二、相邻自然数乘积的个位数字

　　由于仅考虑个位数字，相邻的自然数之积1×2＝2，2×3＝6，3×4＝12，4×5＝20，5×6＝30，6×7＝42，7×8＝56，8×9＝72，9×10＝90，10×11＝110的个位数字只可能是0，2，6三种。

　　因此，若一个自然数的个位数字不是0，2，6，那么，这个自然数不可能是两个相邻自然数的乘积。

例5 是否存在自然数n，使得n²＋n＋7是35的倍数？

分析与解：分别取n＝1，2，3，4，5，依次得到n²＋n＋7的值为9，13，19，27，37，显然它们都不是35的倍数。但是这样一个个试下去，即使试到n＝100，n²＋n＋7都不是35的倍数，也不能说不存在自然数n，使得n²＋n＋7为35的倍数。因为自然数有无穷多个，不可能每个都试到。

　　注意到n²＋n＝n×（n＋1）是两个相邻自然数的乘积，n²＋n＝n×（n＋1）的个位数字只可能是0，2，6，所以n²＋n＋7的个位数字只可能是7，9，3。

　　由于个位数字是7，9，3的自然数不可能是5的倍数，当然更不可能是35的倍数。

例6 不论n是怎么样的自然数，3×（5ⁿ＋1）都不可能是两个连续自然数的乘积。

解：由于5的任何次方的个位数字总是5，5ⁿ＋1的个位数字为6，3×（5ⁿ＋1）的个位数字是8。

　　而相邻的两个自然数的乘积的个位数字只能是0，2，6。

　　故3×（5ⁿ＋1）不可能是两个连续自然数的乘积。

例7 若n！＋4是两个相邻自然数的乘积，你能找出所有这种自然数n吗？

分析：要想成为两个相邻自然数的乘积，至少其个位数字应为0，2，6之一。

　　我们已经知道5！＝120，个位数字为0，当n大于5时，n！的个位数字都是0，此时n！＋4的个位数字为4，故这时n！＋4不可能是相邻自然数的乘积。

　　于是只要对n≤4的自然数分别讨论n！＋4即可。

　　当n＝1时，1¹＋4＝5；

　　当n＝2时，2！＋4＝6；

　　当n＝3时，3！＋4＝10；

　　当n＝4时，4！＋4＝28。

　　由于10，28都无法表为两个相邻自然数的乘积。

　　而6＝2×3，所以，只有当n＝2时，n！＋4是两个相邻自然数的乘积。