一、 课题的确定

学生在三年级学过长方形、正方形的面积计算，经历过从数方格的办法得出面积计算公式的过程。因此，学生对于面积计算公式的推导有一定的经验和知识基础。基于上述考虑，我想完全放手让学生去研究如何计算平行四边形的面积。这对学生来说显然是一个极大挑战，他们会怎么研究呢？我忐忑不安又充满期待。

二、 课题的布置与指导

面向全体学生布置研究任务：平行四边形的面积怎样计算？(要求学生不能看课本，不能上网查资料，也不能问家长，只能自己研究。)

收集学生的研究成果，发现学生的研究成果有以下几种：(1)平行四边形的面积等于两条邻边相乘，这种意见占了一大半；(2)平行四边形的面积等于底乘高，全班只有5位同学得到这个结果。没有同学去用数方格的方法去求平行四边形的面积，大概嫌太麻烦吧。

对于提出平行四边形的面积=邻边×邻边的同学，我建议他们不能只猜测，必须证明，让所有的人信服。

多数同学证明平行四边形的面积不等于邻边×邻边，应等于底乘高，有一位同学提出平行四边形的面积等于高乘高，有一位同学还坚持平行四边形的面积等于邻边×邻边。我只好引导他用数方格的方法证明看看。当他数完后果然发现，不能用邻边×邻边计算平行四边形面积。我把这位同学留在办公室里，观察他的研究思路，他冥思苦想了两个小时，却没有一点眉目，我只好让他在方格纸上画了很多底相等，高不同的平行四边形，让他反复观察、数出面积，找到面积与什么有关，又经过3个多小时的努力，终于很疑惑的问我：“平行四边形的面积是不是与它的高和底有关？”我说：“对，你的猜测很准确，你再画两个高和底都相等的长方形和平行四边形，会发现什么？”只用了半个小时，他就很惊喜的告诉我：高和底都相等，长方形和平行四边形面积相等，所以平行四边形面积=底×高。

大多数同学都能证明平行四边形面积=底×高，他们证明的方法不同，好多方法是在我们正常的40分钟课堂从来没有出现过的，任何参考资料上都没有的。

师：孩子们，伟大的科学家牛顿说过，“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”。这次，我们研究平行四边形的面积正是从大胆的猜想启航的。下面我们请二组的同学展示他们的研究成果。

曹原：大家还记得吗？长方形的面积等于什么？正方形的面积等于什么？长方形和正方形的面积都是邻边×邻边。我就想：平行四边形的面积是否也等于邻边×邻边？

我把两根长小棒和两根短小棒拼在一起，成了一个长方形，再把它稍微拉动了一下，成了一个平行四边形。它的面积跟原来差不多。“可是，”我又继续朝着同一个方向拉伸，“可是如果它已经不是原来的样子，而是这个样子了，面积都快成一条缝了，怎么会和先前长方形的面积一样呢？”于是用邻边×邻边的方法去求平行四边形的面积是错误的。

师：三组的同学对这个问题也做了深入的研究，看他们研究的方法是否一样。

周冠妤：平行四边形的面积是否等于邻边×邻边，我做了一个平行四边形的框架，这样它们的边不变，就可以拉出不同形状的平行四边形。

我把长方形描在方格本上，又拉了几个不同的平行四边形，也描在方格本上，数了数图形1的面积是70个方格，图形2的面积是50个方格，图形3的面积是38个方格，图形4的面积是26个方格，平行四边形的面积越来越小。如图：

我的结论得出来了，事实证明：计算平行四边形的面积是不能用邻边×邻边这种方法的。我的汇报完毕，谢谢大家。

师：孩子们，看来面对同一个问题，每人开启智慧的方式是不一样的，一组同学用事实、画图说话，而另一组同学用数据说话，这都是我们证明科学问题常用的方法，值得借鉴。

师：有同学猜想：平行四边形的面积=高×高，是否这样呢？请一组的同学给我们展示。

吕芃霖：我开始认为平行四边形的面积应该是高×高，因为长方形的两条高就是长和宽。于是我就画了一个以两条高为边的长方形数了数，可是只有7.5个格，而我数了数原来平行四边形有15个格，看来平行四边形的面积不等于高×高。

师：看来还是不对，研究科学就是这样，需要我们不断地猜想、验证、否定，不断产生新的想法，不断前进，于是我们离真理越来越近。有同学猜想：平行四边形的面积=底×高，先请二组同学展示他们是如何研究这个问题的。

张瑞林：我们用的是“变形法”。昨上，我坐在竹席上思考平行四边形面积到底怎么计算，我忽然眼前一亮，竹席是由长短、粗细一样竹条编成的，如果把竹条编成平行四边形，它的面积会发生变化吗？我马上找来小棒代替竹条做实验。

我先用32根小棒拼成了长方形，又用32根小棒编成了平行四边形，大家说拼成平行四边形和长方形的面积有没有发生变化？

张瑞林：大家再仔细观察，还有什么没有发生变化？

张瑞林：小棒长短没有变化说明底相同，对吗？

生：小棒的数量没有发生变化。

张瑞林：小棒叠加起来的高度是平行四边形的高。

因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

如果排成别的样子也会这样吗？我又排了很多形状，如箭头形、弧形、波浪形，我把它们排在一起，大家看，他们的面积是不是还是没有发生变化？还有设么没有发生变化？

生：小棒的长短和数量都没发生变化。

张瑞林：也就是组成的图形的底和高没有发生变化，由此我们可以推断：底高相等，上下粗细一样的图形，都可以用底乘高来计算面积。不管侧边有多长，都与面积没有关系。如下图：

张瑞林：还有不明白的地方吗？

生：可是长方形没有底和高啊。

张瑞林：长方形的长就是它的底，长方形的宽就是它的高，只不过是换了个说法而已。明白了吗？

师：很好，举一反三，不但得到一种图形的面积，还得到一类图形的面积，同时，这些同学的研究给了我们很好的启示：面是由线构成的，线是有点构成的，而面叠加起来又可以构成我们周围的立体世界，如，这本书由许多长方形构成的。以小积大，怪不得古人云：不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海。希望同学们在生活和学习中积跬步，积小流，成大器。

师：一组也研究出了平行四边形的面积=底×高，请他们展示研究成果。

李艺莹：我先画出平行四边形，因为我们学过，平行四边形有两组对边平行，既然平行，那我就想它两个角能否组成和那个平行四边形长度一样的长方形呢？我测试了一下，发现可以，那这样计算平行四边形的面积就容易多了，下面就是我的研究方法。图一：先画出平行四边形，再画一条顶点上的高，沿高剪下一个三角形。图二：把剪下的三角形再拼在另一个三角形旁边，一个长方形就转化成了。

韩振：大家看，平行四边形变成长方形面积有没有变化？

韩振：拼成的长方形的长等于平行四边形的什么？长方形的宽等于平行四边形的什么？

生：长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于长方形的高。

韩振：因为长方形的面积=长×宽，那么平行四边形的面积=底×高。

马俊：大家对我们的介绍有什么疑问吗？

张瑞林：非沿顶点剪下来吗？

成员一：也可以沿别的地方剪下来。

师：你能演示给大家看吗？

这位同学走到台前给大家演示。

师：可是你还是沿顶点剪的呀，人家的问题是非沿顶点剪下来吗？

听了老师的疑问，学生犹豫了一下说：我认为不可以，因为从别的地方剪不可以和梯形拼成长方形。

张瑞林：可是我认为可以，我来给大家演示。说着便走到了台前。

看到别组的成员要演示，组员三马上说：我认为可以沿其它的地方剪下来，拼成长方形。边说着边演示给大家看

张瑞林：我就说嘛你为什么非说要沿顶点剪呢。

师：看来不仅可以沿顶点剪，只要怎样剪就可拼成长方形？

生：只要沿平行线间的垂直往下剪就可以。

曹原：也就是沿着平行四边形的任意一条高剪就可以。

吕芃霖：那如果平行四边形很细怎么办？比如说只有1厘米宽。

张瑞林：很细也可以呀，比如说1毫米。

吕芃霖很疑惑的举起了手。

师：你还有什么问题吗？

吕芃霖：我还想证实我的想法。可是我认为这个图形就不能沿这条高剪，他拿着一个又矮又长的平行四边形走到台前形想驳倒大家。如图：

张瑞林：请问你画的是高吗？

众生：他画的不是高，根本就不垂直。

可是吕芃霖不相信自己画的不是高，只好借用三角尺现场量给他看，张瑞林接着在附近画了一条高，剪下来拼成了长方形，吕芃霖回到了座位，犹豫着接受了大家的意见。

我看出了他还是有点疑惑的，课堂又没有太多的时间，只好说：“如有疑问，我们课下再研究。”

师：还有哪些同学来展示你们与众不同的方法？

宋雨虹：我们发现，平行四边形可以分成两个相同的三角形，如图：

三角形的面积公式=底×高÷2，平行四边形的面积=两个三角形的面积，所以平行四边形的面积公式=底×高÷2×2=底×高，我们没有学过三角形的面积，是怎么得到的呢？下面由陈平同学给大家解答。

陈平：我发现长方形、正方形都可以分成两个相同的直角三角形。

三角形的高=长方形的宽，三角形的底=长方形的长

三角形的面积=长×宽÷2

雨虹：大家还有什么疑问吗？

生：你们研究的是直角三角形，那如果不是直角三角形怎么办？

宋雨虹：我们小组的同学也提出过类似的问题。我们发现，无论锐角三角形和钝角三角形，只要画出他们的高，都可以分成两个直角三角形，再把那两个直角三角形的上方画出两个三角形，就拼成了长方形。如图：

原来三角形的面积等于长方形面积的一半，这个长方形的面积等于底×高，因此，三角形的面积=底×高÷2。

师：平行四边形转换成三角形，三角形转换成直角三角形，直角三角形转换成长方形，就是在这不断地地转换中，让我们找到了各种图形之间的联系，而且我们还有了意外的收获，三角形的面积=底×高÷2。

吕芃霖：我还有一种方法证明三角形的面积=底×高÷2。可以找到三角形两条斜边的中点，做垂线段，沿垂线段剪下，拼到上方，变成长方形，如图。

长方形的底是三角形底的一半，宽是三角形的高，长方形面积=长×宽，所以三角形面积=底÷2×高

生：我觉得你这种方法真是稀有的，你是怎么想出这种独特的方法的？

吕芃霖：贺童是用两个三角形研究的，我就想能不能用三角形自身来研究呢，就想出了这种方法。

生：你的这种研究精神值得我们学习。

生：既然出现了两个求三角形的面积，肯定有一个是正确的吧？

生：我认为宋雨虹的方法对，因为她研究了多个三角形，而第二种只研究一个三角形。

生：我认为吕芃霖的方法对，他的方法适用于任意的三角形，第一种要找两个相同的三角形。

生：我用底是10cm,高是6cm的三角形验证，结果是一样的！可以将这两个公式概括为一个：三角形的面积=底×高÷2。

师：学了运算定律，大家就知道为什么都对了！有兴趣的同学可以课下继续研究。

师：孩子们，炎炎烈日，却挡不住我们小课题研究的脚步，通过这几日的研究和今天的交流，你有哪些收获？

生：我们要用自己的方法和见解解决生活中的问题，还从别人的研究中学会许多好的方法。解决问题的方法是多种多样的。

生：只要努力，没有解决不了的问题，让我们一起努力吧。

四、课后研究及成果展示交流

(一)课题：是不是沿平行四边形的任意一条高剪都能拼成长方形

记起课堂上吕芃霖对沿平行四边形的任意一条高剪都能拼成长方形问题的争辩，及其他最后的犹豫，我想画错了高不应是他的本意，他是班上数学最好的同学，可能是我忽视了他的想法。课后马上找到他，果然他说自己的本意是：假如是一个很长很细的平行四边形，高画在了外面怎么办?那就继续研究吧。当天结论就出来了：如果高画在了图形的外面，剪下来的部分是不能直接拼成平行四边形的，所以课堂上我们说的“沿任意一条高剪下的图形都能和梯形拼成平行四边形”这句话是不严密的。如图：

(二)课题：如果平行四边形面积相等，底相等，周长会有什么变化？

为了研究这个问题，我画了如下几个图形，它们的面积相等，底相等，但图形1的周长是15厘米，图形2的周长是15.4厘米，图形3的周长积是16厘米，图形4的周长是17.4厘米，我反复研究，得出的结论是：平行四边形面积相等，底相等，斜边越斜，周长越长，斜边越直，周长越短。也就是相邻的两个夹角相差越小，周长越短，相邻的两个夹角相差越大，周长越长。

1.每位学生都经历了探究的过程

以小课题研究的方式进行学习，每位同学都经历了观察、猜想、思考、计算、实验、推理、联想、概括、争辩、获得共识的过程。在研究阶段，有的学生用的时间长，几天都找不到一点眉目；有的学生有的时间少，几十分钟就能有初步的想法，真实反映了学生之间的差距。面对多数同学认为平行四边形的面积等于邻边乘邻边的惯性思维，教师给了学生充足的探究空间，让他们自己暴露思维痕迹，自己纠正。这个过程是常规课堂40分钟所不能给学生的。通过这样的探究过程，学生找到了平行四边形面积计算公式的来龙去脉，并获得了选择方法来验证猜想、解决问题的基本经验。通过这样的方式，学生经历了研究过程，能逐步养成独立思考、善于质疑和自主探究的习惯，达到学习的理想境界。

2.每位学生展示了不一样的精彩

在常规教学中，由于每节课只有40分钟，我们很难看到每一位学生对问题的独特见解，基本上是几位学习尖子生展现自己的想法，大多数同学当观众与听众，跟着尖子生走。整堂课下来，虽学会了相关内容，却往往不是自己思考、探究的成果。这些数学优秀的同学，展现的也并不完全是自己的思维，因为他们善于预习，会发现教材给我们提供的各种思路。而这些思路，很多时候是教材编者的思路，并不一定是孩子的思维方法。我们给了每个孩子真正的思考时间，便发现了每个人与众不同的思维和方法。

3.每位学生在辩析中有所发展

在课前，每位学生都做了深入的研究，而且他们的研究方法各不相同，所以当他们在课堂上展现出来，出现了一幕幕精彩的质疑争辩场景。面对别人的研究成果，孩子们不断质疑，争辩，讨论，直至所有的结论得到所有同学的认可。在这样的学习过程中，孩子们逐步养成全面考虑问题和善于从别人身上取长补短意识，达到共识、共享、共进的境界。

4.每位学生都提高了学习效率

经过几天的时间，学生才推导出公式，有的学生甚至走了很多弯路，这样的学习效率不是很低吗？教师必须掌握学生研究进程，对他们的研究情况有所了解，并提供有针对性的帮助，这样教不是很费力吗？然而，通过几天的研究，学生的能力却得到切实的开发，更重要的是增强了学生的学习兴趣，他们乐此不疲，各显神通，累并快乐着。而且，学生不仅推导出平行四边形的面积计算公式，对公式有了更深刻的理解，也推导出了三角形的面积计算公式，自然而然地探究了后面要学习的内容，建立起这些知识之间的纵横联系！随着对平行四边形面积计算公式的研究，三角形面积计算公式也一并解决了，可谓是提高了学习效率。更关键的是，学生获得了“能够带走”的方法和经验，这无疑会提高学生学习其他内容时的效率。对教师而言，学生自己能探究得到的，教师也就不用事必躬亲，劳神费力了！这不也是一种解放吗？而且是体现了教学艺术的解放！(作者系日照市慧通小学)

  本文已在《小学数学教师》发表。