2019年四川省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )

4.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古代文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名

著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》和《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )

6.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）

7.已知曲线y＝ae x＋x lnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x＋b，则（）

8.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面

A. ，且直线BM，EN是相交直线

B. ，且直线BM，EN是相交直线

C. ，且直线BM，EN是异面直线

D. ，且直线BM，EN是异面直线

9.执行如图的程序框图，如果输入的?为0.01，则输出s的值等于（）

D. 10.已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若，则△OPF

11.记不等式组表示的平面区域为D．命题p：?（x，y）∈D，2x+y≥9；命题q：?（x，y）∈D，

2x+y≤12．下面给出了四个命题

这四个命题中，所有真命题的编号是（）

12.设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

15.设F1，F2为椭圆C：+=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则

16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体

ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体

的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，cm，cm．3D

打印所用的原料密度为g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每

组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、

摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据实验数据

摘 要：本文根据直线y=x-1是曲线y=lnx的切线，从四方面阐述利用它们之间的关系，并运用数形结合思想简解高考题.

作者简介：孟庆杰（1966-），男，辽宁抚顺人，本科，中学高级教师，研究方向：数学教育.

设曲线y=lnx，则点（1，0）在曲线上.因为（lnx）′=1x，所以曲线y=lnx在点（1，0）处的切线斜率为1，所以直线y=x-1与曲线y=lnx相切于点（1，0）[1]（如图1）.

例1 （2013年湖北卷文）已知函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）.

又直线y=2ax-1过定点（0，-1），所以当0

所以函数f（x）有两个极值点，B正确.

因为lnx≤x-1，所以a的取值范围为[-1，+∞）.

解 当a=0时，不符合题意，所以a≠0.

分别作出曲线y=alnx与直线y=x-1图象（如图3），因为lnx≤x-1，所以当a=1时，f（x）≥0符合题意;当a≠1时，不符合题意，所以a=1.

（2）证明：函数f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2

因为直线y=x-1与曲线y=lnx相切，所以分别作出曲线y=lnx和y=2（x-1）图象，并设两曲线的一个交点为A（x0，y0）（如图4）.

又0f（e-1）=e-2.所以函数f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2

2 利用曲线y=lnx与过（1，0）点的直线求解

（1）令g（x）=f ′（x），求函数g（x）的单调区间;

（2）已知函数f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围.

因为直线y=x-1与曲线y=lnx相切，所以分别作出曲线y=lnx与直线y=2a（x-1）的图象（如图5）.当2a≤0，即a≤0时，自变量x由0到1再到+∞，函数值g（x）由-∞到0再到+∞，所以函数g（x）在（0，+∞）单调递增;当2a>0，即a>0时，自变量x由0到x0再到+∞，函数值g（x）由-∞到极大值g（x0）再到-∞，所以x0为函数g（x）的极大值点，且曲线y=lnx在x0处的切线平行于直线y=2a（x-1）.

所以函数g（x）在区间（0，12a）单调递增， 在区间[12a，+∞）单调递减.

综上所述，a的取值范围是（12，+∞）.

3 利用曲线y=lnx与过原点的直线求解

例7 （2014年新课标全国Ⅱ卷文）已知函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则k的取值范围（ ）.

解 因為直线y=x-1与曲线y=lnx相切，所以分别作出曲线y=lnx和y=kx图象（如图6），所以当k≥1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，所以D正确.

例8 （2013年福建卷理）已知函数f（x）=x-alnx（a∈R），求函数f（x）的极值.

解 当a≤0时，显然函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，无极值.

当a>0时，因为f（x）=a（xa-lnx），直线y=x-1与曲线y=lnx相切，所以分别作出曲线y=lnx和y=xa图象（如图7），平移直线y=xa且与曲线y=lnx相切于点（x0，y0），则x0为函数f（x）的极小值点.

所以函数f（x）的极小值为f（a）=a-alna.

综上，当a≤0时，函数f（x）无极值;当a>0时，函数f（x）有极小值为f（a）=a-alna，无极大值.

（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围;

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

解 （1）当a≤0时，显然函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增;

当a>0时，因为直线y=x-1与曲线y=lnx相切，所以当a=1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减.

分别作出曲线y=lnx和y=ax图象（如图8），则a≥1时，f（x）在（1，+∞）上是单调减函数.

易证直线y=ex与曲线y=ex相切于点（1，e）.

分别作出曲线y=ex和y=ax（a≥1）图象，并设g（x）的最小值点为x0，且曲线y=ex在x0处的切线平行于直线y=ax（如图9）.

当a=e时，x0=1为最小值点，不符合题意;

综上所述，a的取值范围为（e，+∞）.

所以当a≤0时，g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，f（x）有一个零点;

当a=e-1时，g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，f（x）有一个零点;

当a>e-1时，g（x）在（-1，+∞）上不是单调增函数，f（x）无零点.

[1]左巍波，刘运科.题海无边 “回头”是岸——2018年高考全国Ⅱ卷理科数学导数压轴题分析与备考建议[J].中学数学研究（华南师范大学版），2018（19）：3-6.

求曲线y=e^x及该曲线过原点的切线与y轴所围成的平面图形的面积和该平面绕x轴旋转所得的体积.  以下文字资料是由(历史新知网)小编为大家搜集整理后发布的内容，让我们赶快一起来看一下吧！