜想的思维步骤为：（

A. 猜想—特例—归纳 B. 归纳—特例—猜想 C. 特例—归纳—猜想 D. 特例—猜想—归纳

3. 人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为（ A ）。

4. 反例反驳的理论依据是形式逻辑的（

A. 矛盾律 B. 同一律 C. 统一律 D. 悖论 5. 数学猜想具有两个明显的特点：（

A. 科学性、假想性 B. 科学性、推测性 C. 预测性、推测性 D. 预测性、假想性

6. 完全归纳法是根据对某类事物中的（

C ）的情况分析，进而作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。

B. 一个矛盾、另一个矛盾 C. 特殊、特殊 D. 特殊、一般

8. 所谓不完全归纳法，是根据对某类事物中的（

B）的分析，作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。

9. 归纳法是通过对一些（B

）情况加以观察、分析，进而导出一个一般性结论的推理方法。

A. 一般的、普遍的 B. 个别的、特殊的 C. 个别的、强化的 D. 一般的、特殊的 10. 人们运用归纳法，得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为（

A. 猜想证实法 B. 猜想法 C. 归纳猜想法 D. 归纳法

1. 三段论：“偶数能被2整除，是偶数，所以能被2整除”。 A A. “是偶数”是小前提 B. “是偶数”是结论 C. “能被2整除”是小前提 D. “能被2整除”是大前提

2.三段论：“因为3258的各位数字之和能被3整除，所以3258能被3整除”。 D A. “3258能被3整除”是小前提

B. “3258能被3整除”是大前提

C. “3258的各位数字之和能被3整除”是大前提

D. “各位数字之和能被3整除的数都能被3整除”是省略的大前提

3. 在化归过程中应遵循以下几个原则：（

A. 一般化原则、熟悉化原则、和谐化原则 B. 简单化原则、归一化原则、和谐化原则 C. 简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则 D. 简单化原则、熟悉化原则、统一化原则

4. 数学公理发展有三个阶段：欧氏空间、各种几何空间、（ C ）。

C. 一般意义上的空间 D. 二维空间

5. 演绎推理是以一个（ A ）一般性判断（或再加上一个特殊的判断）为前提，推出一个作为结论的判断的推理形式。

A. 个别的或特殊的 B. 一般的或特殊的 C. 个别的或普遍的 D. 一般的或普遍的

6. 化归方法是指数学家们把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类（

A ）的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。

A. 已经能解决或者比较容易解决 B. 可以解决或比较容易解决 C. 具有特定因素 D. 具有普遍特征

7. 古希腊欧几里得的《几何原本》是人们所建立的第一个公理体系，由于它具有特定的研究对象，其公理以人们的直观经验为基础反映为认为公理是自明的，所以称为（ C ）的公理体系。

8. 演绎推理的根本特点是（C

A. 前提为真，结论为假 B. 前提为假，结论必真 C. 前提为真，结论必真 D. 前提为真，结论可能是真

9. 化归方法包括三个要素：（ D ）。

A. 化归目标、化归策略和化归途径 B. 化归对象、化归目标和化归原则 C. 化归对象、化归策略和化归原则 D. 化归对象、化归目标和化归途径

10. 化归的途径：（ B ）。

A. 分解、组合、变形 B. 分解、组合、恒等变形 C. 分解、归纳、恒等变形 D. 分解、归纳、变形

1. 在古代的游戏与赌博活动中就有（

）的雏形，但是作为一门学科则产生于17世纪中期前后，它的起源与一个所谓的点数问题有关。

A. 概率思想 B. 统计方法 C. 组合方法 D. 分类思想

2. 算法具有下列特点：（

A. 有限性、确定性、有效性 B. 无限性、确定性、有效性 C. 有限性、确定性、有限性 D. 无限性、确定性、有限性

3. 所谓计算是指根据已知数量通过（

）求得未知数。计算是一种重要的数学方法，任何一门科学所采用的定量分析都离不开计算。

A. 数学试验 B. 数学推论 C. 数学方法 D. 数学证明

4. 算术与代数的解题方法基本思想的区别:算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是（

），而代数方法的关键之处是（

A. 计算、等式 B. 列算法、列步骤 C. 列算式、列方程 D. 列算式、列方法

5. 算法大致可以分为（

A. 单项式算法、指数型算法 B. 多项式算法、指数型算法 C. 多项式算法、对数型算法 D. 单项式算法、对数型算法

6. 学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段（

A. 潜意识阶段、明朗化阶段、了解阶段 B. 了解阶段、理解阶段、深刻理解阶段 C. 潜意识阶段、理解阶段、深刻理解阶段 D. 潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段

7. 代数解题方法的基本思想是，①首先依据问题的条件组成内含（

）的代数式，并按等量关系列出方程，②然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。

C. 已知数和未知数 D. 数据和符号

8. 计算工具的发展:①经历了（

）；②手摇计算机、对数计算尺等机械式计算工具；电动式计算机；③机电式计算机；。④集成电路计算机、大规模集成电路计算机几个主要阶段。

）组成的一个过程。一个算法实质上就是解决一类问题的一个处方。

A. 合理公式 B. 有限规则 C. 有限数据 D. 合理推论

10. 在计算机时代，（

）已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。

A. 计算方法 B. 逻辑推论 C. 数据分析 D. 虚拟试验

1. 数学建模的基本步骤：弄清实际问题、（

）、建模、求解、检验。

A. 化简问题 B. 寻找条件 C. 建立对应关系 D. 深化问题

2. 数学学科的新发展——分形几何，其分形的思想就是将某一对象的细微部分放大后，其（

A. 结构更加明朗 B. 结构与原先一样 C. 结构更加模糊 D. 结构与原先不同

3. 根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识阶段、明朗化阶段和深刻理解阶段等三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成（

A. 多次孕育、初步理解、简单应用 B. 思考、求解、应用 C. 多次分析、初步理解、简单应用 D. 多次分析、简化求解、深化应用

4. 英国的牛顿和德国的莱布尼兹分别以（

）为背景用无穷小量方法建立了微积分。

A. 数学与几何学 B. 物理和坐标法 C. 数学和解析几何 D. 物理学和几何学

5. 数学建模是指根据具体问题，在一定假设下使（

），建立起适合该问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行检验的全过程。

A. 问题化简 B. 条件明朗 C. 问题归类 D. 条件简化

6. 鸽笼原理可叙述为：若n+1只鸽子飞进n个笼子里，则至少有一个笼子里至少飞进（

1、2时，S(t)的值分别是0、

D. 8. 数学模型具有（抽象性）、（准确性）、（

A. 公理性、归纳性 B. 简单化、虚拟化 C. 演绎性、预测性 D. 演绎性、模糊性

9. 数学模型可以分为三类：(1)概念型数学模型；(2)（

）；(3)结构型数学模型。

A. 实验型数学模型 B. 推理型数学模型 C. 逻辑型数学模型 D. 方法型数学模型

10. 在建立数学模型的过程中，（

）这一环节是很重要的。

A. 数学猜想 B. 数学抽象 C. 数学证明 D. 数学模拟

1. 数学分类有现象分类和本质分类的区别。所谓现象分类，是指仅仅根据数学对象的（

D. 外部特征或外部联系

2. 数学教育效益，是指通过一定时间的教学后，学生在数学学习方面能获得的发展和进步。数学教育效益既包括学生获取（

）的效益，也包括学生掌握（

）以及提高学习能力的效益。

A. 人文知识、哲学思考方法 B. 数学知识、数学思想方法 C. 数学知识、数学实验步骤 D. 数学文化、数学方法

3. 一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象，进行（

A. 不重复、无遗漏 B. 不复制、无遗漏 C. 不重复、无标准 D. 不复制、无标准

4. 所谓数形结合方法是指在研究数学问题时，（

）、数形结合考虑问题的一种思想方法。

A. 由数思数、见形思形 B. 由数思形、见形思形 C. 由数思数、见形思数 D. 由数思形、见形思数

5. 菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：（

）加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。

6. 所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的（

7. 所谓本质分类，即根据事物的（

8. 数学思想方法，是指现实世界的（

）反映到人们的意识之中，经过（

）而产生的结果。数学思想方法是对数学事实和理论经过概括后产生的本质认识。

A. 空间形式和数量关系、讨论活动 B. 空间形式和数量关系、思维活动 C. 空间形式和逻辑关系、思维活动 D. 空间形式和数量关系、辩证活动

9. 匀速直线运动的数学模型是（

A. 一次函数 B. 二次函数 C. 对数函数 D. 指数函数

10. 特殊化的作用在于，当研究的对象比较复杂时，通过研究对象的特殊情况，能使我们对研究对象有个初步了，且它的作用还在于，事物的（

A. 个性、共性 B. 共性、个性 C. 性质、个性 D. 共性、性质

答案：dcadacabab 第十一次作业与第十二次无答案

读《小学数学与数学思想方法》有感

贵州省乡村名师小学数学曹光林工作室：余其强

我读了小学数学与数学思想方法这本书，这本书主要讲了四个方面的内容：一是讲了抽象的数学思想，内容包括抽象思想、符号思想、分类思想、集合思想、变中不变思想、有限与无限思想。二是推理的数学思想，主要包括归纳推理、类比推理、演绎推理、转化思想、数集合思想、几何变换思想、极限思想、代换思想；三是与模型有关的数学思想，包括模型思想、方程思想、函数思想、优化思想、统计思想、随机思想；四是其它的数学思想，其中有数学美思想、分析和综合法、反证法、假设法、穷举法、数学思想的综合运用，这本书对我受益

一数学思想在四基中占有重要的地位

数学思想、数学方法、数学思想方法近年来收到数学教育家界广泛关注，数学思想是对数学知识的本质理性认识，数学抽象思想、推理思想、模型思想、这三个基本思想分别对数学学科的建立、发展和应用起到了重要的着用，这三个思想演变、派出、发展出很多其它的较低层的数学思想，如分类思想、归纳思想、方程思想、函数思想等。所以我们在教学时，必须专研教材，学习教学新课标，找出每一节教材的数学思想，这样教师在教学时能找准重点和难点。能够有的放矢。

二 数学方法是数学解决问题的方法和手段

我们首先要理解数学思想和数学方法既有区别又有联系。数学思想是数学方法的进一步提炼和概括，数学思想的抽象概括程度要高一些，而数学方法的操作性更强一些。人们实现数学思想往往要依靠一定的数学方法，而人们选择数学方法又要以一定的数学思想为依据。数学的方法也是有层次的，基本的方法有演绎推理法、合情推理法、变量替换方法、等价变形的方法、分类讨论的方法等等，下一层的方法有分析法、综合法、穷举法、反证法、列表法、图像法等等。数学方法是数学的灵魂，要想学好数学，就要深入到数学灵魂之处。作为我们教师要根据每一节课的数学思想和学生年级，选择灵活的教育手段，这样能达到较好的教育效果。

三教师要不断提高专业素养和教学水平

2001年的义务教育阶段的数学课程改革已经非常重视数学方法，并在总体目标中明确提出：学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识以及基本的数学思想和必要的应用技能，这一总目标贯穿于小学初中，这充分说明了思想方法的重要性。2011年总目标中进一步提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展 所必需的数学知识，基本技能、基本思想、基本活动经验。”这一表述打破了我国教育的传统局面。数学教育目标的变化折射出数学观和数学教育观的变化。当今社会是高度科技化、信息化的市场经济社会，数学在科技、经济等领域被广泛应用，因此数学作为广泛应用的技术也日益得到重视，数学作为广泛培养人的思维能力的学科，数学的能力无论是技术力还是思维力，都不仅仅是数学知识和技能作用，因此学生获得良好的数学，教育标志是三维目标的整体实现，是培养学生逐步用数学眼光看待世界分析问题和解决问题。所以作为义务教育阶段的数学教师会面临更大的挑战，一方面是关于数学思想方法的专业知识方面的欠缺；另一方面是课堂教学中应该具备的数学思想方法的意识、经验、策略等的不足。我们只有钻研数学课程标准、教材、充分了解学生、选择恰当的教学方法，不断提高教师素养和教学水平，才能实现我们的教育目标。

四、要注重学生获取数学思想方法的途径

三维目标中倡导学生获取数学思想的方法有小组合作交流、动手实践、自主探究的三种学习方式，我们义务教育阶段的教师要根据学生实际、教材内容，在学生已有的知识经验的基础上，教会学生的学习方法，才能达到应有的教学效果。 总之，社会是向前发展的，教师只有终生不断学习，才能使我们教育思想和方法不落后，适应社会发展的需要，为社会培养出合格的人才。