摘  要：在对2021年全国各地高考数学试卷中的立体几何试题内容、题型、分值、难度、思想方法等进行详细分析的基础上，指出2021年高考立体几何试题命题突出了基础性，兼顾了综合性和应用性，以朴实简洁的试题形式，突出对立体几何基础知识和基本思想方法的考查，实现了从多角度、多层次考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力. 以2021年高考数学试题为例，分析了高考立体几何试题的命题思路，提出了立体几何复习的教学建议，为2022年高考复习提供了参考.

关键词：立体几何;命题分析;复习建议

2021年高考立体几何试题延续近几年来的命题风格，以朴实简洁的试题形式，突出对立体几何基础知识和基本思想方法的考查. 在不同情境中，考查学生对空间图形的观察和分析能力，运用符号语言和图形语言论证几何关系的能力，以及对几何图形和几何量进行运算求解的能力. 实现了从多角度、多层次考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力. 试题突出了基础性，兼顾了综合性和应用性.

2021年高考数学试卷中的立体几何试题的主要内容有三个方面：一是对空间几何体的基本结构和度量的考查，主要内容有三视图和直观图、简单多面体和旋转体的性质、空间线段长度、表面积与体积;二是对空间点、直线、平面位置关系的考查，主要内容有直线、平面平行和垂直关系的判定、性质与应用，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，两平面所成的二面角;三是立体几何的应用问题，主要内容是以典型的空间几何体为背景，以线面几何关系为切入点的实际问题，指向是实际问题中的长度、角度、面积和体积的计算.

2021年高考立体几何试题涵盖了数学试题中的所有题型，有单选题、多选题、填空题和解答题. 除了传统的试题表现形式外，也增加了开放题和应用题等试题形式，丰富了立体几何的考查方式.

2021年每份高考数学试卷中的立体几何试题基本都是两道客观题、一道主观题，约22分，占全卷总分的15%左右，与解析几何试题的考查分量相当，仅次于函数与导数试题的考查分量，是数学学科考查的主要内容之一. 采用新高考模式的数学试卷中的立体几何试题，其内容和形式与原全国卷没有本质上的变化，试题的占比与以往基本相同.

2021年高考数学全国卷中的立体几何试题的难度总体上保持稳定，以容易题和中等题为主，而且试题往往都以学生熟悉的形态出现，文、理科立体几何试题基本上是相同试题或相似试题. 文、理科试题类型基本相同，难度相差较小，文科稍微容易些.

2021年高考数学试卷中的立体几何试题突出考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养，试题突出对转化与化归和数形结合的数学思想的要求，以直线与平面的位置关系作为空间问题的转化枢纽，实现空间问题平面化、几何问题数量化的目标. 试题以对空间图形进行分解、组合、转换等手段，实现典型问题的变式转化和解决问题方法的灵活选择，大多数立体几何试题都能在教材中找到原型，做到了试题命制源于教材而高于教材.

立体几何试题命制的基本依据是四个基本事实，空间直线、平面位置关系的概念与空间角的概念，以及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系的判定定理和性质定理，空间直角坐标系与空间向量. 通过立体几何试题的不同呈现形式，要求学生能用定义、判定定理和性质定理证明空间基本图形的位置关系的简单命题，能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，会用向量方法解决立体几何中的夹角问题，会将立体几何中的各种夹角问题都转化为两个向量的夹角.

2021年高考数学立体几何试题都是以最常见的空间几何体为命制背景，特点鲜明. 解答题主要以三棱锥、三棱柱、四棱锥、四棱柱（包括正方体）为背景，因为这几个典型的空间几何体已经能够表现丰富的几何关系，能在学生熟悉的情境中考查最核心的内容，不人为设置障碍、不考细枝末节问题是立体几何试题的特点. 对旋转体内容的考查多以选择题和填空题的形式呈现，主要考查旋转体的结构特征、性质、表面积和体积等基础知识. 在选择题和填空题的命制中，通过三视图、线面平行或垂直关系的判断、面积和体积的计算等内容，以识图、画图、想图、用图等方式考查学生的空间想象能力. 在解答题的命制中，通过直线与平面的平行或垂直关系的论证，要求从已有的正确前提到被论证的结论之间建立逻辑推理过程，考查学生的知识储备和演绎推理能力，从而实现对学生理性思维的考查;在直线、平面的有关夹角的计算中，重点考查学生的数学转化能力和运算求解能力，通过建立空间直角坐标系，用向量语言表述几何对象，对几何图形和各几何量进行运算求解，体现出对核心内容和思想方法的重点考查.

具体地，2021年高考数学立体几何试题的命题呈现出以下几个方面的特点.

1. 以三视图为背景考查空间想象能力

例1 （全国甲卷·理6）在一个正方体中，过顶

点[A]的三条棱的中点分别为[E，F，G]. 該正方体截去三棱锥[A-EFG]后，所得多面体的三视图中，正视图如图1所示，则相应的侧视图是（    ）.

【评析】该题以正方体为载体，以三视图为切入点考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力. 用三视图中的一个视图来推理辨识另外的视图，是立体几何试题命制形式的创新. 通过对原正方体的想象和还原（图2），以达到对各个视图的辨别，体现出在熟悉的情境中考查空间想象能力的要求.

例2 （浙江卷·4）某几何体的三视图如图3所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：[cm3]）是（    ）.

【评析】该题通过三视图考查学生的空间想象能力，要求根据三视图还原空间几何体（图4），并根据线面关系判断空间几何体的类型为棱柱，然后可以通过对图形的分解或组合，构成两个直三棱柱体积之差，或者直接利用直四棱柱体积公式进行计算（图5）.

例3 （北京卷·4）某四面体的三视图如图6所示，该四面体的表面积为（    ）.

【评析】该题也是以三视图为载体，考查学生的空间想象能力和表面积、体积的相关内容. 一般要求学生先由三视图想象所对应的空间图形，然后根据空间图形完成有关的论证和计算. 由三视图对原空间图形的构建一般可以在长方体中进行，该题在正方体中完成对原空间图形的构建（图7），从而完成四面体表面积的计算.

2. 在典型的情境中考查线面平行与垂直关系

【评析】以正方体这类最典型的空间几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是立体几何试题命制的一大特点，体现在熟悉的情境中考查基础知识、基本能力的设想. 直线[A1D]与直线[D1B]的位置关系的判定，涉及异面直线的判定、异面直线垂直的判定，而异面直线垂直的判定又可以通过线面垂直的判定得到. 直线[MN]与平面[ABCD]及平面[BDD1B1]关系的判定通过直线[MN]与直线[AB]的平行关系得到. 这种基于典型空间图形线面位置关系的考查，是立体几何试题命制的典型手法.

【评析】该题是以长方体为载体的立体几何试题. 这个四棱锥是长方体中的一部分，是基于长方体命制的试题（图10）. 通过将线面关系[PD⊥]底面[ABCD]，[PB⊥AM]转化为[BD⊥AM]实现空间几何关系向一个平面的转化，从而可以求得边[BC]的长. 对于二面角[A-PM-B]的正弦值的问题，试题显然营造了两种计算途径：一是建立空间直角坐标系，运用向量的方法，将二面角大小的计算转化为两个向量的夹角，以点[D]为坐标原点可以方便地建立空间直角坐标系[D-xyz];二是综合几何的方法，找出二面角[A-PM-B]的平面角，在四棱锥[P-ABCD]所构成的长方体中（图11），二面角[A-PM-B]就是平面[PAM]与平面[PEBC]所成的角.

3. 多选题、开放题丰富了考查的形式和内容

（A）当[λ=1]时，[△AB1P]的周长是定值

（B）当[μ=1]时，三棱锥[P-A1BC]的体积为定值

【评析】2021年是第二年在新高考数学试卷中出现多选题，只有全部答对才能得满分（5分），部分答对部分得分（2分），但只要选错一个就得0分. 通过多选题可以实现多种考查目标. 该题以正三棱柱为载体，结合空间向量考查学生识图、画图、读图的能力，以及线面的垂直关系的判定、三棱锥体积和几何图形性质等内容. 试题并没有给出图形，需要学生将符号语言转化为图形语言，画出相应的空间图形（图12）. 由于是多选题，各个选项都有可能正确，所以四个选项相当于四个问题，增加了考试的容量和得分的难度. 由此可以根据线面关系的有关结论进行判断.

例7 （全国新高考Ⅱ卷·10）下列各正方体中，[O]为下底面的中心，[M，N]为顶点，[P]为所在棱的中点，则满足[MN⊥OP]的是（    ）.

【評析】该题以正方体为背景，考查直线[MN]与直线[OP]在不同位置下的垂直关系的判定，由于[MN]与[OP]在不同的位置下都有可能垂直，因此设计成一个多选题可以充分考查学生对线面垂直关系的掌握情况. 两异面直线的垂直关系的判定一般需要通过线面垂直得到，因此也考查了学生对垂直关系的转化能力.

例8 （全国乙卷·理16）以图14（1）为正视图，在图14（2） ～ 图14（5）中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为      .（填符合要求的一组答案即可.）

【评析】该题是条件开放型试题，在某个三棱锥的正视图确定的前提下，分析侧视图和俯视图的可能性，而侧视图和俯视图有多种可能性，需要通过想象空间图形的各种形态来进行选择. 可以考虑在棱长为2的正方体内构建三棱锥辅助思考. 如图15，三棱锥[S-ABC]的正视图是图14（1），侧视图和俯视图分别为图14（3）和图14（4）;如图16，三棱锥[S-ABC]的正视图是图14（1），侧视图和俯视图分别为图14（2）和图14（5）. 这种有多种可能的开放型试题，丰富了立体几何试题的命制形式，更加体现出对数学学科核心素养的考查. 虽然三视图将淡出高中立体几何教学，但该类型的试题表现形式，将会更多地出现在高考试题之中.

4. 通过应用问题考查数学阅读和知识运用

例9 （全国甲卷·理8）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为[8 848.86]（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 如图17是三角高程测量法的一个示意图，现有[A，B，C]三点，且[A，B，C]在同一水平面上的投影[A，B，C]满足[∠A′C′B′=45°]，[∠ABC=60°].

【评析】该题是以立体图形为载体的数学应用问题，这类试题考查学生的数学阅读能力、数学理解能力，要求在相对短的时间内理解题意，提炼问题的本质，选择适当的数学方法解决问题. 与立体几何相关的测量问题往往与正弦定理、余弦定理及解三角形的知识密切联系，这类应用问题也是高考应用问题的命题方向.

例10 （全国新高考Ⅱ卷·4）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果. 在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为[36 000 km]（轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）. 把地球看成一个球心为[O]、半径为[6 400 km]的球，其上点[A]的纬度是指[OA]与赤道所在平面所成角的度数. 地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为[α]，该卫星信号覆盖的地球表面面积[S=2πr21-cosα]（单位：[km2]），则[S]占地球表面积的百分比为（    ）.

【评析】该题以实际问题为背景考查球的有关知识，试题约有200个字，需要通过阅读理解有关的概念，如卫星到地球表面的最短距离、纬度、纬度的最大值、球冠的面积. 由于球冠的面积公式不属于考试的范围，所以试题给出了球冠面积的计算公式[S=][2πr21-cosα]，这是球冠面积公式[S=2πrh]（其中[h]是球冠的高）的另外一种表示形式. 该题考查学生的空间想象能力，需要画出相应的图形（图18），并且知道卫星[P]到地球表面的最短距离[d]，是点[P]与球心[O]连线上的线段[BP]，可以通过公式进行计算：[cosα=][rr+d]，[SS球=2πr21-cosα4πr2=1-cosα2=d2d+r=45106≈][42%]. 此题的命题者更希望学生能根据直觉和估算得出结果. 由于卫星到地球表面的最短距离[36 000 km]是地球半径[6 400 km]的[5.6]倍，当卫星处于无限远处，卫星信号能够覆盖的面积占地球面积的50%，若卫星信号能够覆盖的面积占地球面积的[13]，则[cosα

5. 创新型试题体现对数学学科核心素养的考查

【评析】这是一道看似平常的立体几何试题，但其中蕴含着命题者希望学生“多想少算”的愿望，检测学生个体思维的灵活性. 在正方体[ABCD-A1B1C1D1]（图19）中，[∠C1BP]是直线[PB]与[AD1]所成的角，而[△A1BC1]是正三角形，[P]是[A1C1]的中点，所以[∠C1BP=π6]. 这样就避免了求角的运算.

例12 （北京卷·8）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）.[24 h]降雨量的等级划分如下表所示.

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为[200 mm]，高为[300 mm]的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的[24 h]的雨水高度是[150 mm]，如图20所示，则这[24 h]降雨量的等级是（    ）.

【评析】该题以实际问题为背景考查圆锥、圆柱体积相关的内容. 该题的命制颇有创意，给出的定义是建立起一个判断降雨等级的数学模型，利用数学模型进行判断. 该题的不同解决途径可以反映学生的数学素养. 一是根据图形先计算高为[150 mm]的圆锥的底面直径，再计算出积水的体积，然后等体积转化为底面直径为[200 mm]的圆柱，计算这个圆柱的高，并做出判断，这种做法计算量较大. 二是利用等底、等高的圆柱和圆锥的体积关系，以及圆锥的性质做出判断. 因为圆锥的体积是等底、等高的圆柱体积的[13]，而图20中积雨水的小圆锥（阴影部分）体积是大圆锥体积的[18]，因此积雨水的小圆锥转化为圆柱后的高度应是[300 mm]的[124]，即[12.5 mm]，便能得出正确结果，这样就可以避免复杂的计算.

6. 综合法和向量法为个性化解题提供可能

（2）当[B1D]为何值时，面[BB1C1C]与面[DEF]所成的二面角的正弦值最小？

【评析】2021年高考立体几何解答题一般都设置两个小题. 其中，第（1）小题是关于直线、平面平行或垂直的位置关系的论证;第（2）小题是计算题，一般是直线、平面有关角的计算或距离、体积等计算. 对于位置关系的论证是立体几何部分的重要考查内容，要求学生根据已知的事实，依据定义、定理、性质，论证某个数学命题的正确性，并写出完整的推理过程. 而对几何图形中几何量的计算求解是考查运算求解能力的重要方法，要求学生能够分析运算条件，探究运算方向，选择运算公式，确定运算程序，并且能够在实施运算过程中遇到障碍时进行灵活调整. 在证明[BF⊥DE]中考查学生的灵活的转化能力，要将线与线的垂直转化为线与面的垂直，学生需要对几何图形有准确的判断，从而寻找到辅助平面. 设[G]是[BC]的中点，将[BF⊥DE]转化为证明[BF⊥]平面[EGB1D]（图22）. 在探究平面[BB1C1C]与平面[DEF]所成的二面角时，如果知道二面的平面角，则问题就会变得简单. 但由于图中平面[DEF]与平面[BB1C1C]只出现一个公共点[F]，所以先要确定这两个平面的交线. 由于[EG=1]，在[Rt△EGH]中，[GH]最大时[sin∠EHG]最小，所以当点[H]与点[F]重合时，[GH]最大. 在对线面关系充分了解的基础上，可以建立空间直角坐标系来完成二面角的计算，由于[AB⊥BC]，[BB1⊥]平面[ABC]. 因此，以点[B]为原点，[BA]所在直线为[x]轴，[BC]所在直线为[y]轴，[BB1]所在直线为[z]轴建立空间直角坐标系[B-xyz]，运用向量方法完成求解.

高考对立体几何的要求决定了试题侧重基础性，适度关注综合性和创新性. 立体几何内容重在对直观想象、逻辑推理和数学运算素养的考查，突出对数学转化、推理论证和运算求解等关键能力的考查. 因此，建议在立体几何复习中，做到以下几点.

1. 夯实基础，用典型几何体培养基本思维模式

从立体几何试题的分析可以看出，立体几何考查的主要内容都基于典型的简单几何体. 复习过程中，要梳理立体几何知识体系，以空间几何体的结构特征在典型几何体中的表现，空间点、直线、平面之间的位置关系为基础，认识刻画空间几何图形位置关系的基本方法，形成以公理、定义、判定、性质、应用为主线的认识空间图形的思维模式，分析清楚各种位置关系的特征和刻画方法. 以历年高考试题为例，研究立体几何部分的典型问题，编制相应的基础问题帮助学生形成解决立体几何问题的基本思维模式.

2. 突出重点，以线面位置关系作为基石

从以上对试题命制思路的分析我们可以知道，立体几何的考查以直线、平面位置关系的论证和度量为重点. 因此，在立体几何复习中，应以直线、平面之间的平行和垂直关系为重点，以平行和垂直的概念、判定定理、性质定理的复习为基础，引申出除判定定理之外的能够得出平行和垂直的条件，平行和垂直性质的运用等，形成分析直线、平面之间位置关系的知识网络，使其成为立体几何复习的基石.

3. 归纳方法，以关系论证与角的计算为重点

立体几何试题的主体是空间中线面平行、垂直的有关性质和判定，空间角的计算求解. 复习中要抓住这个方面的重点来总结方法，解决运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形位置关系的简单命题的基本步骤和方法，特别要重视论证的规范表达. 要归纳平行和垂直的证明应该怎样想、怎样画、怎样做、怎样算、怎样写. 归纳空间角的计算有哪些类型，哪些基本方法、难点和注意事项.

4. 提升思想，以核心素养的提升为目标

高考试题的解决最终反映的是学生数学素养的差异. 提高数学复习的品位，要从提高思想站位开始. 要立足核心素养去培养学生的解题能力，要以辩证的观点看待问题，以转化的思想对待问题，以一般性和特殊性去分析问题，始终以空间图形的特征和位置关系作为关键，从有图想图到无图想图，突出立体几何中“观察、判断、计算、证明”的解决问题的途径，综合与灵活地应用立体几何的知识、思想方法，选择有效的方法去解决问题.

5. 适度创新，适应高考改革和发展的要求

新课程、新高考出现了很多变化，从理念目标到内容形式都有新的发展，复习教学要适应高考的变化，在保证和巩固基础知识的前提下，要加强综合性、应用性问题的训练，增强对多选题、开放题的研究和训练. 要把握立体几何的整体观点，在核心素养统领下，组织复习材料，侧重对立体几何知识的理解和应用，加强对学生数学迁移能力的培养，减少机械训练，整合几何和向量方法在立体几何中的作用，精心设计反映空间图形运动变化，体现思维发散性，具有一定深度和广度的试题，以适应新高考带来的变化.

1. 某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，如图24所示. 经测量长方体的底面正方形的边长为[26 m]，高为[9 m]，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底面正方形的对角线的延长线上时，测得光线与底面夹角为30°，正四棱錐顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为[11.8

（B）异面直线[CD]与[AB]所成的角为90°

（C）异面直线[EF]与[AC]所成的角为90°

（A）线段[PQ]长度的最小值为2

（B）满足[PQ=22]的情况只有4种

（C）无论点[P，Q]如何运动，直线[PQ]都不可能与[BD1]垂直

（D）三棱锥[P-ABQ]的体积大小只与点[Q]的位置有关，与点[P]的位置无关

答案：若[l⊥α]，[l]∥[β]，则[α⊥β].（答案不唯一，或者若[l⊥α]，[α⊥β]，则[l]∥[β].）

8. 如图29，在三棱柱[ABC-A1B1C1]中，四边形[AA1C1C]是边长为[4]的正方形，[AB=3]. 再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.

（2）求直线[BC]与平面[A1BC1]所成角的正弦值.

答案：选择①②，（1）略;（2）[1225].

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考试中心制定. 中国高考评价体系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[3]教育部考试中心. 中国高考评价体系说明[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[4]周远方，李冉，徐新斌. 2019年高考“立体几何”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2019（7 / 8）：104-110.

[5]张培强，魏贤刚. 2020年高考“立体几何”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（10）：41-47.