数学家笛卡尔与平面直角坐标系的小故事

注：1、因上一篇提到了笛卡尔，今天发一篇相关文章；

2、本文发表于《中学生数理化》（七年级版）2018年第4期。因篇幅所限，编辑略有改动；

3、本故事为增强数学之趣味性而虚构，但仍不失数学基本知识之严谨性。

1596年3月31日，法国的一个小镇，天降祥瑞，笛卡尔诞生了。虽说伟人命硬，一岁时母亲就去世，但好歹小笛卡尔也算个“富二代”外加“官二代”。他老爸作为议会议员和地方法院法官还是很有点钱的。当然，仅仅有这些还不够，最重要的是，他老爸还很有眼光，注重对笛卡尔的培养，一直让他上最好的贵族学校，接受最好的教育。笛卡尔也很替他老爸争气，无论是文学、神学、医学、哲学、法学、历史、物理学、数学…..他都学的样样精通，堪称学霸级风云人物。而他的最爱，居然是让许多人都头疼的数学！

他对数学的喜爱简直是到了非常痴迷的程度！1618年，年轻气盛的笛卡尔和许多年轻人一样怀揣梦想参军了。而即便在军营里，也没有放弃他对数学的追求，他利用一切空闲时间收集和思考各种数学问题。

一天，笛卡尔随部队在一个破房子里面野营。一天的行军，士兵们又累又困，一个个倒头便睡，笛卡尔也带着自己对数学的困惑迷迷糊糊的进入了梦乡。朦胧中，他被一阵大风吹到了一神秘的地方，这个地方有许多人正在挂着一把大锁的大门前在争论不休。有毕达哥拉斯，有阿基米德，有希伯索斯，有欧几里得，有斐波那契……他们都在那里滔滔不绝的讲述着自己的数学理论，又都在争论着同一个话题。这个话题正是困扰十七世纪整个数学界，也是笛卡尔这一段正在苦思冥想的而一直没有解决的问题——怎么把平面内的形象的点和抽象的数联系起来。这些大数学家们都在争论着，根本没有注视到笛卡尔的出现。突然，笛卡尔发现地上有一把钥匙，他弯腰捡了起来，插进锁孔轻轻一转，居然打开了。他推开了这扇大门，走了进去……

突然，又一阵风吹来，把笛卡尔冻醒了。他很懊悔还没有来得及看大门后面的景色，不得不勉强睁开眼睛。一道寒冷的月光从窗口斜射进来，投进了墙角的一个纵横交错的蜘蛛网上。一道灵光顿时闪过笛卡尔的脑际：蜘蛛难道不可以看作一个点吗？蜘蛛可以沿着纵横交错的蜘蛛网上下左右移动，如果把每一个位置都用纵横的线来确定，并用两个数字标注出来……

据说，平面直角坐标系就是这样诞生的。

笛卡尔的这个发明可真了不起，一下子把代数和几何这两个几千年来互相独立的学科给统一了起来，从而诞生了一门新的数学——解析几何，也为后来牛顿和莱布尼兹发明微积分打下了基础。

退役后，不差钱的笛卡尔一边游历欧洲，一边继续完善他的发明，思考数学和哲学问题，最后在1628年移居荷兰，在那里完成了几乎他的所有主要著作，期中就包括由他发明的平面直角坐标系并进而由他创立的解析几何理论的《几何学》。

1650年11月，一代数学伟人笛卡尔因肺炎在瑞典去世，享年54岁。笛卡尔的生命虽然有限，但他所开创的数学新纪元才刚刚开始。请同学们查阅相关资料或经过自己的思考，完成下列各题：

1、平面直角坐标系也叫笛卡尔坐标系。如果把适合二元一次方程x-y-1=0的一对x与y的解分别当做平面直角坐标系内的点的横坐标和纵坐标，则这些点（-4，-5）、（-3，-4）、（-2，-3）、（-1，-2）、（0，-1）、（1，0）、（2，1）、（3、2）、（4，3）、（5，4）都可以看作方程的解。请你在平面直角坐标系内依次将这些点描绘出来，看看这些点的排列有什么规律？

2、1671年，牛顿在笛卡尔平面直角坐标系的基础上，又发明了另外一种坐标——极坐标。极坐标在航海，航天上有非常巨大的用途。如图1，先画一些等距离的圆，以这些圆的公共圆心O为“极点”，规定向右的射线Ox为“极轴”，则这个极坐标系平面内的任意一个点M可以用两个有序数对——极坐标M（ρ，θ）来唯一确定。其中ρ表示点M到极点O的距离OM的长度，θ（0≤θ<360°）表示以极轴Ox为始边，逆时针旋转后∠MOx的夹角大小。请同学们自建极坐标，在极坐标内描出一下各点，体会一下极坐标的妙处。

（3，45°），（6，90°），（4，120°），（5，225°），（4，330°）。

3、如图2，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2018个点的坐标为        ．

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圆锥曲线
 圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线
 1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。 
 2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。 
 3. 抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。
 4. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。 
·圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
·圆锥曲线的参数方程和直角坐标方程：
1）直线 
参数方程：x=X+tcosθ y=Y+tsinθ (t为参数）
直角坐标：y=ax+b 
2）圆
参数方程：x=X+rcosθ y=Y+rsinθ (θ为参数 )
直角坐标：x^2+y^2=r^2 (r 为半径）
3）椭圆
参数方程：x=X+acosθ y=Y+bsinθ (θ为参数 )
直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
4）双曲线
参数方程：x=X+asecθ y=Y+btanθ (θ为参数 )
直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）
5）抛物线
参数方程：x=2pt^2 y=2pt (t为参数)
直角坐标：y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )
圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-e·cosθ)
其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。