最近在学习ARIMA模型，在这里记录一下自己的学习笔记，以便后续复习巩固。

在t期的值，受其前p期历史值的影响。例如，在销售预测中，2022年业绩，可能会受到2021年和2020年业绩的影响。也就是给定2021年和2020年业绩，就可以预测2022年业绩，此时p=2。

3.1 序列需是弱平稳的

3.1.1 平稳序列的性质

序列的均值（平均值）为一个固定的常数 μ

序列滞后 l 阶的协方差为 ，该协方差只与滞后阶数 l 有关，而与t无关。换而言之，不同滞后阶数有不同的协方差；

序列的方差为一个固定的常数

3.1.2 平稳序列的判断方法

画出时间序列的折线图，如果折线图围绕某一个水平直线上下波动，既没有上升的趋势也没有下降的趋势，那么就可以判断该序列为弱平稳的时间序列（如下图）；

（2）ADF单位根检验法

运用python进行ADF检验，当P值小于0.01或0.05时，就可以认为序列是弱平稳的。

3.2 序列不能是白噪音序列

3.2.1 白噪声序列的特点

在任何两个时点的随机变量都不相关，序列中没有任何可以利用的动态规律，因此不能用历史数据对未来进行预测和推断。

3.2.2 白噪声序列的判断方法

采用LB统计量的方法进行白噪声检验，当P值小于0.01或0.05时，既可认为序列是非白噪音序列。

4. 模型滞后阶数的判断

4.1 依据偏自相关图表确认

通过软件画出数据的偏自相关图表，如偏自相关出现p阶截尾，则可以判断AR模型的滞后阶数为p。

如下图，左边为自相关图表，右边为偏自相关图表。从右边的图表来看，在4阶之后，下降幅度较大，初步判断p值为4。

先对数据进行1阶回归，再进行2阶回归，最后进行p阶回归，每回归一次便会产生一个AIC值，选取AIC值最小的那个模型。

直接使用Python中的ARMA模型库，进行模型拟合。需要观察每一个滞后阶数的统计量的P值是否通过。如下图的拟合结果，滞后5阶和6阶，在0.05的水平下，都是不通过的，因此模型的最优滞后阶数为4阶。

统计检验的P值越小，说明参数估计越可靠，一般小于0.01或0.05就认为是可靠估计。

残差就是真实值减去模型拟合值。如果模型拟合较好，那残差就会是一个白噪音序列，即所有的可预测的因素都已在模型中体现。

残差检验的方法和3.2.2 白噪声序列的判断方法是相同的。

残差的平方和：表示的是不能用模型解释的波动；

样本的平方和：表示的是样本的总体波动；

除去模型未解释的部分，那剩下的就是模型可以解释的部分，即