按照微积分发展历史，先有导数，后又极限，所以先从导数（Derivative）谈起。

我们按照求导数的步骤求解函数y=x²在x=2处的导数（这个计算过程最好自己算一算）

抛开极限，抛开无穷小量等概念，就分析这个计算过程。按照这种算法，我们肯定能归纳出结果结果就是4。那好，现在让你用一套理论讲清楚为啥是4。这就是微积分原理发展的一个推动力。

在这个计算过程中，不断减少△x，△y/△x的比值将不断的逼近4，到底是什么时候到4？确实是当△x=0的时候，但是如果一开始△x=0则不能计算了。这到底怎么回事？

同济版本《高等数学》谈导数一节的思路是，先从“求某时刻瞬时速度”和“曲线某点切线斜率”两个现实问题入手，现实问题的需要引出了导数这个概念，其本质是两个微小变化量之比。随后，教材定义了导数，并按照“求增量，算比值，取极限”三个步骤求解各类型函数的导函数。

贝克莱与第二次数学危机

爱尔兰大主教贝克莱对对牛顿的理论进行了攻击。他指责牛顿，比如，为计算x²的导数，先将x取一个不为0的增量Δx，由(x + 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量Δx在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。数学史上把贝克莱的问题称之为第二次数学危机。

作为主观唯心主义代表的贝克莱大主教有一句经典的名句：

（对于具体的个人而言是对的，

但对整个世界而言，很多存在并不一定要被感知）

牛顿得出的导数值很实用，尽管是其推导过程存在逻辑上的漏洞，科技界还是接受了导数这个实用的工具。有文章评价牛顿体系道：

（1）如果“O”小到是可以略去，那么，当初就不应引入（x+pO，y+qO）。如果“O”大到引入后能说明x和y的增加量，那么，引入后，就不可以随意忽略。（pO 和qO分别指x和y对应的无穷小量。）

（2）导数（流数）是近似值，而事实上导数是精确值。

（3）牛顿的流数术仅能求某几类函数的导数，还不能对所有函数求导数

数学界为了进一步完善牛顿-莱布尼茨的微积分原理，展开了一系列的工作。J.Le.R.d,Alembert() 建立了极限论。而后，k.weierstrass()建立了极限的分析定义，其中，cauchy()建立了一整套分析的基本概念，于是沿用至今的数学分析体系形成。在这里称为cauchy-lebegue体系。

在此，我们出一道思考题。

牛顿的流数术仅能求某几类函数的导数，还不能对所有函数求导数。我们的问题是如果不用极限工具，是否可以求出指数函数，三角函数，对数函数等的导函数？

3 重新反思斜率与瞬时速度

（1）从几何角度看用极限求解导数存在的问题

介绍了导数的计算方法之后，书上开始谈导数的几何意义，即导数是曲线某点的斜率。（我参考的是1978年同济版本）

下图是曲线上x0点切线的求解示意图。

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