1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0)。

　　如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。二元一次方程组，则一般有一个解，有时没有解，有时有无数个解。

　　2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

　　3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。

　　4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。

　　5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

　　归纳：基本思路：“消元”——把“二元”变为“一元”。

　　6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

　　7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

　　二元一次方程组练习题

　　一、选择题(每题2分，共22分)

　　1.如果3x2-k=y是二元一次方程，那么k的值是 ( )

　　2.下列是二元一次方程组的是 ( )

　　3.二元一次方程组 的解是( )

　　5.以 为解的二元一次方程组是 ( )

　　6.如果方程组 的解也是方程3x-7y=35的解，那么p的值是 ( )

　　7.由方程组 可得出x与y的关系式是 ( )

　　9.与方程组 有相同解的方程组是 ( )

　　10.若方程组 的解中，x的值比y的值大1，则k为 ( )

　　11.某校春季运动会比赛中，(1)班、(5)班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：(1)班与(5)班得分比为6：5;乙同学说：(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分，若设(1)班得x分，(5)班得y分，根据题意所列的方程组应为 ( )

　　二、填空题(每题2分，共18分)

　　20.甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了_______张.

　　三、解答题(共60分)

　　21.解方程组.(每小题4分，共16分)

　　22.(6分)已知关于x、y的二元一次方程组 中x的值为5.求对应的y值及m值.

　　23.(6分)小刚和小强同解二元一次方程组 　　，小刚把方程①抄错了，求得的解为 ，小强把方程②抄错了，求得的解为 ，求原方程组的解.

　　24.(6分)节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打八折优惠，能比标价省13.2元，已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元?

　　25.(6分)小明的妈妈在菜市场买回3kg萝卜和2 kg排骨，准备做萝卜排骨汤.妈妈：“今天买这两样菜共花了90元，上月买相同质量的这两样菜只要72元，”爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨了50%，排骨的单价上涨了20%.”小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?”，请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/kg).

　　26.(6分)A、B两人分别从相距20 km的甲、乙两地相向而行，2h后两人在途中相遇，相遇后A立即返回甲地，B仍向甲地前进，A回到甲地时，B离甲地还有2 km求两人的速度.

　　27.(6分)甲、乙两地相距280 km，一轮船在两地间航行，顺流用14 h，逆流用20 h.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.

　　28.(8分)某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4扇门，其中两扇正门大小相同，两扇侧门大小也相同，安全检查中，对4扇门进行了测试：当同时开启一扇正门和两扇侧门时，2 min内可以通过560名学生;当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4 min内可以通过800名学生.

　　(1)平均每分钟一扇正门和一扇侧门各可以通过多少名学生?

　　(2)检查中发现，紧急情况下因学生拥挤，出门的效率将降低20%.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5 min内通过这4扇门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，那么建造的这4扇门是否符合安全规定?请说明理由.

　　二元一次方程组参考答案

　　(2)符合安全规定.

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初一数学二元一次方程组知识点例题相关：

《完全平方公式与平方差公式》教学设计（通用8篇）

　　作为一名老师，就不得不需要编写教学设计，教学设计以计划和布局安排的形式，对怎样才能达到教学目标进行创造性的决策，以解决怎样教的问题。一份好的教学设计是什么样子的呢？以下是小编为大家收集的《完全平方公式与平方差公式》教学设计（通用8篇），欢迎阅读与收藏。

　　《完全平方公式与平方差公式》教学设计1

　　内容：8.3完全平方公式与平方差公式（2）P64--67

　　1、经历探索平方差公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜测、验证等能力。

　　2、会推导平方差公式，了解公式的几何背景，会用公式计算。

　　3、进一步体会数形结合的数学思想和方法。

　　学习重点：会推导平差方公式，并能运用公式进行简单的计算。

　　学习难点：掌握平方差公式的结构特征，理解公式中a、b的广泛含义。

　　1、利用多项式乘以多项式计算：

　　观察以上算式及运算结果，你发现了什么？再举两例验证你的发现。

　　2、以上算式都是两个数的和与这两个的差相乘，运算结果是这两个数的平方的差。我们把这样特殊形式的多项式相乘，称为平方差公式，以后可以直接使用。

　　尝试用自己的语言叙述平方差公式：

　　3、平方差公式的几何意义：阅读课本65页，完成填空。

　　左边是两个二项式相乘，两个二项式中的项有什么特点？右边的结果与左边的项有什么关系？

　　注意：公式中字母的含义广泛，可以是 ，只要题目符合公式的结构特征，就可以运用这一公式，可用符号表示为：(□+○)(□-○)=□2-○2

　　5、判断下列算式能否运用平方差公式。

　　1、利用乘法公式计算：

　　分析：要分清题目中哪个式子相当于公式中的a （相同的一项） ，哪个式子相当于公式中的b （互为相反数的一项）

　　2、利用乘法公式计算：

　　分析：要利用完全平方公式，需具备完全平方公式的结构，所以999×1001可以转化为（ ）× （ ）， 可以转化为（ ）×（ ）

　　3、利用乘法公式计算：

　　对照学习目标，通过预习，你觉得自己有哪些方面的收获？又存在哪些方面的疑惑？

　　1、下列计算是否正确，若不正确，请订正；

　　2、利用乘法公式计算：

　　4、先化简，再求值；

　　《完全平方公式与平方差公式》教学设计2

　　课 题：第十章 二元一次方程组课时分配本课（章节）需 1 课时

　　本 节 课 为： 第 1 课时

　　为 本 学期：总第 课时

　　1、这一章的学习，使学生掌握二元一次方程组的解法。

　　2、学会解决实际问题，分析问题能力有所提高。

　　重 点：这一章的知识点，数学方法思想。

　　难 点：实际应用问题中的等量关系。

　　方法讲练结合、探索交流课型新授课教具投影仪

　　四人一小组，互相交流学习这一章的感觉，主要学习了哪些知识。还有不懂的方面？感到困难的部分是什么？

　　方案<一> 基本练习题

　　1、下列各组x，y的值是不是二元一次方程组的解？

　　（1） （2） （3）

　　2、根据下表中所给的x值以及x与y的关系式，求出相应的y值，然后填入表内：

　　根据上表找出二元一次方程组的 的解。

　　3、已知二元一次方程组 的解

　　4、解二元一次方程

　　1.根据已知条件，求出y的值，分别填入下列各图中，并找出方程组 的解。

　　2.写出一个二元一次方程，使得 都是它的解，并且求出x=3时的方程的解。

　　3.已知三角形的周长是18cm，其中两边的和等于第三边的2倍，而这两边的差等与第三边的 ，求这个三角形的各边长。

　　设三边的长分别是xcm，ycm，zcm

　　那么你会解这个方程组吗？

　　1、有甲、乙两种铜银合金，甲种含银25%，乙种含银37.5%，现在要熔成含银30%的合金100千克，这两种合金各取多少千克？

　　2、甲、乙两地之间路程为20km，A，B两人同时相对而行，2小时后相遇，相遇后A就返回甲地，B仍向甲地前进，A回到甲地时，B离甲地还有2km，求A，B两人速度。

　　3、小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是两位数；1h后看到里程碑上的数与第一次看到的两位数恰好颠倒了数字顺序；再过1h后，第三次看到的里程碑上的数字又恰好是第一次见到的数字的两位数的数字之间添加一个0的三位数，这3块里程碑上的数各是多少？

　　4、用白铁皮做盒子，每张铁皮可生产12个盒身或18个盒盖，现有49张铁皮，怎样安排生产盒身和盒盖的铁皮张数，才使生产的盒身与盒盖配套（一张铁皮只能生产一种产品，一个盒身配两个盒盖）？

　　5、给定两数5与3，编一道通过列出二元一次方程组来求解的应用题，并使得这个方程的解就是这两个数。

　　1、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力为：如制成酸奶，每天可加工3吨，制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不能同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此，该加工厂设计了两种可行性方案：

　　方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶。

　　方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成。

　　你认为选择哪种方案获利最多，为什么。

　　2、在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为 ，乙看错了方程组中的b，而得解为 ，

　　（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么

　　（2）求出原方程组的正确解。

　　学生充分发表意见再根据学生的意见采用方法。

　　方案一 方案二 方案三

　　《完全平方公式与平方差公式》教学设计3

　　课题：3.4探究实际问题与一元一次方程组

　　教学目标基础知识： 掌握一元一次方程得解法，了解销售中的数量关系。

　　基本技能：能够分析实际问题中的数量关系，找相等关系，列出一元一次方程。

　　方法：通过将实际问题转化成数学问题，培养学生的建模思想；

　　基本活动经验体会解决实际问题的一般步骤及盈亏中的关系

　　重点探索并掌握列一元一次方程解决实际问题的方法，

　　难点找出已知量与未知量之间的关系及相等关系。

　　教具资料准备教师准备：课件

　　教 学 过 程自备

　　一、创设情景 引入新课

　　观察图片引课（见大屏幕）

　　探究销售中的盈亏问题：

　　1、商品原价200元，九折出售，卖价是 元.

　　2、商品进价是30元，售价是50元，则利润

　　2、某商品原来每件零售价是a元， 现在每件降价10%，降价后每件零售价是 元.

　　3、某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为 元.

　　4、某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定售价是 。

　　熟悉各个量之间的联系有助于熟悉利润、利润率售价进价之间联系

　　某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25？，另一件亏损25？，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

　　分析：售价=进价+利润

　　售价=(1+利润率)×进价

　　练习（1）随州某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元。其中一台盈20%，另一台亏损20%。这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

　　（2）某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情况？

　　（3）某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%， 则该商品的标价为 元.

　　注：标价×n/10=进（1+率）

　　（4）2、我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在2005年涨价30%后，2007降价70%至a元，

　　则这种药品在2005年涨价前价格为 元。

　　通过本节课的学习你有哪些收获？你还有哪些疑惑？

　　亏损还是盈利对比售价与进价的关系才能加以判断

　　小组研究解决提出质疑

　　板书设计 一元一次方程的应用-----盈亏问题

　　相关的关系式： 例题

　　课后反思售价、进价、利润、利润率、标价、折扣数这几个量之间的关系一定清楚，之后才能灵活运用，通过变式练习加强记忆提高能力。

　　《完全平方公式与平方差公式》教学设计4

　　一、课 题 8.3.1实际问题与二元一次方程组

　　（一） 编写备课组

　　二、本课学习目标与任务：1、进步学习用二元一次方程组解决实际问题，提高解决复杂及开放性问题的能力。

　　2、培养学生独立探究和合作交流的学习习惯。

　　3、进行解题过程的规范训练。

　　4、理解估算的意义及估算与精确计算的关系。

　　三、知识链接：1、解方程组

　　2、两台大收割机和五台小收割机，两小时收割3.6公顷，三台大收割机和两台小收割机，五小时收割8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？

　　由题意可找两个相等的数量关系：

　　公顷数+ 公顷数=3.6公顷

　　公顷数+ 公顷数=8公顷

　　故可设两个未知数为：

　　四、自学任务（分层）与方法指导：1、养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg，饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18~20 kg，每只小牛1天约需饲料7~8 kg，你能否通过计算检验他的估计？

　　分析：设每只大牛和每只小牛1天各约用饲料 kg和 kg，根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列方程组 ，解这个方程组，得 ，这就是说，每只大牛1天需饲料 kg，每只小牛1天约需饲料 kg。因此，饲养员李大叔对大牛的.食量估计 ，对小牛的食量估计 。

　　2、利用二元一次方程组解可设 个未知数，必须找到 个与所设未知数相关的等量关系。这几个等量关系必须具备两条件：

　　○1： ；○2： 。

　　3、课本中探究1的情景里的每只大牛和小牛估计，所需的饲料量其实是一个 数。

　　五、小组合作探究问题与拓展：1、在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴，村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元。

　　求：（1）A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？

　　（1）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？

　　六、自学与合作学习中产生的问题及记录

　　1、某校运动员分组训练，若每组7人余3人，若每组8人，则缺5人，设运动员人数为 人，组数为 组，则列方程组（ ）

　　2、某地区“退耕还林”后，耕地面积和林地面积共180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，设耕地面积为 平方千米，林地面积为 平方千米，根据题意，可得方程组

　　3、某人身上只有2元和5元两种纸币，他买一件物品需支付27元，则付款的方法有（ ）

　　4、古代有这样一个寓言故事，驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是（ ）

　　5、某同学买了 枚1元邮票与 枚2元邮票共12枚，花了20元钱，求1元的邮票与2元的邮票各买了多少张？那么适合 的方程组为（ ）

　　《完全平方公式与平方差公式》教学设计5

　　一、课 题 8.3.2实际问题与二元一次方程组（二） 编写备课组

　　二、本课学习目标与任务：1、进一步提高分析，解决问题的能力。

　　2、学会条件整理，明晰解题思路。

　　3、运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题

　　三、知识链接：1.、列方程解应用题的步骤是什么？其中什么是关键？

　　2、已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？

　　配套的关键在于：做上衣和做裤子的条数是相等的（也可以理解为相等数量关系）

　　另一相等关系体现在：做上衣和做裤子的布料之和为600米

　　四、自学任务（分层）与方法指导：1、据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：1.5，现要把一块长200m，宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4（结果取整数）？

　　甲乙两种作物的单位面积产量的比是1：1.5是什么意思？

　　甲、乙两种作物的总产量的比是3：4是什么意思？

　　本题有哪些等量关系？

　　分析：如图8.3-1，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE。此时设AE= m，BE= m，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组

　　过长方形土地的长边上离一端约 处，把这块土地分为两块长方形土地，较大一块土地种 种作物。较小一块土地种 种作物。

　　五、小组合作探究问题与拓展：1、一个圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？

　　六、自学与合作学习中产生的问题及记录

　　1、某村用一台大拖拉机和4台小拖拉机耕地，一天共耕地128亩，另外有一块244亩的地用2台大拖拉机和7台小拖机也刚好一天耕完，设每台大拖拉机耕地每天耕 亩，每台小拖

　　拉机每天耕地 亩，可列方程组 。

　　2、某校运动员分组训练，若每组7人余3人，若每组8人，则缺5人，设运动员人数为 人，组数为 组，则列方程组（ ）

　　3、某地区“退耕还林”后，耕地面积和林地面积共180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，设耕地面积为 平方千米，林地面积为 平方千米，根据题意，可得方程组（ ）

　　4、某人身上只有2元和5元两种纸币，他买一件物品需支付27元，则付款的方法有（ ）

　　5、如图，一个长形，它的长减少4厘米，宽增加2厘米，所得的是一正方形，它的面积与原长方形的面积等，求原长方形的长和宽。

　　《完全平方公式与平方差公式》教学设计6

　　一、课 题 8.3.3实际问题与二元一次方程组（三） 编写备课组

　　二、本课学习目标与任务：1、进一步提高分析，解决问题的能力。

　　2、学会条件整理，明晰解题思路。

　　3、理解设间接未知数的意义。

　　三、知识链接：1、学会用列表格或画图法分析题目，理顺关系，使得各种数量关系一目了然，具有直观易懂的优点，避免了因数据多，关系复杂而混淆不清。

　　2、当直接设未知数时难于列出方程或找到相关的等量关系，我们可采取用间接设未知数的办法。

　　四、自学任务（分层）与方法指导：1、长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地，已知公路运价为1.5元/（吨。千米）。铁路运价为1.2元/（吨。千米），且这两次运输共支出公路运费15000元。铁路运费97200元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

　　问题设疑：从A到长青化工厂，铁路走多少公里？公路走多少公里？

　　从长青化工厂到B，铁路走多少公里？公路走多少公里？

　　铁路每吨千米运价是多少？公路每吨千米运价是多少？

　　两次运输总支出为多少元？

　　分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，设产品重 吨，原料重 吨，根据题中数量关系填定下表：

　　题目所求数值是 ，为此需先解出 与 。

　　因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 元。

　　五、小组合作探究问题与拓展：1七年级某班同学参加平整土地劳动，运土人数比挖土人数的一半多3人，若从挖土人员中抽出6人去运土，则两者人数相等，原来有运土________人，挖土_______人。

　　2、足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队打11场，负3场，共得16分，那么这个队胜了______ 场。

　　3、甲、乙两厂计划在五月份共生产零件360个，结果甲完成了计划的112%，乙完成了计划的110%，两厂生产了零件400个，则五月份甲、乙两厂超额生产的零件分别为_多少个？

　　六、自学与合作学习中产生的问题及记录

　　1、学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2：3，三种球共41个，则篮球有_______个，排球有______个，足球有_______个。

　　2、已知梯形的面积是28平方厘米，高是4厘米，它的下底比上底的2倍少1厘米，则梯形的上、下底分别是____________。

　　3、小兵最近购买了两种三年期债券5000元，甲种年利率为5.8%，乙种年利率为6%，三年后共可得到利息888元，则他购甲种债券________ 元，乙种债券_______元。

　　4、甲对乙风趣地说：“我像你这样大岁数的那年，你才2岁；而你像我这样大岁数的那年，我已经38岁了。”则甲、乙两人现在的岁数分别是_______。

　　5、某商店为了处理积压商品，实行亏本销售，已知购进的甲、乙商品原价共为880元，甲种商品按原价打8折，乙种商品按原价打七五折，结果两种商品共亏196元，则甲、乙商品的原价分别为（ ）

　　《完全平方公式与平方差公式》教学设计7

　　1、了解公式的意义，使学生能用公式解决简单的实际问题；

　　2、初步培养学生观察、分析及概括的能力；

　　3、通过本节课的教学，使学生初步了解公式来源于实践又反作用于实践。

　　一、教学重点、难点

　　重点：通过具体例子了解公式、应用公式、

　　难点：从实际问题中发现数量之间的关系并抽象为具体的公式，要注意从中反应出来的归纳的思想方法。

　　二、重点、难点分析

　　人们从一些实际问题中抽象出许多常用的、基本的数量关系，往往写成公式，以便应用。如本课中梯形、圆的面积公式。应用这些公式时，首先要弄清楚公式中的字母所表示的意义，以及这些字母之间的数量关系，然后就可以利用公式由已知数求出所需的未知数。具体计算时，就是求代数式的值了。有的公式，可以借助运算推导出来；有的公式，则可以通过实验，从得到的反映数量关系的一些数据（如数据表）出发，用数学方法归纳出来。用这些抽象出的具有一般性的公式解决一些问题，会给我们认识和改造世界带来很多方便。

　　本节一开始首先概述了一些常见的公式，接着三道例题循序渐进的讲解了公式的直接应用、公式的先推导后应用以及通过观察归纳推导公式解决一些实际问题。整节内容渗透了由一般到特殊、再由特殊到一般的辨证思想。

　　1、对于给定的可以直接应用的公式，首先在给出具体例子的前提下，教师创设情境，引导学生清晰地认识公式中每一个字母、数字的意义，以及这些数量之间的对应关系，在具体例子的基础上，使学生参与挖倔其中蕴涵的思想，明确公式的应用具有普遍性，达到对公式的灵活应用。

　　2、在教学过程中，应使学生认识有时问题的解决并没有现成的公式可套，这就需要学生自己尝试探求数量之间的关系，在已有公式的基础上，通过分析和具体运算推导新公式。

　　3、在解决实际问题时，学生应观察哪些量是不变的，哪些量是变化的，明确数量之间的对应变化规律，依据规律列出公式，再根据公式进一步地解决问题。这种从特殊到一般、再从一般到特殊认识过程，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。

　　1、使学生能利用公式解决简单的实际问题、

　　2、使学生理解公式与代数式的关系、

　　1、利用数学公式解决实际问题的能力、

　　2、利用已知的公式推导新公式的能力、

　　数学来源于生产实践，又反过来服务于生产实践、

　　数学公式是用简洁的数学形式来阐明自然规定，解决实际问题，形成了色彩斑斓的多种数学方法，从而使学生感受到数学公式的简洁美、

　　1、数学方法：引导发现法，以复习提问小学里学过的公式为基础、突破难点

　　2、学生学法：观察→分析→推导→计算

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　1、重点：利用旧公式推导出新的图形的计算公式、

　　2、难点：同重点、

　　3、疑点：把要求的图形如何分解成已经熟悉的图形的和或差、

　　投影仪，自制胶片。

　　六、师生互动活动设计

　　教者投影显示推导梯形面积计算公式的图形，学生思考，师生共同完成例1解答；教者启发学生求图形的面积，师生总结求图形面积的公式、

　　（一）创设情景，复习引入

　　师：同学们已经知道，代数的一个重要特点就是用字母表示数，用字母表示数有很多应用，公式就是其中之一，我们在小学里学过许多公式，请大家回忆一下，我们已经学过哪些公式，教法说明，让学生一开始就参与课堂教学，使学生在后面利用公式计算感到不生疏、

　　在学生说出几个公式后，师提出本节课我们应在小学学习的基础上，研究如何运用公式解决实际问题、

　　师：小学里学过哪些面积公式？

　　（出示投影1）。解释三角形，梯形面积公式

　　【教法说明】让学生感知用割补法求图形的面积。

　　《完全平方公式与平方差公式》教学设计8

　　理解两个完全平方公式的结构，灵活运用完全平方公式进行运算。

　　在运用完全平方公式的过程中，进一步发展学生的符号演算的能力，提高运算能力。

　　培养学生在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的见解。

　　完全平方公式的比较和运用

　　完全平方公式的结构特点和灵活运用。

　　1. 说出完全平方公式的内容及作用。

　　2. 计算 ，除了直接用两数差的完全平方公式外，还有别的方法吗？

　　学生思考后回答：由于两数差可以转化成两数和，所以还可以用两数和的完全平方公式计算，把“ ”看成加数，按照两数和的完全平方公式计算，结果是一样的。

　　教师归纳：当我们对差与和加以区分时，两个公式是有区别的，区别是其结果的中间项一个是“减”一个是“加”，注意到区别有助于计算的准确；另一方面，当我们对差与和不加区分，全部理解成“加项”时，那么两个公式从结构上来看就是一致的了，其结构都是“两项和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的两倍。”注意到它们的统一性，有于我们更深刻地理解公式特点，提高运算的灵活性。

　　我们学习运算，除了要重视结果，还要重视过程，平时注意训练运算方法的多样性，可以加深对算理的理解和运用，提高运算过程的合理性和灵活性，从而真正的提高运算能力。

　　与 ， 与 相等吗？为什么？

　　学生讨论交流，鼓励学生从不同的角度进行说理，共同归纳总结出两条判断的思路：

　　1.对原式进行运算，利用运算的结果来判断；

　　2.不对原式进行运算，只做适当变形后利用整体的方法来判断。

　　思考：与 ， 与 相等吗？为什么？

　　利用整体的方法判断，把 看成一个数，则 是它的相反数，相反数的奇次方是相反的，所以它们不相等。

　　总结归纳得到： ；

　　例1运用完全平方公式计算：

　　（1） ； （2）

　　鼓励学生用多种方法计算，只要言之成理，只要是自己动脑筋发现的，都要给予肯定，同时还要引导学生评价哪种算法最简洁。

　　（1） ； （2） .

　　（1） ； （2）

　　训练学生熟练地、灵活地运用完全平方公式进行运算，进一步渗透整体和转化的思想方法。

　　1.运用完全平方公式计算：

　　（1） ； （2） ；

　　（3） ； （4）

　　（1） ；（2） .

　　（1） ； （2）

　　学生解答，教师巡视，注意学生的计算过程是否合理，组织学生对错误进行分析和点评。

　　师生共同回顾完全平方公式的结构特点，体会公式的作用，交流计算的经验。教师对课堂上学生掌握不够牢固的知识进行辨析、强调与补充，学生也可以谈一谈个人的学习感受。

　　P50第2（3）、（4），3题

【《完全平方公式与平方差公式》教学设计（通用8篇）】相关文章：

v),对于每条询问，求u和v的最短距离？

  我们知道，一个普通的无向图求两点间最短距离可以采用，将时间复杂度大致控制在O(nlogn)，但是当询问足够多的时候，这并不是一个高效的算法。从树的性质可知，树上任意两点间有且仅有一条简单路径（路径上没有重点和重边），所以树上任意两点间的最短距离其实就是这条简单路径的长度。如图一-1-1所示，要求u到v的距离，我们需要知道红色路径A(u->r），蓝色路径B(v->r)，红蓝公共路径C(a->r)，那么u->v的路径显然就可以通过A、B、C三者的长度计算出来，令dist[x]表示从x到树根r的简单路径的长度，则u到v的距离可以表示成如下：dist[u]

  那么问题来了，a是什么，我们来看a->r路径上的所有结点既是u的祖先，也是v的祖先，所以我们给它们一个定义称为公共祖先（Common Ancestors），而a作为深度最深的祖先，或者说离u和v最近的，我们称它为最近公共祖先（Lowest

二、LCA（最近公共祖先）

  于是求树上两点间的距离转化成了求两个结点的最近公共祖先问题上来了，最容易想到的办法是将u->r和v->r的两条路径通过递归生成出来，并且逆序保存，然后比较两条路径的公共前缀路径，显然公共前缀路径的尾结点就是u和v的最近公共祖先，但是这个算法在树退化成链的时候达到最坏复杂度O(n)，并不可行。

depth[v]}，通过这样一个性质，我们可以很容易得出一个算法：

    利用以上两个条件，可以将u和v不断向根进行步进，递归求解，直到u == v时，这里的u或v就是原先要求的(u, v)的最近公共祖先。

    【例题2】如图二-3-1的网络拓扑树，给定两个客户端(x, y)，需要找到一个离他们最近的服务器来处理两个客户端的交互，客户端和服务端数量小于等于1000，但是询问数Q <= 10^8。

  讲个简单的故事来加深对并查集的理解，这个故事要追溯到北宋年间。话说北宋时期，朝纲败坏，奸臣当道，名不聊生。又有外侮辽军大举南下，于是众多能人异士群起而反，各大武林门派同仇敌忾，共抗辽贼，为首的自然是中原武林第一大帮-丐帮，其帮主乃万军丛中取上将首级犹如探囊取物、泰山崩于前而面不改色的北乔峰；与其齐名的空有一腔抱负、壮志未酬的南慕容带领的慕容世家；当然也少不了天下武功的鼻祖-少林，以及一些小帮派，如逍遥派、灵鹫宫、无量剑、神农教等等。我们将每个门派（帮派）作为一个集合，从中选出一个代表作为这个集合的标识，姑且认为门派（帮派）的掌门（帮主）就是这个代表。

    作者有幸成了“抗辽联盟”的统计员，统计员只有一个工作，就是接收一条条同门数据，然后统计共有多少个门派，好进行分派部署。同门数据的格式为(x, y)，表示x和y属于同一个门派，接收到一条数据，需要对x所在的群体和y的群体进行合并，当统计完所有数据后有多少个集合就代表多少个门派。

    这个问题其实隐含了两个操作：1、查找a和b是否已经在同一个门派；2、如果两个人的门派不一致，则合并这两个人所在集合的两堆人。分别对应了并查集的查找和合并操作。

    如图三-1-1所示，分别表示丐帮、少林、逍遥、大理段氏四个集合。

  接下来来讨论下并查集的朴素实现，既然是朴素实现，当然是越朴素越好。朴素的只需要一个数组就能表示集合，我们用set[i]表示i所在的集合，这样查找操作的时间复杂度就能通过下标索引达到O(1)（可以把set数组理解成哈希表）；合并x和y的操作需要判断set[x]和set[y]是否相等，如果不相等，需要将所有满足set[i]等于set[x]的set[i]变成set[y]，由于这里需要遍历set[i]，所以时间复杂度为O(n)。图三-2-1展示了朴素算法的一个例子，该数组一共记录了四个集合，并且用每个集合的最小数字作为该集合的标识。

    【例题3】因为天下武功出少林，所以很多人都想加入少林习武，令少林寺的编号为1。然后给定m(m <= 100000)组数据(x, y)，表示x和y结成朋友，当x或y等于1时，表示另一个不等于1的人带领他的朋友一起加入少林，已知总人数n，求最后少林寺来了多少人。

y)即可，最后一次线性扫描统计1所在集合的人数的个数，但是对于极限情况，还是会退化成O(n)的查找，如图三-3-2所示，每次合并都是一条链合并到一个结点上，使得原本的树退化成了链，合并本身是O(1)的，但是在合并前的查找根结点的过程中已经是O(n)的了，为了避免集合成链的情况，需要进行启发式合并。

    由于每次查找过程中都对路径进行了压缩，使得任何时候树的深度都是小于4的，从而查找操作可以认为是常数时间。

  当然，如果合并是无向的同样可以采用路径压缩，这样做会导致树的深度可能时刻在变化，所以启发式合并的启发值不能采用树的深度，可以通过一个rank值来进行合并，rank值初始为0，当两棵树进行合并时，如果rank值相同，随便选一棵树的根作为新根进行合并，rank值+1；否则rank小的向大的合并，rank值保持不变。

  而且就算是记录了子结点，每次删除操作最坏情况会更新n个子结点的父结点，使得删除操作的复杂度退化成O(n)，还有一个问题就是x本身如果就是根结点，那么一旦x删除，它的子结点就会妻离子散，家破人亡，需要重新建立关系，越想越复杂。

  所以，及时制止记录子结点的想法，采用一种新的思维——二次哈希法（ReHash），对于每个结点都有一个哈希值，在进行查找之前需要将x转化成它的哈希值HASH[x]，那么在进行删除的时候，只要将x的哈希值进行改变，变成一个从来没有出现过的值（可以采用一个计数器来实现这一步），然后对新的值建立集合，因为只有它一个元素，所以必定是一个新的集合。这样做可以保证每次删除操作的时间复杂度都是O(1)的，而且不会破坏原有树结构，唯一的一个缺点就是每删除一个结点其实是多申请了一块内存，如果删除操作无限制，那么内存会无限增长。

Query)问题是指：对于长度为n的数列Array，回答若干询问RMQ(Array,i,j)(i,j<=n)，返回数列Array中下标在i,j里的最小(大）值（或者最小（大）值所在的下标），也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

  朴素算法就是枚举区间的值进行大小判定，如果长度为n的数组，询问个数为q，那么算法的时间复杂度为O(qn)。

    线段树是一种二叉搜索树，它的每个结点都保存一个区间[l, r]，如果当l等r时，表示该结点是一个叶子结点；否则它必定有两个子结点，两个子结点保存的区间分别为[l, mid]和[mid+1, r],其中mid = (l+r)/2的下整，利用二分（分治）的思想将一个长度为n的区间分割成一系列单位区间（叶子区间）。

    val数组代表原数组，f是个二维数组，即上文提到的动态规划数组，x和y分别对应了图四-3-1中X区间和Y区间的最小值所在的下标。将这两部分在原数组中的数值进行比较就能得到整个[a, b]区间内的最小值所在下标了。

    ST算法可以扩展到二维，用四维的数组来保存状态，每个状态表示的是一个矩形区域中的最值，可以用来求解矩形区域内的最值问题。

五、最近公共祖先相关题集整理