奇函数加奇函数（奇函数加奇函数是什么函数？）

奇函数四则运算以后该如何判断函数的奇偶性？

hello，大家好，这里是摆渡学涯，很高兴在这跟大家见面了，马上要进入期中考试了，你的复习准备到哪里了？这次课程咱们来讲一下奇函数相关的变形考点，对于奇函数进行四则运算该如何判断函数的奇偶性呢？

1 已知f(x)为奇函数，判断–f(x)的奇偶性

证明：因为f（x）为奇函数，所以f（x）的定义域关于原点对称，且满足：f（x）=-f（-x），因此-f（x）的定义域关于原点对称，且-f（x）=f（-x），令g（x）=-f（x），则g（x）=-g（-x），即g（x）为奇函数，则-f（x）为奇函数。

下面咱们给出个实际的例子：已知f（x）=x，-f（x）=-x，则-f（x）为奇函数。相关的证明你下去自己证明一下吧。（温馨提示，根据奇函数的定义即可证明出来哦。）

2 已知f(x)是奇函数，判断f(-x)的奇偶性

证明：因为f（x）为奇函数，所以f（x）的定义域关于原点对称，且满足：f（x）=-f（-x），因此-f（x）的定义域关于原点对称，且-f（x）=f（-x），令g（x）=-f（x），则g（x）=-g（-x），即g（x）为奇函数，则-f（x）为奇函数。

下面咱们给出个实际的例子：已知f（x）=x，-f（x）=-x，则-f（x）为奇函数。相关的证明你下去自己证明一下吧。（温馨提示，根据奇函数的定义即可证明出来哦。）

3 已知f(x)和g(x)都是奇函数，且定义域相同，判断f(x)g(x)的奇偶性

证明：因为f（x），g（x）为奇函数，所以f（x），g（x）的定义域关于原点对称，且满足：f（x）=-f（-x），g（x）=-g（-x）因此f（x）g（x）的定义域关于原点对称，且f（x）g（x）=f（-x）g（-x），令h（x）=f（x）g（x），则h（x）=h（-x），即g（x）为偶函数，则f（x）g（x）为偶函数。

下面咱们给出个实际的例子：已知f（x）=x，g（x）=-x，则f（x）g（x）=-x的平方为偶函数。相关的证明你下去自己证明一下吧。

4 已知f(x)和g(x)是表达式不互为相反数奇函数，且定义域相同，判断f(x)+g(x)的奇偶性

证明：因为f（x），g（x）为奇函数，所以f（x），g（x）的定义域关于原点对称，且满足：f（x）=-f（-x），g（x）=-g（-x）因此f（x）+g（x）的定义域关于原点对称，且f（x）+g（x）=-f（-x）-g（-x），令h（x）=f（x）+g（x），则h（x）=-h（-x），即g（x）为奇函数，则f（x）+g（x）为奇函数。注意：当两个函数的表达式互为相反数的时候，此时的函数为常数函数，常数函数的奇偶性我们是不做要求的哦。

下面咱们给出个实际的例子：已知f（x）=x，g（x）=2 x，则f（x）+g（x）=-3 x为奇函数。相关的证明你下去自己证明一下吧。

5 已知f(x)和g(x)是不相等的两个奇函数，且定义域相同，判断f(x)-g(x)的奇偶性

根据4相关的证明即可进行相关的证明哦。证明过程留给你自己去证明了。咱们给出结论f（x）-g（x）没有奇偶性（奇偶性不确定）。例如：f（x）=x的三次方，g（x）=x，f（x）-g（x）非奇非偶哦。完整的证明过程你一定要自己去写一下哦，否则你还是不理解奇函数哦。如果你还是没有证明出来，请跟我们一起交流遇到的困难哦。咱们下次课再见吧。当然你也可以考虑一下函数的除法，自己给出证明的。

时间关系，本次课程我们就为大家分享到这里了，我们下次课再见。如您有相关的疑问，请在下方留言，我们将第一时间给以大家满意的回复。

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一．选择题(本大题共12小题，第小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．)

2、已知集合A到B的映射f:x→y=2x+1，那么集合A中元素2在B中对应的元素是：

3．设集合若则的范围是( )

4．函数的定义域是（　）

7．下列函数是奇函数的是（ ）

9．设集合，，给出下列四个图形，其中能表示以集合为定义域，为值域的函数关系的是（ ）

12．已知函数是上的增函数，，是其图像上的两点，那么的解集是（ ）

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）

15． 定义在R上的奇函数,当时, ；则奇函数的值域是 ．

①若函数的定义域是｛，则它的值域是；

② 若函数的定义域是，则它的值域是；

③若函数的值域是，则它的定义域一定是；

④若函数的定义域是，则它的值域是.

其中不正确的命题的序号是_____________( 注:把你认为不正确的命题的序号都填上).

三、解答题：本大题共5小题，共70分．题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．已知全集，，，．（1）求； （2）求．

19．已知函数y＝x2－2x＋9分别求下列条件下的值域，

(I)判断函数的奇偶性，并加以证明；

(II)用定义证明在上是减函数；

(III)函数在上是单调增函数还是单调减函数？(直接写出答案，不要求写证明过程)．

21． 已知函数是定义在R上的偶函数，且当≤0时，． (1)现已画出函数在y轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数的图像，并根据图像写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式和值域.

6．B．提示：运用数轴． 7．A．提示：B为偶函数，C、D为非奇非偶函数．

10．C 11 B 12．B．提示：∵，而，∴，∴．

14. .提示：∵，∴

16.①②④．提示：若函数的定义域是｛，则它的值域是；若函数的定义域是，则它的值域是.

（3）当a＞-1时△＞0要使BA，则A=B

18.解:（1）依题意有:

20. 证明：(I)函数为奇函数

(III) 在上是减函数．

21．(1)函数图像如右图所示：

（2）解析式为：，值域为：.

∴当，即 ；当即x=0时，.

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