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时间：2022-10-11 06:47
设一边长为3的正三角形S1，将S1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记为S2；同理将S2的每条边三等分，并重复上述过程所得到的图形记作S3。那么S3与S1的周长之比为多少？
第一步：判断题型------本题为方程法（和差倍比）
S2是将S1的每条边先三等分，再由中间线段做等边三角形，即变为4段，共有3×4=12条边，边长均为1，周长为12×1=12；
S3也是将S2的每条边变为4段，共有12×4=48条边，边长均为，周长为。
可得S3与S1的周长之比为16：9。
一、等腰三角形的分类讨论
等腰三角形是一种特殊而又重要的三角形。它的边、角的特殊性在处理许多几何问题中起着关键作用，因为等腰三角形的特殊性。我们在处理问题时很多时候需要分类讨论。（1）由于题目条件的不确定性导致结果的不唯一
1．已知等腰三角形的一个角为75度，则其顶角为_____________。
分析：等腰三角形的一个角是750这个角可能是顶角，也可能是底角。因此需要分类讨论
当等腰三角形的底角是750时，则顶角为300
当等腰三角形的顶角是750 时，也符合题意。
评点 对于等腰三角形，若条件中没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,再用三角形内角和定理求解。
2．已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_____________。
分析：等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，没有指明哪个是腰长，哪个是底边的长，因此要分类讨论
当5是等腰三角形的腰长时 那么底边长就是6 则它的周长等于16
当 6是等腰三角形的腰长时 那么底边长就是5 则它的周长等于17
这个等腰三角形的周长等于16 或17.评点 对于底和腰不等的等腰三角形 若条件中没有明确底和腰时应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论
3．若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
分析：如图，由于中线分周长为两部分 并没有指明哪一部分是9cm
哪一部分是12cm 因此应有两种情形
设这个等腰三角形的腰长为x cm底边长为y cm
当腰长是6cm时 底边长是9cm
当腰长是8cm时 底边长是5cm
评点 求出来的长不一定能构成三角形 三条边应满足三角形三边关系定理
（2）由于题目条件的画出图形的不确定性导致结果的不唯一
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45o,求顶角?
分析：依题意可画出如图所示的两种情形.显然,易求得左图中顶角为45o和右图中的顶角为135o
评点：三角形的高是由三角形的形状所决定。对于等腰三角形： 当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内部。当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外部。
分析：按照题意我们可以画出示意图。可以求得底角是70度或者20度。
评点 右图，最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出可能的所有图形，才能正确解题。
（二）等腰三角形是几何的一块基石,同学们掌握有关等腰三角形证明中添加辅助线的常用方法.是重要的也是必要的
1、作底边上的高(或底边中线或顶角平分线).等腰三角形的性质和判定定理就是通过作这样的辅助线得证的.1．如图 1,在 △ABC中, AB = AC, BD⊥AC于 D,求证: ∠BAC = 2∠DBC.分析：要证 ∠BAC = 2∠DBC.可把∠BAC的一半作出来,故可作 ∠BAC的平分线,或作底边 BC的高，中线都可.给出其中一种证明过程.证明：作 AE ⊥BC,则 ∠2 +∠C =
∵AB = AC，∴∠1 = ∠2 =.∵BD ⊥AC，∴∠DBC + ∠C = 90°.∴∠DBC = ∠2，∴∠BAC = 2∠DBC.结论:等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.记住这个结论,对于解答填空题、选择题或判断题非常有帮助.2、作底边上的中线
线于一点都可.现给出其中一种证明.证明：作 FG ∥AC,则
4、一般三角形中有二倍角时,构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的外角或平分二倍角
篇一：河南省鹿邑县清水河治理工程设计分析
河南省鹿邑县清水河治理工程设计分析
摘要：清水河属淮河涡河水系，是周口市东部地区的一条重要排水河道。近年来河道排涝能力逐年降低，河道现有排涝能力不足5年一遇设计流量，防洪能力不足20年一遇设计流量。致使该流域每当遇到较大洪水年份，常造成严重的洪涝灾害。项目的实施，能保护清水河沿岸4个乡7个行政村，2.6万人口、3.63万亩农田。
关键词： 清水河；治理工程、设计分析 1.工程概况 1.1工程现状
清水河本次治理段总长18.56km，属平原河道，河道平均比降1/6000；河槽宽度上至下游宽度不一，由于河道上有2处节制闸，河槽内常年有水，河槽表层为淤泥质土，滩地上大多种植杂草，树木、耕地；现状河道两岸均有连续的堤防，堤顶有土路，堤后为大片耕地；临河有9处人口较为稠密的村庄，清水河两岸分布有4个乡7个行政村。河道在流经村庄处受人类活动影响较大，滩地内有违章建筑及任意堆放建筑、生活垃圾，特别是生产桥上下游，侵占河道现象尤为严重；，河道内有13座桥梁，现状生产桥两岸伸入河道8m~12m；鹿辛运河上游2条较大排涝沟均无沟口闸涵控制。1.2存在问题
（1）河道防洪、除涝标准低
清水河1958年治理以来一直未再系统治理。由于年久失修，现河道淤积严重，河底淤积深度普遍超过1m，河道排涝能力逐年降低，河道现有排涝能力不足5年一遇设计流量，防洪标准不足20年一遇。
（2）沿河支沟缺少沟口涵闸，现有涵闸结构老化、损毁严重
清水河本次治理段九龙口处两条较大的支沟王庄沟、沈宋沟，均无沟口涵闸，汛期洪水倒灌，严重威胁着两岸居民的生产、生活。
（3）桥梁荷载标准低、阻水、损毁严重
清水河本次治理段内的生产桥现有荷载标准低，都在汽-10级以下。现存在主要问题是：①阻水严重：桥两岸的桥台砖墩共深入河道8m~12m，这些桥梁已成为一个个的卡口段，严重阻碍河道行洪；②损毁严重：这些桥梁均存在桥板断裂、漏筋、弯曲变形、桥头八字墙部分坍塌、砖风化剥落严重现象；③基础埋深浅：其中有6座基础为砖墩，桥下土质基础为轻粉质壤土，承载力较低。
篇二：(吕钧伟)一次函数教学设计
《 一次函数》的教学设计
鹿邑县生铁冢乡第二初级中学
吕钧伟 二0一五年五月 《 一次函数》
一、教学目标 1.教学知识点
掌握一次函数解析式的特点及意义,知道一次函数与正比例函数关系,理解一次函
数图象特征与解析式的联系规律,会用简单方法画一次函数图象。2.能力训练要求
通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性,利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力．
通过画函数图象体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美。
重点： 一次函数解析式特点，一次函数图象特征与解析式联系规律，一次函数图象的画法． 难点： 一次函数与正比例函数关系，一次函数图象特征与解析式的联系规律．
用类比的方法降低新知识的难度，促进知识之间的联系，利用数形结合思想，进一
步分析一次函数与正比例函数的联系。整个过程就是合作─探究，总结─归纳．
利用学生描点作图经历体验并发现问题，分析问题和进一步归纳总结，让学生在探索中体验知识的生活过程，培养学生独立思考能力，阅读能力和自主探究的学习习惯
五、教学工具：多媒体演示．
ⅰ．提出问题，创设情境
当然，这个函数也可表示为： y=-6x+15（x≥0）
当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是x=0．5时函数y=-6x+15的值，即y=-6×0．5+15=12（℃）．
这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又具备什么特征？我们这节课将学习这些问题． ⅱ．导入新课
我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示？它们又有什么共同特点？ １．有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t（℃）有关，即c?的值约是t的7倍与35的差．
２．一种计算成年人标准体重g（kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是g的值．
３．某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．01元／分收取）．
４．把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y（cm2）随x的值而变化．
它们的形式与y=-6x+15一样，函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和． 如果我们用b来表示这个常数的话．?这些函数形式就可以写成： y=kx+b（k≠0）一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0?）的函数，?叫做一次函数（?linearfunction）．当b=0时，y=kx+b即y=kx．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．例1 下列哪些函数是一次函数，哪些又是正比例函数.?7(1)y??3x?4;(2)y?；
１．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ ?8（1）y=-8x．（2）y=x．
２．一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加２米．（1）一个小球速度v随时间t变化的函数关系．它是一次函数吗？（2）求第2．5秒时小球的速度．
３．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y（升）随行驶时间x（时）变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．y是x的一次函数吗？ 解答： １．（1）（4）是一次函数；（1）又是正比例函数． ２．（1）v=2t，它是一次函数．（2）当t=2．5时，v＝2×2．5=5 所以第2．5秒时小球速度为5米／秒． ３．函数解析式：y=50-5x 自变量取值范围：0≤x≤10 y是x的一次函数． [活动一] 活动内容设计：
画出函数y=x,y=x+2与y=x-2的图象．并比较两个函数图象，探究它们的联系及解释原因．
活动设计意图： 通过活动，加深对一次函数与正比例函数关系的理解，认清一次函数图象特征与解析式联系规律． 教师活动：
引导学生从图象形状，倾斜程度及与y轴交点坐标上比较两个图象，?从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中k、b在图象中的意义，体会数形结合在实际中的表现． 学生活动：
引导学生从图象形状，倾斜程度及与y轴交点坐标上比较两个图象，?从而认识两个图象的平移关系，进而了解解析式中k、b在图象中的意义，体会数形结合在实际中的表现． 比较上面两个函数的图象的相同点与不同点。
结果：这两个函数的图象形状都是______,并且倾斜程度_______.函数 y=x的图象经过原点,函数 y=x+2的图象与 y轴交于点_______,即它可以看作由直线y=x 向_平移__个单位长度而得到.函数 y=x-2的图象与 y轴交于点_______,即它可以看作由直线y=x 向_平移__个单位长度而得到.比较三个函数解析式,试解释这是为什么.猜想：一次函数y=kx+b的图象是什么形状，它与直线y=kx有什么关系？
结论：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线 y=kx平移b绝对值个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜ 0时，向下平移）。
注意：图象与y轴交于(0，b)，b就是与y轴交点的纵坐标，正在原点上、负在原点下。[活动二] 活动内容设计： 画出函数y=x+
1、y=-2x+1的图象．由它们联想：一次函数解析式y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响？ 活动设计意图：
通过活动，熟悉一次函数图象画法．经历观察发现图象的规律，并根据它归纳总结出关于数值大小的性质．体会数形结合的探究方法在数学中的重要性，进而认识理解一次函数图象特征与解析式联系． 目的：
引导学生从函数图象特征入手，寻求变量数值变化规律与解析式中k?值的联系． 结论： 图象：
当k>0时，y随x增大而增大． 当k
（6）函数y=2x-4与y轴的交点为（），与x轴交于（）让学生谈收获
1、怎样的函数是一次函数？
一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
2、一次函数的简单应用。
3、会画一次函数的图象
4、一次函数的图象与性质，常数k，b的意义和作用 作业：
1、课本120页习题3、5；
2、完成本节课的配套练习 篇三：鹤群教案
单位： 鹿邑县老君台中学 姓名： 孙 春 花
时间：2012年4月8日 鹤群
了解作者的基本情况，读课文，识记文中的生字、生词。2.过程与方法
分组讨论，理解课文的内容，多角度欣赏鹤群之美。3.情感、态度、价值观
学习鹤群团结战斗，友爱互助的团队精神。教学重点
理解课文内容，多角度欣赏鹤群之美。教学难点 同教学重点 教学方式 1.讨论点拨法 2.朗读法 教具准备
多媒体课件，投影仪 课时安排
展示课件的第一页有关一只白色的鹤的图片，由此引出课题。
二、自学完成学习目标一
1.出示学习目标一：了解作者的基本情况，读课文，识记文中的生字，生词。2.学生自学10分钟。
3.由学习委员组织进行第一抢答环节。
三、讨论完成学习目标二
1.出示学习目标二：理解课文内容，多角度欣赏鹤群之美。2.学生围绕此学习目标，分组讨论提出问题，并把所提问题写在黑板上。
3.老师根据学习目标确定第二抢答环节的问题。4.学生分组讨论老师已确定的第二抢答环节的问题。5.老师组织学生进行第二抢答环节，同时完成下列板书： ?? 鹤群翔空
四、独立完成学习目标三
1.出示学习目标三：学习鹤群团结战斗，友爱互助的团队精神。2.老师引导学生，回忆本文着重描绘的三个场面，并提出“哪一个场面最让你感动？为什么？”这一问题，请同学用5分钟的时间把想说的话写下来。3.根据同学们的回答完成下列板书： ? ? ? 团结友爱 互帮互助 不畏强敌 ?
五、布置作业 ? 联系自己的生活实际写一篇不少于300字的学后反思。
1、记重点字词，理解并掌握刻画人物心理活动的方法。
2、通过分析人物形象把握小说主题。
1、借助工具书掌握有关字词。
2、复述课文内容，把握课文内容，把握小说的情节。
3、结合课后第一题展开讨论。
（三）情感、态度与价值观：
1、体会人物平凡中的伟大。
2、学会宽容，努力做一个善良、正直、有责任感的人。
3、学会体谅父母、热爱父母、理解父母，为父母分忧。
1.通过人物的语言，动作，外貌，心理描写，神态描写等，概括人物的性格特征。
2.课文借一件小事来折射人性的光辉，映照平凡中的伟大这一深刻的主题。
1.能说出本剧的主题，学习借一件小事来反映深刻的主题。
2.分析人物的语言，动作，外貌，心理描写，概括人物的性格特征。
教学形式：常规教学，学生讨论为主 教具：尺子，幻灯片
课前准备： 通过互联网查阅有关作者的一些资料；查字典解决课文中的生字词。课时安排：两课时 教学过程：
教师拿出一把尺子，问：尺子上的一厘米会引发你哪些联想呢？（学生各抒己见）导语：一厘米只是一段微不足道的长度，但这一厘米却引发了一场**，今天我们就走进毕淑敏的《一厘米》去探个究竟。（板书课题，作者）
1.说说你所了解的毕淑敏。（学生把课前从互联网上查阅的有关作者的资料在班级内交流。）
2.师用幻灯片的形式展示：（并配有作者相关图片）3.检查生字词：幻灯片展示。（以开火车的形式认读生字，解释词语）
1.学生以自己喜欢的方式读课文，（可以自由读，默读，几个人一组分角色朗读等。）熟悉课文基本故事情节。
2.说说文中让你印象最深刻的情节。（生各抒己见，畅所欲言，师作充分的肯定和评价。）
3.根据前几位同学的回答，请以课文故事情节所发生的先后为顺序，用自己的话给 大家讲讲课文所发生的故事。（复述时应适当地突出人物的外貌，心理，细节等描 写）
4.师把学生的回答归纳总结文章结构。5.对文章结构的理解
点拔：这篇小说围绕“一厘米”，通过主人公陶影要努力成为一个“完美而无可挑剔的母亲”的执著追求，塑造了一个平凡而伟大的母亲形象，肯定了主人公对完美的执著和全力以赴的追求，也表达对不完美的理解宽容，对正直善良与责任感的褒扬。
课文可分成三个部分，其中二、三部分为课文的重点。
第一部分（从开头到“烘制螺旋形沾满芝麻的小火烧”）：交待主人公的做事原则和身分，为人物的出场做铺垫。
第二部分（从“她领着儿子小也上汽车”到“她觉得生活多了几分追求”）：围绕“一厘米”集中写了主人公陶影与儿子乘车的一次经历。
第三部分(从“今天她领小也到一座巨大的寺庙参观”到结尾)：围绕“一厘米”，集中记叙了主人公与儿子一次参观寺庙的经历。
这节课我们熟悉了课文的故事情节，课后请大家认真阅读文章，想想陶影在你心目中是个怎样的母亲形象。
孟郊的《游子吟》：“慈母手中线，游子身上衣。临行密密缝，意恐迟迟归。谁言寸草心，报得三春晖。”母亲总是给予子女最无私最博大的爱。课文中的陶影，也全力以赴地给孩子以正面教育，今天就让我们走进这位伟大的母亲，去感受她心中对儿子那份挚热的爱情。
二、学生快速浏览课文，从文中找出描写陶影的部分，陶影具有怎样的性格或品质？从文中找出相关的语句来印证。
（1）含辛茹苦、任劳任怨（2）执著、认真
（3）竭力维护人格尊严，立场坚定
小结：陶影是一位普通而伟大的母亲，真实、善良、任劳任怨、自尊自强、宽宏大度，具有强烈正义感和责任感的母亲！
练笔：放飞你的思绪，写一段文字，表达你对母亲的爱。
（50字以上）（选读、评价）
三、再读课文，合作探究
1.为什么陶影和儿子小也都这么重视小也是否达到1.1厘米高的问题?有人认为买冰棍的老太太称量小也身高的情节是多余的,你认为呢？
2.陶影历经周折,澄清了事实。当公园主任要作经济赔偿时,陶影拒绝了,说“世上有的东西能赔，有的东西不能赔”。你能站在陶影的立场上对这句话作出阐述吗？
3.通过陶影这个人物形象，你认为小说要表现一个怎样的主题？ 4.教师小结：
小说通过写一位母亲给儿子买票的故事，塑造了一个普通而有强烈正义感和责任感，善良、大度、自尊的母亲形象，警示为人父母们在子女面前要诚实守信。
5.写法分析：以小见大
这是一篇很典型的以小见大的作品。本篇小说选取了一位卖小火烧的普通的母亲为写作对象，截取了她日常生活中的几个横断面，来反映“母爱”这样一个伟大的主题,从而引起人们对不完美的理解和宽容，对正直、善良与责任感的褒扬与思考。
谈一谈你对“可怜天下父母心”这句话的新的体验和认识。
五、链接生活——母爱伟大
多也不买 —— 正义感陶影家里——
在孩子面前做完美无可挑剔的母亲
《等腰三角形》教学设计
《等腰三角形》是冀教版八年级数学上册第十七章第一节内容。是在学习了轴对称之后编排的，是轴对称知识的延伸和应用。等腰三角形的性质及判定是探究线段相等、角相等、及两条直线互相垂直的重要工具，在教材中起着承上启下的作用。
学生在本节课学习之前，已经知道了全等三角形和轴对称相关知识，那么等腰三角形又有怎样性质呢？鉴于八年级学生的年龄、心理特点及认知水平，有进一步探究新知的愿望。本节课采用层层递进的问题启发学生的思考，让学生自主探究、合作交流中获取知识。
知识目标：掌握等腰三角形的有关概念和相关性质。并能用其解决有关问题。
能力目标：通过对性质的探究活动和例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力。
情感目标：在探究对等腰三角形性质活动中，让学生多动手、多思考，培养学生之间的合作精神。
教学重点：探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质。
教学难点：利用等腰三角形的性质解决有关问题。
本课立足于学生的“学”，采用小组合作探究,师生互动,突出“学生是学习的主体”,让他们在感受知识的过程中,提高他们的知识运用能力。学习中要求学生多动手、多观察、多思考，激发学生学习数学的兴趣，更好的让学生处在“做中学”“学中做”的良好学习氛围之中。
课前准备:课前安排学生带着五个问题预习课本140页和141页的教材内容，同时让学生做一个等腰三角形的纸片，各小组长负责预习等工作。
先复习“轴对称图形”的相关知识，根据本节课的特点，让学生带着问观察图片，找出图片里面的轴对称图形。
1、自主学习，独立思考问题：
（1）什么是等腰三角形？
（2）等腰三角形各边都叫什么名称？各角呢？
（3）等腰三角形的性质？
（4）如何证明等腰三角形的性质？
（5）等边三角形的概念及性质？
2、动手操作、演示探究
请同学们把等腰三角形纸片对折,让两腰重合!(电脑演示)发现什么现象? 请尽可能多的写出结论.（从构成要素：边、角；相关要素：线、对称性方面考虑）
1、探讨交流、得出结论：
由这些重合的部分，猜想等腰三角形的性质。
边：等腰三角形的两边相等.角：等腰三角形的两底角相等.简称“等边对等角”
线：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合.简称“三线合一”
对称性：等腰三角形是轴对称图形
证明“等边对等角”（学生展示）
三种方法证明等腰三角形性质 “等边对等角”
已知：在△ABC 中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C
证明：作底边BC上的中线AD。
∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
作顶角∠BAC的平分线AD。
找各小组代表分别展示答案之后，其他小组进行评价，查漏补缺。然后通过老师讲解，再指出其实这作三种辅助线的位置根本没有发生改变，从而自然的过度到“三线合一”从中得出结论，达到对知识点的理解和掌握。
等腰三角形性质的几何语言
∴ ∠B=∠C（等边对等角）
（1）等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。
∴BD＝DC , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
（2）等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。
∴AD⊥BC , ∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）
（3）等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。
∴BD＝DC , ∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）
在学生掌握了等腰三角形的有关概念和性质之后，引出等边三角形的教学。
等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形
等边三角形的性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.等边三角形性质的证明：（学生在练习本完成后，再用课件展示证明过程）
已知：在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线。
求证：BD=CE.（五）、练习
为了检测学生对本课教学目标的完成情况，进一步加强知识的应用训练，我设计了三组练习由易到难，由简单到复杂，满足不同层次学生需求。
练习1：知识点：（边：等腰三角形的两边相等.）
练习2：知识点：（角：“等边对等角”）
练习3：（判断）知识点：（“三线合一”）
1、等腰三角形的顶角一定是锐角。（）
2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以。（）
3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。（）
4、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角。（）
5、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（）
1.等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（简称“三线合一”）
3.等边三角形的性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每一 个角都等于60°.布置作业
巩固性作业：143页习题 1、2、（必做），143页习题3、4、（选做）
1、如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别为AB,AC边上的中线，试判断BD、CE相等吗？并说明理由。
2、如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别为AB,AC边上的高线，试判断BD、CE相等吗？并说明理由。
等腰三角形相关概念： 证明 例题
等边三角形相关知识 布置作业
这节课从学生的实际认知出发，以“学生为主体，教师为主导”，课堂活动中充分调动学生的学习积极性，在整个教学过程中我以 “启发学生,挖掘学生潜力,培养学生能力”为主旨而进行!充分地发挥学生的主观能动性。突出了重点，突破了难点，达到了知识能力情感的三合一，达到了预期的教学效果。不足之处的是，习题练习有限，未设置限时小测等等
一、目标认知 学习目标：
通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法
等腰三角形的性质与判定。
比较复杂图形、题目的推理证明。
知识点一：等腰三角形、腰、底边
有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角
如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
知识点二：等腰三角形的性质
1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2、这两个性质证明如下：
在△ABC中，AB=AC，如图所示．
作底边BC的高AD，则有
（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；
②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．
（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵ AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴ BD=CD；
②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情
知识点三：等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），如图所示．
证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则
①本定理的符号表示为：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC．
②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．
另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆． 知识点四：等边三角形
1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形
①由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
②等边三角形具有等腰三角形的一切性质．
知识点五：等边三角形的性质
1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°
2、理由如下：如上图所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同样可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．
注意：这条性质只有等边三角形具有．
知识点六：等边三角形的判定
1、等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
由判定（1）得△ABC是等边三角形；
由判定（1）得△ABC是等边三角形。所以判定（2）成立．
知识点七：直角三角形性质定理
1、定理内容：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
2、证明：如图所示，∠ACB=90°，∠A=30°．延长BC至垂直平分
使，则有AC，故，．又可得∠B=60°．于是△是等边三角形，故
1．等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
2．常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
1．如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。（在等腰三角形的两个底角处标明度数）
思路点拨: 在三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑。下面提供四种分割方法供大家参考。
总结升华：对图形进行分割是近年来新出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一。
【变式1】如图3，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB=EC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC。
请你先阅读下面的证明过程。
证明：在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC（第一步），所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。
上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出关键错在哪一步，写出你认为正确的证明过程。
【答案】第一步错误。因为在△ABE和△AEC中有两边和其中一边的对角对应相等，不能判定它们全等。
在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC，所以∠3=∠4，所以AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）。
【变式2】已知△ABC为等边三角形，在图4中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点。
（1）请猜一猜：图4中∠BQM等于多少度？
（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件下不变，如图5所示，（1）中的结论是否仍
然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由。
【答案】（1）题通常猜想、测量或证明等方法不难发现∠BQM=60°，而且这一结论在图形发生变化后仍然成立。（2）题的证明过程如下：
类型二：与度数有关的计算
2．如图，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数。
思路点拨: 解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C=∠B，所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有什么关系，变成△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了。
总结升华：关于角度问题可以通过建立方程进行解决。
类型三：等腰三角形中的分类讨论
3．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论
（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。
（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。
思路点拨: 由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。
解析：（1）因为8+8＞10，10+10＞8，则在这两种情况下都能构成三角形；
故这个三角形的周长为26cm或28cm。
（2）当腰长为3时，因为3+3＜7，所以此时不能构成三角形；
当腰长为7时，因为7+7＞3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17；
故这个三角形的周长为17cm。
总结升华：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形
【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论
等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数
【答案】（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x，则底角为4x，∴ 4x+4x+x=180°，∴ x=20°，∴ 4x=80°，于是三角形的各个内角的度数为：20°，80°，80°。
（2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x，则顶角为4x，∴ x+x+4x=180°，∴ x=30°，∴ 4x=120°，于是三角形的各个内角的度数为：30°，30°，120°。
故三角形各个内角的度数为20°，80°，80°或30°，30°，120°。
【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论
等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数。
②如图3，高在△ABC外部时，∠ABD=25°，图2
故三角形各内角为：65°，65°，50°或
【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论
在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角B的度数。
分析：题目中AB边上的垂直平分线与直线AC
（2）如图，AB边的垂直平分线与直线AC的反向
∴∠BAC=130°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-130°）÷2=25°，故∠B的大小为65°或25°。【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论
等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长。
但是当AB=2时，三边长为2，2，5；
而2+2＜5，不合题意，舍去；
4．已知：如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。
思路点拨: 因为DE＝DF＋FE，即结论为BD＋EC＝DF＋FE，分别证明BD＝DF，CE＝FE即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。
解析：∵DE∥BC，∴∠3＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∴DB＝DF（等角对等边）
总结升华：在三角形中，利用“等角对等边”证明线段相等，是一种常用的方法。
【变式1】如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。
求证：（1）∠AOB＝120°；
（3）MN∥AB。【答案】（1）∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE
∵∠1＋∠3＝60°，∴∠1＋∠2＝60°
∴△CMN是等边三角形
【变式2】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如图所示）。
求证：（1）AB＝2BC；
（2）CE＝AE＝EB。【答案】（1）∵CE、CD三等分∠ACB
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°
（2）∵∠A＝∠1＝30°
∴△BCE是等边三角形，∴EC＝EB
∴CE＝EA＝EB 学习成果测评 基础达标：
1、等腰三角形的的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为______cm。
2、等腰三角形的的两边长为3cm和5cm，则该等腰三角形的周长为______cm。
3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角为_____。
5、若直角三角形斜边上的中线垂直于斜边，则它的两个锐角的度数是____________。
6、等腰三角形的一个角是80°，则其他两个角的度数是____________。
1.若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（）
2.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如图1所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则
图中等腰三角形的个数是（）
3.在以①30°，120°；②25°，75°；③38°，52°；④55°，70°；⑤42°，96°；⑥28°，62°；⑦56°，68°；⑧45°，45°；⑨60°，60°为两内角可以构成的三角形中，有等腰三角
4.具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（）
A.顶角、一腰对应相等
B.底边、一腰对应相等
D.一底角、底边对应相等
1、等腰三角形的周长为12，且其各边长均为整数，求各边长。
2、（1）等腰三角形的一个角为50°，求另外两个角的度数。
（2）等腰三角形的一个外角为100°，求该等腰三角形的顶角。
3、等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成8cm和10cm的两部分，求该等腰三角形的各边长。
4、如图2所示，△ABC和△BDE都是等边三角形。
5、如图3所示，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F，且BF＝CE。判断△ABC的形状并证明。
36、“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对与否，甲、乙、丙三位同学给出了如下论断：
甲：正确。因为若两边都是直角边，则用（SAS）全等识别法就可以证它们全等。
乙：正确。因为若其中一边是直角边，另一边是斜边，则可用（HL）定理证全等。
丙：不正确。若一个三角形较长的直角边与另一三角形斜边相等，较短的直角边与另一三角形较长的直角边相等，则显而易见两个三角形不全等。
请你就这三个同学的见解发表自己的意见。
7、如图所示，是城市部分街道示意图，AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE，A、B、C、D、E、F、G为“公共汽车”停靠点，“甲公共汽车”从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站，“乙公共汽车”从B站出发，沿B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G站。如果甲、乙分别同时从A、B站出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问哪一辆公共汽车先到达指定站？为什么？
1。12（2cm不能为腰长，只能为底边长（2+2＜5），所以周长为2+5+5=12（cm）。）
3。50°或130°（等腰三角形一腰上的高可能是在三角形内，也可能在三角形外，因此要分类讨论。）
点拨：等腰三角形三线合一。
点拨：80°是锐角，即可以是顶角，也可以是底角。
点拨：三个外角度数分别为
点拨：根据三角形内角和定理及等腰三角形性质定理，排除②③⑥。4.C
点拨：本题综合考查三角形全等识别法和等腰三角形性质定理。
1、设其腰长为x，则底边长为（12－2x），由题意得：
解得3＜x＜6 ∵x为整数
∴x=4或5 ∴该等腰三角形的三边长分别为：4、4、4或5、5、2。
2、(1)分两种情况：
①若已知的角为顶角，则另外两个角均为底角，设其度数为x,则2x+50=180，解得：x=65；
②若已知的角为底角，可设顶角为y，则50×2+y=180, 解得：y=80
综上所述：另两个角分别为65°、65°或50°、80°。
注意该题的变式：题中有可能把问题变成要求顶角的度数，也要注意分类讨论。
①若已知的角为顶角的外角，则顶角=180°－100°=80°；
②若已知的角为底角的外角，则底角=180°－100°=80°，所以顶角=180°－80°×2=20°。
综上所述：该等腰三角形的顶角=80°或20°。
3、解：设腰长为xcm，底边长为ycm,则：
∵，∴以上两解均合乎题意。
∴该等腰三角形的各边长分别为cm、cm、cm或cm、cm、cm。
4.证明：∵△ABC是等边三角形
∵△BDE是等边三角形
由（SAS）全等识别法可知△ABE≌△CBD，∴AE＝CD（全等三角形对应边相等）
5．解：△ABC是等腰三角形
∵D是BC边上的中点，∴BD＝CD
又∵BF＝CE，由（HL）全等识别法可知△BFD≌△CED。
∴∠B＝∠C，即△ABC是等腰三角形。
6.解：甲、乙两同学的回答都是片面的。他们都想当然地理解成两边是对应的。
恰恰原命题中丢掉了“对应”二字，丙同学的论断是正确的。
所以我们一定要重视全等三角形中的“对应”二字。
点拨：本题恰又是一个易错题，甲、乙两同学的错误常出现在日常学习中，需引起注意。
7.答：同时到达。理由如下：
∴△ABC和△ECD都是正三角形
又甲公共汽车的路程和为AD＋DE＋EC＋CF
乙公共汽车的路程和为BE＋ED＋DC＋CG，∴两车同时到达指定站。
1.已知C、D两点在线段AB的中垂线上，且∠ACB=50°，∠ADB=80°，求∠CAD的度数。
3.已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，△ABC的高为h。“若点P在一边BC上（如图（1）），此时结论：”。，可得
（1）请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P在△ABC内（如图（2））、点P在△ABC外（如图（3））这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明。
与h之间又有怎样的关系？ 16
（2）若不用上述信息，你能用其他方法证明猜想结论吗？
1．（1）如图，当C、D两点在线段AB的同侧时，∵C、D两点在线段AB的垂直平分线上，∴CA=CB，△CAB是等腰三角形，又CE⊥AB，∴CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE，而∠ACB=50°，∴∠ACE=25°，同理可得∠ADE=40°，∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=40°-25°=15°。
（2）如图，当C、D两点在线段AB的两侧时，同（1）的方法可得∠ACE=25°，∠ADE=40°，于是∠CAD=180°-（∠ADE+∠ACE）
2.（1）当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图1，图
（2）当点D、E在点A的同侧，且点D在D’的位置，E在E’的位置时，如图2，＝∠ACB÷2=20°。
与（1）类似地也可以求得
（3）当点D、E在点A的两侧，且E点在E’的位置时，如图3，图图4
仍成立，过P作NQ∥BC分别交AB、AC、AM于N、Q、K。
当P在△ABC外时，结论
（2）如图（3），连接PA、PB、PC，易知KM＝PF＝
又，由AB＝BC＝AC得，
