七. 巧用点差，简捷易行

在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左

右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.

需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

x2y2例2 已知直线l与椭圆2?2?1(a?b?0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR

ab为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程． 讲解：从直线l所处的位置, 设出直线l的方程,

方程a?b?1形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

32ab （1）求双曲线的方程； （2）已知直线

y?kx?5(k?0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

为了求出k的值, 需要通过消元, 想法设法建构k的方程.

例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程． 讲解：（1）设|PF1|?r1,|PF2|?r2,|F1F2|?2c, 对?PF1F2, 由余弦定理, 得

故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：

设过左焦点的直线方程为：x?my?c…………①

（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）

abA、B两点，且线段AB的中点在直线

l:x?2y?0上.（１）求此椭圆的离心率；

（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2?y2?4上，求此椭圆的方程.

元二次方程根的判别式解答题练习

有两个相等的实数根.求证：a2+b2=c2.

4、已知：关于x的方程x2+ ( a-8) x+12-ab=0，这里a, b是实数，如果对于任意a值，方程永远有实数解，求b的取值范围.

5、一元二次方程(m-1) x2+2mx+ m+ 3=0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值.

(1)有两个相等的实数根；(2)没有实数根；(3)有两个不相等的实数根.

7、若方程3kx2-6x + 8=0没有实数根，求k的最小整数值.

【分析】三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。x＋(a－1)x＋a＝0,x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。再把假设作为已知条件推导出矛盾。例如证明异面直线，
即AC与平面SOB不垂直。
∵直线SO在平面SOB内，再肯定“不垂直”。考虑使用反证法，
【分析】结论是“不垂直”，C是SB上一点。设SA、SB是圆锥SO的两条母线，列式是：C－C×4－3－6,选D。选D；
3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选A；
2小题：采用“特殊值法”，假设四个选择项逐一成立，不同的取法有_____。
A.a、b都与l相交B.a、b中至少一条与l相交
C.a、b中至多有一条与l相交D.a、b都与l相交
4.四面体顶点和各棱的中点共10个，若a、b为异面直线，aα，那么a、ab、ab之间的大小关系是_____。则方程f(x)＝0______。问题可能解决得十分干脆。改变其思维方向，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。这种证法又叫“穷举法”。那么必须将所有的反面情况一一驳倒，那么只要将这种情况驳倒了就可以，用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，从而肯定原命题成立。并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。达到新的否定，即从否定结论开始，反证法是可信的。于是我们得到原结论必为真。结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，所以“否定的结论”必为假。必有一假，根据“矛盾律”，反证法在其证明过程中，简单地说“A或者非A”，至少有一个是假的，在同一思维过程中，从而使命题获得了证明。矛盾的原因是假设不成立，进行正确的逻辑推理，反证法就是从否定命题的结论入手，就会导致矛盾”。从而导出矛盾推理而得。是从反面的角度思考问题的证明方法，
与前面所讲的方法不同，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，
5.求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。使它与两已知直线L：x－3y＋10＝0及L：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，
1.已知复数z满足|z|≤1，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，
【注】设参数a而不求参数a，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cosβ。
【解】连AC、BD交于O，考虑求出α、β的余弦，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cosβ。利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝|x－x|求|OP|和|OQ|的长。即|OP|＋|OQ|等于定值20。消y得(1＋)x＝16，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：
，解出P、Q两点坐标再求：
本题的第一问，再运用“消去法”消去所含的参数，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。再平方相加，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，转化成为三角问题进行研究。联想到a＋b＝1,于是进行“三角换元”，
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。
即|OP|＋|OQ|等于定值20。整理得到：
【解】由＋＝1，并运用“参数法”求中点M的坐标，先计算k·k得出一个结论，即设（椭圆参数方程），
①．求证：|OP|＋|OQ|等于定值；②.求线段PQ中点M的轨迹方程。连OP、OQ，
例2.椭圆＋＝1上有两点P、Q，多次练习，即a＋b＋c≥。
本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，却将代数式的研究进行了简化，
∴a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥
所以a＋b＋c的最小值是。c＝＋t，设a＝＋t，代入a＋b＋c可求。b＝＋t，于是引入了新的参数，求a＋b＋c的最小值。选C。答案：减；
【简解】1小题：设2＝3＝5＝t，则f(x)的R上是______函数。且当x>0时，
5.设函数f(x)对任意的x、y∈R，它们的面积分别是6、4、3，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________。
2.（理）直线上与点A(-2,3)的距离等于的点的坐标是________。
1.设2＝3＝5>1，利用参数提供的信息，
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。揭示变化因素之间的内在联系。从而发现事物的变化规律。联系的方式是丰富多采的，换元法也是引入参数的典型例子。从而解决问题。以此作为媒介，③.求证：f(n)>n(n>1且n∈N)

参数法是指在解题过程中，
8.设f(logx)＝,①.求f(x)的定义域；②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，
①．求a和a；②.猜测a，(x≠kπ，
2.用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)(n∈N)。象已知数列的S求a一类型题应用此关系最多。我们可以考虑运用a＝S－S的关系，
一般地，整理得a－a＝a－a，
【另解】可证a－a＝a－a对于任意n≥2都成立：当n≥2时，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，代入假设成立的式子a＝a＋(k－1)d解出来a。在证明过程中a的得出是本题解答的关键，从而{a}是等差数列。对所有的自然数n，即n＝k＋1时猜测正确。
将a＝a＋(k－1)d代入上式，
当n＝k＋1时，猜测正确，∴当n＝2时猜测正确。
【解】设a－a＝d，命题与n有关，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，证明{a}是等差数列。若对于所有的自然数n，所以n(n＋1)