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带电粒子在电场/磁场/各类复合场中的运动题型在历年物理竞赛中也算得上是热点之一。从新的考试大纲启用开始，微积分的运用能力被列入考纲，因此微分方程的使用也成为竞赛解题的一种方法，或者说，一项力气。最近在复习的时候我也仔细地考虑了一下目前已经出现过的几种题型，现在通过解微分方程的形式来尝试推导一下各种不同的带电粒子运动问题。值得一提的是，有一些题目的解法是在外培训时学习到的，但查阅知乎后发现缺少可靠的整理，故列在此处。

本文章适用于具有复赛水平的同学安全食用，如果有决赛的大佬们请轻点炸鱼，如果觉得其中的内容可能有些困难，请尝试复习一下对应的数学知识。

符号声明：带电粒子质量 m ，电荷量 q ，空间中有均匀向内的磁场，磁感应强度为 B 。在有电场的情况下，电场强度记为 E ；在有重力场的情况下，重力加速度记为 g .并以平面为 xOy 平面，以垂直平面指向内为

有 -y 方向的重力：

另外也可以通过对上述(1)(2)中任意一个先求导再带入另外一个。本质上不过是积分先后问题，同样不再赘述。

有重力的同时加上 x 方向的电场：

m\ddot{y}=qB\dot{x}-mg \tag{6} \end{gather} 现在上面提到的先积分再带入的方法失效了，因为积分会带来一个显含时间 t 的项，带入以后并不是那么方便去计算。但我们仍然可以对某一个式子求导，并带入另外一个式子。

如果这样做的话，应当会得到一个关于 \dot{x} 或 \dot{y} 的结果，这个结果可以被表示为一个余弦形式和一个常数项的结合。积分一次将会发现此常数项变为了一个线性于 t 的位移项。这里，其实就对应着我们平时所说的“配速度法”，配给了这个运动一个速度使其转化为一个匀速圆周运动和一个匀速直线运动的叠加，在微分方程的解里面，自然会体现为一个匀速直线运动项。

当然，在上一部分中，如果你解出了 x 方向的位移表达式也会在其中发现一个相同的东西。

粒子被约束在 x 轴上，有干摩擦，有重力，无电场：

现在粒子的运动长成了这个样子。为了便于我们计算，规定初始情况下粒子有沿着正方向的速度 v_0 。直接将(8)带入(7)，稍作整理得到 m\ddot{x}-\mu

，粒子将会很快加速起来，这是违背能量守恒的，原因在于初始的时候支持力就已经小于0了，如果我们运用球套在杆上的约束，那么要改写微分方程才能继续进行下面的运动分析。如果我们运用球在地面上的约束，那么显然的，小球会脱离地面飞起来，转化为前面提到的粒子在有重力情况下的运动。

增加电场也并没有什么差异，按照上面的方法分析即可。需要注意的是添加了电场后可能会出现粒子减速到0但是不能克服电场力的情况，会出现反复振动，但由于摩擦的耗散存在最终也会静止。

前置芝士：请品尝完复数的基本运算法则后再来食用QwQ

作为简单记法。后面不会再有z方向的运动出现。粒子进入磁场时具有沿 x 轴正方向的速度 v_0 ，进入点坐标记为 (0,0)

于是我们愉快地发现写为复变量后微分方程变得分外简单：他退化为了一个二阶常系数线性微分方程.为了方便起见，我们首先解出： \dot{z}=v_0e^{\frac{iqB-\gamma}{m}t} \tag{12}

这是一个复变量方程。我们可以按照实数方程一样处理，积分即可求得 z 。但是实际操作中这样做很难将实部和虚部化开，因此我们在这一步就先行整理出实部和虚部，再分别积分：

这个方程的意义是：速度的大小指数衰减，速度的方向仍然遵循圆周运动的法则。

对着上面两个式子分别积分，可以得到：

自由粒子，阻力 f=F ：

听过质心2019暑复电二期的同学或许有些印象：在讲述复数法解带电粒子在电磁场运动的问题时，蔡子星老师曾经提到过：恒定阻力是可以这样做的，但是并没有给出具体的解法。这里给出两种可作为参考的方法：

• 方法1：利用回旋角速度不变。

考虑到粒子回旋角速度不变，即粒子速度方向不变，可以将速度分解： \begin{gather}

这式子看起来真的还蛮爽的，我们尝试直接积分，得到：

• 方法2：暴力微分方程。

这里用欧拉公式可以直接肉眼看出方程组(17)(18)，亦或者继续分离变量积分。这里当然建议采用前一种操作。

特别需要提醒的是，在从(21)到(22)分离变量的过程中，你可能会出现这样的麻烦：

如果改写成指数形式立刻发觉量纲爆炸，这是因为你丢失了积分常数，积分常数恰好是 -\ln m 使得量纲和谐。

从上面的几个例子不难看出来，在只有磁场的时候，回旋角速度不变同样是一个极好用的手段，它能够快速帮我们列出微分方程，特别是确定直角坐标分量这方面。于是，我们利用前面的所有东西，综合解决最后一个问题：

尚未出现过的考点： f=-kv^2 ：

仍然考虑将速度投影到平面直角坐标上，得到 \begin{gather}

微分方程列出来了，按理来说直接积分就可以结束了，但是学过高数的小伙伴或许还对教材里某句随口提起的话有那么些印象： \frac{\sin x}{x} 这样的函数没有初等积分表示。所以，积分也省去了，咱们就这样皆大欢喜吧，直接用带积分符号的式子表示就可以了~

绘制出的函数图像与渐开线略有相似。

这是我在知乎的第一篇文章。最近来说，因为临近竞赛，精神状况确实也很糟糕，状态也下滑的十分厉害。这就当作是自己那么长时间的学习以来的一点内容输出吧。虽然现在处在退竞的边缘，但是即使退竞以后文章还会继续写下去。

希望对正在观看这篇文章的你有所帮助。如果有疏漏或者错误的地方欢迎指出，也欢迎大家交流探讨。

以及：我永远喜欢岛田爱里寿~