大家好！本文和大家分享一道2015年江苏高考数学真题。这道题综合考查了导数的计算、导数与函数单调性、含参一元二次不等式的求解、函数的极值以及函数的零点等知识。作为一道导数综合题，本题还是有一些难度，特

大家好！本文和大家分享一道2015年江苏高考数学真题。这道题综合考查了导数的计算、导数与函数单调性、含参一元二次不等式的求解、函数的极值以及函数的零点等知识。作为一道导数综合题，本题还是有一些难度，特别是第二小问难住了不少学霸。先看第一小问：判断函数的单调性。要用导数判断函数单调性，首先需要先求出函数的导函数，然后再根据导函数的正负判断函数的单调性。具体来说就是：导数大于零时，函数为增函数；导数小于零时，函数为减函数。特别需要注意的是，导数值能否取零的问题。回到题目，由题意知f'(x)=3x^2+2ax。令f'(x)=0，可得x1=0，x2=-2a/3。接下来就需要对a进行分类讨论，以确定f'(x)的正负。本题中，分类讨论的依据就是0和-2a/3的大小关系，即分为-2a/3=0、-2a/3＞0和-2a/3＜0三种情况。这一小问的难度不大，只要在分类讨论时细心一些，那么多数学生都是能够顺利做出来的。再看第二小问：求c的值。第二小问考查的是函数零点个数问题，而要判断一个复杂函数的零点个数，我们通常需要通过函数的极值、函数单调性以及零点存在性定理等知识综合判断。由(1)知，f'(0)=0，f'(-2a/3)=0，所以函数f(x)的有两个极值点为f(0)=b，f(-2a/3)=4a^3/27+b。同样由(1)知，当a=0时，函数f(x)在R上为增函数，此时f(x)只有一个零点，故a≠0。当a≠0时，函数f(x)的大致走向为增、减增，所以要使f(x)有三个零点，那么两个极值就必然异号，即f(0)·f(-2a/3)=b(4a^3/27+b)＜0。接下来继续分类讨论。当a＞0时，有4a^3/27-a+c＞0；当a＜0时，有4a^3/27-a+c＜0。令g(a)=4a^3/27-a+c。根据a的取值范围可知，g(a)＜0在a＜-3上恒成立；g(a)＞0在1＜a＜3/2和a＞3/2上恒成立。于是就有g(-3)=c-1≤0且g(3/2)=c-1≥0，从而解得c=1。到了这一步，题目还没解完，因为前面只讨论其必要性，还没有验证其充分性，即能否由c=1推出当f(x)有三个零点时，a的取值范围就是(-∞,-3),(1,3/2),(3/2,+∞)。这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？

PAGE 4 学年第2学期高等数学复习题 适用范围：32课时部分班级（教学进度：定积分的计算） 第1章 函数、极限与连续 恩格斯——数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。 1.求函数的定义域（使式子有意义的自变量的取值范围）。 （1） （2） （3） 2.复合函数的分解 （1） （2） （3） 3. 极限 （1）刘徽的《割圆术》以及《庄子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”体现了现代无穷小和极限的思想。 （2）观察函数图像求极限 如右图所示，当时，______。 （3）极限的简单计算 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③ 4. 无穷小和无穷大 （1）无穷小不是指很小的数，无穷大也不是指很大的数。 （2）0是唯一可以作为无穷小量的数。 5.函数的连续性 （1）增量（改变量） 自变量的增量； 函数的增量。 例：已知函数，当自变量从40增加到42时，求自变量与函数的增量。 （2）连续与间断 例：考察右图所示函数在点处的连续性。 6.函数关系的建立 （1）一块边长为的正方形铁片，如图所示，从它的四个角截去相等的小方块，然后沿着虚线折起各边做成一个无盖的小盒子，求它的容积与截去小方块边长之间的函数关系? （2）某地天燃气阶梯价格（民用）如表所示： 阶梯 每年每户用气量 价格 1 360m3（含）以下 2.77元/m3 2 360m3以上至600m3（含）以下 3.32元/m3 3 600m3以上 4.16元/m3 （1）建立燃气费与用（充）气量的函数关系； （2）充值200元、1000元分别可充多少燃气？ 第2章 导数与微分 3.复合函数求导：分解——分别求导——相乘 （1） （2） 4.导数的经济学含义：在经济分析中，导数又叫做边际。 （1）边际成本：即成本的导数。 （2）边际利润：即利润的导数。 边际利润的经济意义是，在产量为时，每增加或减少一个单位产品而使利润变动的数值。 ，说明当产量为时，再生产多一个单位产品，利润不会再增加，此时利润达到最大值。 5.微分： （1）导数与微分统称为微分。 （2）微分的计算 = 1 \* GB3 ①_____ = 2 \* GB3 ②____ = 3 \* GB3 ③ 第3章 导数的应用 1．函数的单调性与曲线的凹凸性 函数的单调性——利用一阶导数来判别：大于0，增，小于0，减。 曲线的凹凸性——利用二阶导数来判别：大于0，凹，小于0，凸。 例：根据下列函数图像，讨论其单调性、凹凸性以及一阶导数、二阶导数与0的大小关系。 （1） （2） （3） （4） 2. 驻点：函数的驻点是导数为0的点； 拐点：函数的拐点是凹凸性改变的点。 3.极值与最值 （1）如图所示，函数在区间内的极值点有______个，分别是________，在区间内的最值点有______个，分别是_________。 （2）极值与最值的关系 极值：局部的最值；最值：全局范围的最大、小值。极值不一定是最值。 4.实际问题的最值 某车间要靠墙壁盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20m长的墙壁, 问应 围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 已知某企业每月生产x吨产品的总成本为C千元, C=C(x)=x2-10x+20,如果 每吨产品的销售价格为20千元,产量为多少时，利润最大？ 第4章 不定积分 1.原函数的定义 是 的一个原函数； 是 的一个原函数。 2.不定积分的概念 微分（求导）与积分是互逆运算。 若，则有。 （1）若，则______.