1.导数的四则运算法则

(1)定义:一般地,已知函数y=f(u)与u=g(x),给定x的任意一个值,就能确定u的值.如果此时还能确定y的值,则y可以看成x的函数,此时称f(g(x))有意义,且称y=h(x)=f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数,其中u称为中间变量;

1．下列函数是复合函数的是________．(填序号)

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

类型一　利用运算法则求函数的导数

2.求下列函数的导数:

2.运用导数的四则运算法则求导.

运用导数四则运算法则求导需要注意哪些问题?

提示:(1)分清所求导函数由哪些基本初等函数组成,是函数的和、差还是积、商.

(2)准确运用法则求导.

利用导数运算法则的策略

(1)分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定求导法则,基本公式.

(2)如果待求导式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.

(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.

【解析】由函数的解析式可得:

2.若函数f(x)=在x=x处的导数值与函数值互为相反数,则x的值等于 (　　)

类型二　复合函数的导数

【典例】求下列函数的导数.

【思维·引】先把复合函数拆分成基本初等函数,再运用复合函数求导法则进行求导.

求复合函数的导数的步骤

提醒:(1)内、外层函数通常为基本初等函数.

(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导,这是求复合函数导数时的易错点.

(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理,使导数式尽量简洁.

类型三　导数运算法则的综合应用

【思维·引】利用切点处的导数等于切线的斜率,切点坐标既满足曲线方程,也满足切线方程.

又切点(2,-1)在抛物线上,

运用导数解有关切线问题应特别注意什么?

提示:(1)导数的双重性;(2)切点坐标的双重性.

关于求导法则的综合应用

(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.

(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.

易错警示:分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上则要设出切点.

若曲线y=x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则此时该切点的坐标为 (　　)

【解析】选A.y=x2+aln x的定义域为(0,+∞),由导数的几何意义知y′=2x+≥2=4,得a=2,当且仅当x=1时等号成立,代入曲线方程得y=1,故所求的切点坐标是(1,1).

3.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内.已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________.

图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删

《固体物理学》习题参考

1.1有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以r和r代表面心立方和体心立方结构中最fb

近邻原子间的距离，试问r/r等于多少,fb

答:由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a:

2对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为:r=af2

3对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为:r=ab2

1.2晶面指数为(123)的晶面abc是离原点o最近的晶面，oa、ob和oc分别与基失a，1a和a重合，除o点外，oa，ob和oc上是否有格点,若abc面的指数为(234)，情况又23

答:根据题意，由于oa、ob和oc分别与基失a，a和a重合，那么123

1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答:二维布拉维点阵只有五种类型:正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示:

正方六方矩形带心矩形平行四边形

设晶面族(hkil)的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n?。因为晶面族(hkil)

中最靠近原点的晶面abc在a、a、a轴上的截距分别为a/h，a/k，a/i，因此123123

把(1)式的关系代入，即得

根据上面的*，可以转换晶面族为

1.5如将等体积的硬球堆成下列结构，求*球可能占据的最大面积与总体积之比为(1)简立

答:令z表示一个立方晶胞中的硬球数，ni是位于晶胞内的球数，nf是在晶胞面上的球数，ne是在晶胞棱上的球数，nc是在晶胞角隅上的球数。于是有:

边长为a的立方晶胞中堆积比率为

假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意(1)对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么:

4(2)对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为，那么:r

(3)对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为r，那么:22

一个晶胞有两个原子，其坐标为(000)(1/3，2/3，1/2)，在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此

1.6有一晶格，每个格点上有一个原子，基失(以nm为单位)a=3i，b=3j，c=1.5(i+j+k)，此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问:

(1)这种晶格属于哪种布拉维格子,

(2)原胞的体积和晶胞的体积各等于多少,

-10显然，a、b、c′构成一个边长为3*10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。

因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。

求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.

答:根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得:

其第一布里渊区如图所示:

1.8若基失a，b，c构成正交晶系，求*:晶面族(hkl)的面间距为

答:根据晶面指数的定义，平面族(hkl)中距原点最近平面在三个晶轴a，a，a上的截距123

aaa312分别为，，。该平面(abc)法线方向的单位矢量是hkl

这里d是原点到平面abc的垂直距离，即面间距。

1.9用波长为0.15405nm的x*线投*到钽的粉末上，得到前面几条衍*谱线的布拉格角θ如下

(1)各谱线对应的衍*晶面族的面指数;

(2)上述各晶面族的面间距;

(3)利用上两项结果计算晶格常数.

答:对于体心立方结构，衍*光束的相对强度由下式决定:

考虑一级衍*，n=1。显然，当衍*面指数之和(h+k+l)为奇数时，衍*条纹消失。只有当(h+k+l)为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面(110)、(200)、(211)、(220)和(310)的散*。由布喇格公式

应用立方晶系面间距公式

-10把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a的数值*10m为

,10am,，3..10平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢;画出第一和第

答:参看下图，晶体点阵初基矢量为aai,1

求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设

,273.1试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m,8.35×10kg，恢复

据周期边界条件，此处n=5,代入上式即得x,x1n，1

故可取,2，,1，0，1，2这五个值,

则得到五个频率依次为(以rad/sec为单位)

3.2求*由n个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为

,4由于，则总的振动模数为,,mm

9n23.3设晶体由n个原子组成，试用德拜模型*格波的频率分布函数为，，,,,,3,m

,273.4对一堆双原子链，已知原子的质量m,8.35×10kg，另一种原子的质量m,4m，力常数

(3)相应的声子能量(以ev为单位);

(5)如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。

3.5设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于和10，且,,

最近邻的距离为，试画出*散关系曲线，并给出和处的。，，q,0q,,,/a,qa/2

解:设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，

,2令，从a，b有非零解的系数行列式等于零的条件可得,,0m

3.6(在一维双原子链中，如，求*mm,,1

[*]由书中(3.22)式知，双一维原子链声学支

,3.7在一维双原子晶格振动情况中，*在布里渊区边界处，声学支格波中所有q,,2a轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子m静止。画出这时原子振动的图象。

3.8设固体的熔点对应原子的振幅等于原子间距的10,的振动，推*，对于简单晶格，tam

[解]当质量为m的原子以频率及等于原子间距的10,的振幅振动时，其振动能为:,a

,,3.10设晶格中每个振子的零点振动能为，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能2

3.11在德拜近似的基础上，讨论由一个n个原子组成的二维晶格的比热，*在低温下

*:此题可推广到任意维m，由于

,,令，则上式变为,xkt

2ebur,,，3.12设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为，，，b为待定常数，平arr

,10衡间距，求线膨胀系数。r,3，10m0

3.13已知三维晶体在附近一支光学波的*散关系为q,0

4这是q空间的一个椭球面，其体积为，而,abc3

4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同,为什么,

答:晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中*的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。

4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.

4.3如果已知空位形成能为eu=0.67ev，试问当温度为300k时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少,

答:设肖特基缺陷数为n，格点数为n。那么由公式

154.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*10s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1ev，求该原子在1s内跳跃的次数。答:由公式

4.5在离子晶体中，由于电中*的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，w是产生一对缺陷所需要的能量，n是原有的正、负离子对的数目。(1)试*:n/n=bexp(-w/2kt);b

(2)试求有肖特基缺陷后体积的变化?v/v，其中v为原有的体积。

(1)设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从n个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为

同时，从n个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是

于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数

由此而引起晶体熵的增量为

设形成一对正、负离子空位需要能量w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变

因为实际上n?n，于是得

(2)对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积

3增加。当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是,,vna2

3式中a为离子最近邻距离。因为为晶体原有的体积，有上式可得vna,2

下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果:

4.7铜和硅的空位形成能eu分别是0.3ev和2.8ev。试求t=1000k时，铜和硅的空位浓度。答:由公式

4.8*化钾在不同温度下的钾蒸汽中增*，通过测试f带的光吸收就可得f心的形成能e。当b温度从570?上升到620?时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由f心的数目增加引起的，试计算f心形成能e。b

4.9考虑一体心立方晶格:(1)试画出(110)面上原子的分布图;(2)设有一沿方向滑[111]移、位错线和平行的刃位错。试画出在(110)面上原子的投影图。[110]

4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。答:滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向(即沿该方向的周期最小)。

(1)体心立方:滑移面为(110)面，滑移向为[111]，最小滑移矢量b即[111]晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a，则

(2)面心立方:滑移面为(111)，滑移向为[101]。最小滑移矢量b等于[101]方向上相邻格点间的距离，即

(3)六角密堆:滑移面是基面(0001)，滑移向是。晶向上原子间距为a，因[]此，

4.11在f晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为，该位错滑移的方[112]

1向和大小用伯格斯矢量表示为。试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错b,[110]2

，，6.1一维周期场中电子的波函数应满足布洛赫定理，若晶格常数为，电子的波函,xak

试求电子在这些状态的波矢

271,,,，，6.2已知一维晶格中电子的能带可写成，式中ek,,coska，cos2kaa,,2ma88,,是晶格常数，m是电子的质量，求(1)能带的宽度，(2)电子的平均速度，

(3)在带顶和带底的电子的有效质量

,k上式的唯一解是的解，此式在第一布里渊区内的解为,0或sinka,0a

(3)带顶和带底电子的有效质量分别为

其中，w为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度a,4b

解:据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为

其中是周期势场傅立叶级数的系数，该系数为:，，vxvn

,6.4用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s态电子能带，画出，与，，，，ekmk

波矢的关系，*只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。

对一维，最近邻r,,as

为余弦函数(图省)，，ek

6.5某晶体电子的等能面是椭球面

解:由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为

222xyz将上式与椭球公式，，,1222abc比较可知，在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积

4比较可得到，能量为e的等能面围成的椭球体积,abc3

能量区间内电子的状态数目，，e,e，de

是晶体体积，电子的能态密度vc

其中，，为晶格常数，试求,,0a,,0

(3)能带底附近电子的能态密度

可看出，n为偶数时e为极小值，n为奇数时为极大值

(3)能带底n为偶数，可取为零，故，，均很小kakakayxz

用和6.5题相同的方法，其中

6.7用紧束缚模型求最近邻近似的s态电子能带公式，写出二维正三角形网络的能带，计算电子的速度及有效质量张量。

对二维正三角晶格(如图)，

6.8用紧束缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能带(1)*在k,0附近，能带的等能面是球形的，导出有效质量。

(3)画出平面内能量的等值线。k,kxy

面心立方最近邻有十二个原子，其r位置在sijk

将这些r代入上式并简化可得:s

2x0附近，，，，均很小，利用cos1，(x

即可按此函数作图(图省)

可据上函数作图(图省)

等值线即(c为常数)，，ek,c

6.9对体心立方晶格，用紧束缚法近似计算最近邻近似下s态电子能带，*在带

底和带顶附近等能面近似为球形，写出电子的有效质量。

aaa对体心立方，最近邻原子为8个，其r为:，，,,,s222

kai,,,,i在带顶附近，可写为，很小,i2

6.10金属铋的导带底部有效质量倒数张量为

求有效质量张量的各分量，并确定此能带底部附近等能面的*质

,1,,解:的逆矩阵即为矩阵，用矩阵计算方法，可求得，，mm

为确定等能面，在作为k矢量原点的能带底部附近泰勒展开(有用的仅二阶项)，

显然等能面ekc,是一个椭球面，，

7.3(1)先决定导带底及价带顶的极值位置

7.4重空穴能量比轻空穴小

(1)利用类*模型，insb中施主杂质的电离能为

(2)施主杂质的玻尔半径

因此，杂质之间不发生重迭的临界杂质数为:v,7,，2.52610n43,ad3

每个原胞中含有4个原子，所以使杂质间不发生重迭的最小杂质浓度为:

b平行于z轴，载流子是电子时，

稳态时，时间导数为0，

其中，，称为回旋频率，,,ebm/c

7.9在温度不太高时可忽略本征激发，载流子将主要是由施主能级激发到导带的电子，这时，

导带中电子数目显然和空的施主能级数目相等。

当施主电离很弱时，，可略去右边分母中的1。ee,1fd

7.10通过p-n结的电流与偏压的关系为

时的临界磁场hc。如果2k时半径为0.1cm的sn线通过电流，问:在超导线表明的磁场强度

h等于hc(2k)时的临界电流为多少安培,

的表示式。9.3试推*穿透深度,l

9.4如何区分第一类超导体和第二类超导体,

答:超导体按磁化特*可分为两类。第一类超导体只有一个临界磁场hc，其。很明显在超导态，磁化行为满足m/h=-1，具有迈斯纳效应。除钒、铌、钽外，其他超导元素都是第一类超导体。第二类超导体有两个临界磁场，即下临界磁场hc和上临界磁场hc，当外磁场h0小12于hc时，同第一类超导体一样，磁通被完全排出体外，此时，第二类超导体处于迈斯纳状态，1

体内没有磁通线通过。当外场增加至hc和hc之间时，第二类超导体处于混合态，也称涡旋12

态，这时体内有部分磁通穿过，体内既有超导态部分，又有正常态部分，磁通只是部分被排出。

9.5用直径为1mm的铅丝围成一个直径为10cm的环。该铅环处于超导态。已经有100a的电流在铅环内流动。一年内没有观测到电流有任何变化。设电流测试的精度可达1ua。试估算铅在超导态时的电阻率为多少,

9.6设均匀磁场ho沿y轴，超导薄板与z轴垂直。薄板的上下两个平面为z=?d。求*超导体内部的磁通密度为

答:考虑以厚度为δ的无限平面超导平板，外加的均匀磁场沿z轴方向。在超导体外，磁场强度为b=bak;在体内b=b(x)k;在表面处b连续，b(?δ/2)=ba。在一维的情况下，穿

第2篇：物理熔化和凝固的练习题及*

1.下列事实能够说明相关物体是晶体的是()

a.铁在熔化时要吸收热量

b.*加热到0℃时才熔化

c.放在箱子里的卫生球会变小

d.铜可以锻造成各种规律的几何形状

思路解析：晶体和非晶体最主要的特征是：晶体有固定的熔点，而非晶体则没有。对于a，非晶体熔化时也要吸收热量，故a错。对于b，说明*必须在一个特定温度下熔化，故b对。对于c，升华时，物质都会变小，故c错。对于d，熔化后，晶体和非晶体都可以重新塑造形状，故d错。

2.下列物质中全都是晶体的是()

a.铁、食盐、松香b.萘、*、石英

c.金、海波、石蜡d.*、石英、玻璃

思路解析：松香、石蜡、玻璃是非晶体。

3.钢在熔化成钢水的过程中()

a.吸热，温度升高b.吸热，温度不变

c.放热，温度降低d.放热，温度不变

思路解析：钢是金属晶体，熔化时虽吸热但温度不变。

4.下列现象属于液化现象的是()

a.烧开水时壶嘴冒的“白气”

b.洗热水澡时，浴室内的镜头变模糊

c.清晨，草木上挂着露珠

d.寒冷的冬天滴水成*

思路解析：壶嘴冒的“白气”是壶嘴喷出的热的水蒸气遇冷液化成的小水滴;洗澡时，浴室内的镜子变模糊是由于热的水蒸气遇冷的镜面液化成小水滴附着在镜面上;露珠是由于空气中的水蒸气遇冷液化形成的，故a、b、c都是液化现象。滴水成*是水遇冷凝固成*，属于凝固现象，故d错。

思路解析：云、雨、雪……它们都是水，它们是水的三种状态的不同存在形式，其中云是气态，雨是液态，雪是固态。

第3篇：二级建造师施工管理巩固试题及*

第1题(单项选择题)(每题1.00分)题目分类:第一部分施工管理>2z101000第一章施工管理>2z101020施工管理的组织

某建设项目管理公司的项目部，根据该项目特点制定了投资控制、进度控制、质量控制、合同管理等工作流程。这些工作流程组织属于()。

第2题(单项选择题)(每题1.00分)题目分类:第一部分施工管理>2z101000第一章施工管理>2z101020施工管理的组织

项目结构图、组织结构图、工作任务分工表、管理职能分工表和工作流程图等都是常用的组织工具，其中能反映组织系统中动态关系的组织工具是()。

第3题(多项选择题)(每题2.00分)题目分类:二级建造师建设工程施工管理>2z101000第一章施工管理>2z101020施工管理的组织

在建设项目的组织系统中，常用的组织结构模式有()。

第4题(多项选择题)(每题2.00分)题目分类:二级建造师建设工程施工管理>2z101000第一章施工管理>2z101020施工管理的组织

某建筑施工企业为适应市场环境的变化，重新设计了公司的组织系统。在此过程中可以使用的组织工具有()。

第5题(多项选择题)(每题2.00分)题目分类:第一部分施工管理>2z101000第一章施工管理>2z101020施工管理的组织

某大型建设工程项目的组织系统采用了矩阵组织结构模式。为避免纵向和横向工作部门指令相互矛盾所产生不利的影响，减轻项目经理的协调工作量，该组织系统在纵向与横向部门指令发生矛盾时，可以采用的方式有()。

b.让两类部门自己解决矛盾

c.由工作人员自己解决

e.由最高管理人员亲自管理

第6题(多项选择题)(每题2.00分)题目分类:第一部分施工管理>2z101000第一章施工管理>2z101020施工管理的组织

同一个建设工程项目可以有不同的项目结构的分解方法，项目结构的分解应与整个工程实施的部署相结合，并与将采用的合同结构相结合。项目结构分解可参考的原则有()。

a.有利于绘制组织结构

b.有利于项目目标的控制

c.有利于项目任务的发包

d.有利于项目任务的实施

e.有利于相关合同的管理

第7题(多项选择题)(每题2.00分)题目分类:第一部分施工管理>2z101000第一章施工管理>2z101020施工管理的组织

下图示意了一个线*组织结构模式，该图所反映的组织关系有()。

a.b2接受a的直接指挥

b.a可以直接向c21下达指令

c.a必须通过b2向c22下达指令

第8题(单项选择题)(每题1.00分)题目分类:第一部分施工管理>2z104000施工质量控制>2z104030施工质量控制的内容和方法

设计单位在设计前拟采用无损试验测试既有建筑结构混凝土强度情况，常用的无损试验是()。

b.混凝土试块坍落度试验

c.混凝土试块抗压试验

第9题(单项选择题)(每题1.00分)题目分类:第一部分施工管理>2z104000施工质量控制>2z104030施工质量控制的内容和方法

设计单位在设计方案中，决定采用将钢筋锚入原结构混凝土后挑出原结构，然后支模浇筑混凝土后作为外挑梁。在钢筋锚入原结构混凝土的设计中，使用了一种新型的胶粘剂。为了确保施工质量，需要审查该新材料的()。

c.现场试验报告和鉴定报告

第10题(单项选择题)(每题1.00分)题目分类:二级建造师建设工程施工管理>2z104000施工质量控制>2z104030施工质量控制的内容和方法

某项目为了确保使用钢材的质量，对钢材进行了抗拉试验，抗拉试验属于()。