3、若 、 、 且 ,则 (真分数的分子分母加上同一个正数,值变大)。

6、一个重要的均值不等式链:设 ,则有 (当且仅当 时取等号)。

7、若已知条件中含有或隐含着" "或" "这一信息,常常可以设" "用这种和式增量法来证明不等式、求值、或比较大小。

8、不等式证明常用的放缩方法:

1、两条平行直线 和 之间的距离为 。

2、直线 过定点 ,且点 在圆 内,则 与圆 必相交。

过圆内一点 的弦长,以直径为最大,垂直于 ( 为圆心)的弦为最小。

3、直线在 轴、 轴上的截距相等包含有直线过原点这一特殊情况。

4、直线过定点 时,根据情况有时可设其方程为 ( 时直线 )应用点斜式解题,应检验直线斜率不存在的情况。

5、 已知圆的方程是 和点 ,若点 是圆上的点,则方程 表示过点 的圆的切线方程;若点 在圆外,则方程 表示过点 向圆所作的两条切线的切点所在的直线方程(又称切点弦方程)。

6、过圆 上一点 的圆的切线方程是:

7、圆 和 相交于 、 两点,则直线 为这两圆的"根轴",其方程为 (即为公共弦 所在的直线方程。利用此法,可以推导圆的切点弦方程)。

8、已知一个圆的直径端点是 、 ,则圆的方程是:

9、给一定点 和椭圆: , 、 分别为左右焦点,有如下性质:

(1)若点 在椭圆上,则 , (由椭圆第二定义推出);

(2)若点 在椭圆上,过这一点的椭圆的切线方程则可表示为: ;

(3)若点 在椭圆外,则这一点对应的椭圆的切点弦可表示为: ;

(4)若点 在椭圆内,则这一点对应的椭圆的极线可表示为: ;

补充:直线 与椭圆 相切的充要条件是:

10、三种圆锥曲线的通径(通径是最短的焦点弦):

(1)椭圆 的通径长为 ;

(2)双曲线 的通径长为 ;

(3)抛物线 的通径长为 。

11、双曲线的焦半径公式:点 为双曲线 上任意一点, 、 分别为左右焦点

12、双曲线标准方程(焦点在 轴或 轴上)的统一形式为 ( ),双曲线 的渐近线方程为 ,也可记作 。

13、过抛物线 的焦点且倾斜角为 的弦 , 时,最短弦长为 ,即为抛物线的通径。

14、圆锥曲线中几条特殊的垂直弦和定点弦:

(1)过抛物线 的顶点作两条互相垂直的弦 ,则弦 过定点 ;

(2)过抛物线 的顶点作两条互相垂直的弦 ,点 分别为 的中点,则直线 过定点 ;

(3)过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 ,则弦 过定点 ;

(4)过椭圆 的中心 作两条相互垂直的弦 ,则原点到弦ab的距离为定值: ,且 (此时弦ab最短), (此时弦ab最长);

(5)过椭圆 的右顶点 作两条相互垂直的弦 ,则弦mn过定点: ;

(6)过椭圆 的右焦点 作两条相互垂直的弦 ,点 分别为 的中点,则直线mn过定点: ;

(7)过双曲线 的中心 作两条相互垂直的弦 ,则原点到弦ab的距离为定值: ;

15、过抛物线 上一点 的焦半径 ;若 、 是过焦点 弦的端点, , 则:

(4)若 、 在准线 上的射影分别为 、 ,则 ;

(5)以焦点弦 为直径的圆与准线 相切,切点为 的中点;共3页，当前第1页123

(6)以焦半径 为直径的圆与 轴相切;

(7)以 为直径的圆与焦点弦 相切,切点为焦点f;

16、过抛物线的准线与对称轴的交点作抛物线的两条切线,则切点弦长等于该抛物线的通径。过抛物线 的对称轴上任意一点 作抛物线的切线,切点分别为 、 ,则直线过定点 。

17、由抛物线焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行抛物线的轴。

18、若双曲线的两条渐近线方程分别为 ,则对应双曲线方程可设为为 为参数)。

19、等轴双曲线的离心率 ;双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 。

20、若一直线被双曲线及两条渐近线所截,则夹在双曲线与渐近线间的线段长相等。

21、点与圆锥曲线的位置关系:

(1)若点 在抛物线 内部,则 。

若点 在抛物线 外部,则 ;

若点 在 外部,则 ;

(3)双曲线 内的点 (指点在双曲线弧内),满足 ;

双曲线 外的点 (指点在双曲线弧外),满足 。

22、若直线 与二次曲线交于 、 两点,则由:

,知直线与二次曲线相交所截得的弦长:

其中 (涉及直线与二次曲线相交的位置关系应注意 ,还需要注意圆锥曲线本身的范围。若求弦所在直线的斜率常用"点差法")。

23、中心在原点的椭圆、双曲线方程(焦点位置不定)可设为 (其中 且 时为椭圆, 时为双曲线)。

24、圆锥曲线的参数方程:

(1)椭圆 的参数方程为 ( 为参数);

(2)双曲线 的参数方程为 ( 为参数);

(3)抛物线 的参数方程为 ( 为参数)。

25、若 为椭圆 上任一点, 、 为焦点, 为短轴的一个端点,则 (证明用到椭圆定义、余弦定理)。

26、与直线 平行的直线系方程为 (参数 );

与直线 垂直的直线系方程为 ( 为参数)。

27、共离心率的椭圆系方程为 ( 为参数)。椭圆的离心率 越接近1,椭圆越扁;椭圆的离心率越接近于0,椭圆就接近于圆。可以概括为:椭圆的离心率越大,椭圆越扁。

28、共渐近线的双曲线系方程为 ( 为参数)。

29、设 是椭圆 上的任意一点(不在长轴上), 、 为左右焦点,则称 为焦点三角形, , , ,该三角形有如下性质:

(3)旁切球:左右两个旁切球的球心都在直线 上;

(4)设其内心为 ,连接pi并延长交长轴于点m,则有: ;

(5)当且仅当点p在短轴端点时, 最大, 也最大。

30、设 是双曲线 上的任意一点(不在实轴上), 、 为左右焦点, ,则 的面积为 。

31、椭圆 内接三角形,四边形的面积最大问题

(1)椭圆内接三角形面积的最大值为: (当且仅当三角形的重心为椭圆的中心);

(2)椭圆内接四边形面积的最大值为: (当且仅当四边形的对角线为椭圆的一对共轭直径)

32、设m,n为椭圆 上关于原点中心对称的两点,p为椭圆上异于m,n的任意一点,则 。(双曲线中为: )

33、已知两点 、 及直线

(1)若点 、 在直线 的同侧,则 。

(2)若点 、 在直线 的异侧,则 。

34、已知点 、及直线 ,点 关于直线 的对称点为 ,则有 其中

(1)对形如 型的目标函数,可变形为 , 看做直线在 轴上的截距,问题转化为求纵截距范围或

(2)对形如 型的目标函数,变形为 的形式,将问题转化为求可行域内的点 与点 连线斜率的 倍的范围;

(3)对形如 型的目标函数,可化为 的形式,将问题化归为求可行域内的点 到直线 距离的 倍的最值。

36、在圆锥曲线中,求形如 ( 是圆锥曲线内的一点, 是圆锥曲线的一个焦点)的最值问题时,可利用圆锥曲线的第二定义将 转化为圆锥曲线上的点到准线的距离。

有关线段和差关系的计算,可优先考虑圆锥曲线的第一定义。

37、凡是动点到圆上动点之间距离的最值,必过圆心时才能取得,应先求动点到圆心的最值,再加上或减去半径

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　　 在一些文献中，也把 中的负号写为正号，此需要把 中的曲线旋转 $180^\circ$，因为 $-\cos\theta =

　　 根据双曲线的其他定义，对同一个 $e > 1$，双曲线事实上是两条曲线，每条曲线称为一支． 中仅画出了离焦点较近的一支．上文已经提到 $\theta_0 未完成：用极坐标同时画出双曲线的两支

未完成：把图中和文中的 $a$ 改成 $d$，否则可能误以为是半通径

图 2：由离心率定义圆锥曲线

　　 圆锥曲线的一种定义（与其他定义等效）为（ ）： 平面上有一点 $O$ 和一条直线 $L$，相距为 $h$． 平面上某一点到 $O$ 的距离为 $r$，到 $L$ 的 （垂直）距离为 $a$，令常数 $e > 0$，则所有满足

的点组成的曲线就是圆锥曲线．$e$ 是常数，叫做离心率，$O$ 是焦点，$L$ 是准线．当 $e = 0$ 时曲线是圆，$0 1$ 时是双曲线．

　　 若定义圆锥曲线的通径为过焦点且平行于准线的直线被圆锥曲线截出的线段长度．记半通径为 $p$，则通径为 $2p$，那么有 $r(\pi /2) = p$．代入 得 $p = eh$．所以 又可以写为

注意 $p$ 和 $e$ 分别控制圆锥曲线的大小和形状．由于抛物线的 $e = 1$ 不变，所以所有抛物线的形状都相同．

注意根据定义，圆的准线为无穷远，所以只能使用 而不能用 ．所以在 中，圆的半径为无穷小．