数学领域的天才王子我们每个人在学生时代或者正在求学的人，想必都会有过因为数学而痛苦烦恼的时刻。对于逻辑性较差，成绩不太理想的同学来说，数学可能是最让人头疼的一门学科了。大量的计算，无数种公式，还有各种公式变换，无一不让他们感受到智力水平受到了限制。“数学的时代”即便是成绩优异的人，也会有对数学感到迷惑的时候。数学作为人类历史上最伟大的学科和研究，它的出现，指导了人类文明的进步，推动了整个社会的变革和发展。可以说没有数学就没有人类今天的一切科学成就。而数百年前，在宗教盛行，宫廷政治变动的18世纪，诞生了一位数学家，他的出现，拓展了当时整个数学界的眼界，以一己之力推动了数学界的发展，他就是卡尔·弗里德里希·高斯。卡尔·弗里德里希·高斯高斯诞生于1777年4月30日，作为德国的一名数学家，他在数学、天文学、物理学上都有不小的贡献，特别是数学。由于从小对数字的敏感，他的研究几乎都在数学上，在少年时期就获得了较高的名誉，因此也被称作为“数学王子”。高斯的出生地布伦瑞克的雕像高斯对于数学的贡献可以说是自牛顿建立的经典物理时代后，数学界有了“高斯数学”这一说法。在他大大小小的研究中，从数学到天文学，再到物理学，高斯在数学领域可以说是一个传奇人物。可以说由他推动着18世纪以来的数学发展，而他发表过的学术文献中仅只是一部分。如果他能将他的所有研究全部发表出来，不夸张地说，可以推动数学多进步100年。“高斯推动数学多进步100年”那么为什么这样一个天才数学家，却在有限的岁月里，只进行了“有限”的发展呢？成为传奇人物高斯出生在一个工人阶级的家庭，母亲作为一个文盲，甚至不记得他的具体出生日期，只知道他是在星期三出生。而父亲绵薄的薪水对于整个家庭来说微不足道，家里的积蓄也不足以供他去优秀的学校学习。“天才儿童”高斯高斯的天赋初显在他对于自己的生辰追寻上，由于母亲并不知道他的具体出生时间，星期三作为出生日期时，在复活节后的第39天。高斯通过寻找复活节和升天节日期之间的数学关系，推算出了过去和未来的日期，并通过自己受洗的教堂得到了自己的生日。高斯（1777年4月30日－1855年2月23日）而他的另一个故事则广为流传，据悉在他三岁的时候在父亲的记账本上，发现了一处计算错误，这个错误让他的父亲意识到高斯这个孩子在将来一定非比寻常。到了高斯正式学习的年龄，大概在他七岁的时候，高斯在100名学生的班里以最快的速度解答了关于一个算术级的问题。当时的数学老师完全是出于一种随意的心情去给学生们布置了一道他认为他们不可能计算出来的算术。“高斯算法”面对1~100的相加，高斯并没有思考太长的时间。很快他就通过数字的首项加末项，只需要列出一定量的式子就能够快速计算出这个问题的答案。而这个算术级问题的解答方法就是我们今天所学习的“高斯算法”。而布特纳作为他的老师最开始并不相信这是一个低年级学生所能够计算出来的数学问题。直到高斯给出了整个算术的详细计算过程和推理，布特纳自己也被高斯的这种独特算法给折服了。“数学王子”高斯为了奖励这个孩子，希望他以后能够在数学领域有一番成就，他给高斯购买了不少数学相关的教材。对于高斯这样一个贫穷的家庭来讲，书本教材显得弥足珍贵。布纳特作为高斯的老师也成为了他的伯乐，由此带领了高斯真正地走向了数学领域。不伦瑞克理工大学高斯出色的数学水平和智力表现，在日后很快就吸引了当时的一位贵族公爵查尔斯·威廉·费迪南德。这名公爵看到家境贫寒的高斯，决定将他送到卡罗林学院，也就是现在的不伦瑞克理工大学。1792年高斯开始在学院里就读，学习三年后，他又辗转到了哥廷根大学学习了三年。整个大学期间，高斯的才华得以最大程度地发挥，他的数学天赋也完全地展露出来。一个“圆”从古希腊时期开始，建筑学上的部分形体就一直是人们最头疼的地方，几乎所有的工匠都一致地认为，最困难的形体是圆。显然在建筑的实际工程上不能用圆规这样的东西去进行拆解。但高斯却发现，如果要在图形工具欠缺的情况下去画一个圆，那么可以建立正多边形，而正多边形的边数是不同费马素数的积。那么可以仅在只有圆规和直尺的情况下，去构建一个正多边形，而它边数和2的幂在整个图形下几乎就是一个圆。正多边形而这一年，是1796年，高斯不过才19岁。通过对十七边形的结构解析，他还进一步推进了“模运算”。这极大地简化了数论中的操作，同年的4月，高斯成为了第一个证明二次互惠定律的人。二次互惠定律为二次方程模素数提供了求解条件，这个定律的出现使得数学家们能够确定模算术中任何一个二次方程的解。同时它的出现对现代代数、数论和代数几何的许多机制发展至关重要。数学的发展为此，高斯还发表了六份证明，以此来完美地去论证这个定律，他本人自己称之为“黄金定理”。许多几百年前被前人推导出来的公式，高斯一个人就解决了。例如n=3的费马多边形数定理，费马大定理n=5，笛卡尔的符号法则等等。高斯在自己少年时期得志，青年时期名声鹊起，下至平民百姓，上至王公贵族。另外他本人也不止在数学方面有着卓越的贡献，高斯在天文学上也有着不俗的成就。六边形数一路高歌走向终点进入19世纪后，西方的天文学在经过数学几百年的建设发展后已经不再像以前的宗教时期那样，充满神学的味道，而是有着一种科学探索的精神。1801年，来自意大利的天文学家朱塞佩·皮亚齐发现了矮行星，这颗矮行星就是现在著名的谷神星。它位于火星和木星轨道之间的小行星，这是人类发现的第一颗小行星。谷神星内部可能的结构为了追踪这颗矮行星，朱塞佩费尽功夫也不能够很好地对它进行数据观测。原因在于谷神星进入太阳眩光后，就会消失不见。而它应该重新出现时，却找不到了。而且当时的天文学在仅有的数学工具上无法很好地去计算推测出它的位置。对数学一向感兴趣的高斯在听闻这个消息之后，马上就前往意大利，经过三个月的时间就解决了它。谷神星上亮斑的地图并且在谷神星发现后的第二年，由另外一名匈牙利科学家佛朗兹在12月31日重新发现了它。并且印证了高斯通过数学计算后，谷神星出现的准确位置，这时的高斯已经是知名的学院博士了。也正是由于这一次的经历，高斯开始对天文学感兴趣，他开始研究起受大行星干扰后的小行星运动理论。而在意大利的学术贡献使得他在1807年被任命为哥廷根天文台的天文学教授和主任。谷神星的轨道仅仅通过数年的研究，高斯就通过他惊人的数学能力，发表了《天体在圆锥形截面中运动的理论太阳》，该理论简化了18世纪轨道预测的繁琐过程，他对此的工作贡献成为了现代天文学计算的基石。其中介绍的高斯引力常数，包含对最小二乘法的处理方法已经在所有数学相关的学科中使用，以最大程度地减小测量误差带来的影响。高斯定律及其应用高斯在随后的几十年里，同样也对土地测量学有过一定贡献，其中最知名的要数“天芥菜”的发明。这是一种利用镜子将阳光反射到很远距离的仪器，用来测量位置。进入19世纪后的世界，随着数学这门学科不断被完善精进，物理学也开始进入到新的阶段。19世纪争论最大问题之一的就是电磁问题，高斯在1831年同物理学教授威廉·韦伯进行了合作。电报机二人的合作带来了关于磁性的新知识，这其中就包括找到磁性单位在质量、电荷及时间方面的表示。世界上第一台电报机也是由高斯和该教授一起建造，并且把这台电报机将天文台和哥根廷物理研究所连接起来。高斯和韦伯还一同建立了磁协会，用以来支持全世界不同地区对地球磁场进行测量。而高斯开发的一种测量磁场水平强度的方法一直沿用到20世纪下半叶。地球磁场高斯在整个物理界的贡献还间接影响了后续科学家们的进程，他在对非欧几何的研究中发现了其可能性，虽然从未发表过，但他对几何的研究，随着电磁学研究的进展，间接的导致爱因斯坦对于广义相对论的研究。进入晚年后的高斯，行动已经不便，但他的精神依旧活跃，仍在研究一些数学问题，随后于1855年死于心脏病，一位数学之星就这样陨落。高斯，出现于德国10马克纸币上。理性、完美，追寻理想高斯作为一名科学家，一位数学家，他只是名义上的哥廷根圣奥尔本斯福音派路德教成员。宗教依然盛大的18世纪，高斯作为一个科学家说出了关于他自己的看法。他认为科学是揭露人类灵魂不朽核心的手段，在他有限的生命里去全力以赴地通过科学手段去开辟道路。高斯在生命尽头时，这个信念给他带来了信心。而高斯的上帝也不是形而上学的冷漠和遥远的虚构，也不是其他宗教中痛苦神学的歪曲理念。上帝他相信宗教是一种生活方面的问题，而不是文学，也不是科学。认为所谓的“上帝”是一种永恒、公正、全知、全能的存在，是对事物最后的调节者。这种信念和看法，也与他的科学研究完全一致。高斯的手稿高斯作为一个天才，之所以这么低调，仅发表了部分数学理论知识，而不是他所有的研究。在他死后，人们发现了他保留的日记和未发布的著作。这里面有许多关于数学问题的解答和推论，但高斯是一个完美主义者，有着对科学严谨负责的态度。哥廷根大学内高斯的墓碑他认为在没有完全全面地进行详细推理论证前，这些都不能算作最终答案，同时期也少有能够与他相同的天才数学家。这使得高斯对于数学的研究仅是他自己的一本“回忆录”。说到最后，在高斯去世后数百年后的今天，科学界仍然有对于他的缅怀，以此纪念他对科学界的贡献。}

这是一个只有数学可以描述的世界，大到令人难以置信的数让这个世界没有偶然，但任何奇迹都可能发生：离开宇宙，与另一个自己擦身而过，遇见比无穷还要大的无穷。开始之前，先为大家简单介绍一下何谓大数。人们喜欢用简略方式记录重复的东西。比如，2×2×2×2（总共四个2）也可写成2^4（读作“二的四次方”）。而2^20（即1048576），比起写成2×2×2×2……（二十个2）显然要简单得多！如果把2换成10，简写的优势就更明显了，因为我们只需要数数有几个0就可以了。比如，10×10就是100或10^2……换言之，上面的小数字（被称为“指数”）表示1后面的0的个数。一百万，即1000000，可简单地写成10^6。10的乘方还可以简化运算。相乘时将指数相加，如：1000×1000000=10^3×10^6 =10^6+3=10^9(即十亿)。相除时将指数相减：1000000÷1000=10^6－3=10^3。因此在探索大数世界时，10的乘方不可或缺。它们无处不在，但我们却看不到在一个美丽的夜晚，抬头仰望星空……哇！今晚的星星好多，数都数不清。然而，在地球上用肉眼可以看见的星星仅仅只有8768颗而已。而且，我们通常只能看见其中的一半（其他的均在地平线以下）。这就意味着只要有足够的耐心，不到4000秒，即一个小时多一点，你就能数清所有这些星星！惊讶吗？这很正常。因为我们的大脑对大数并不怎么在行，当它说“大数”的时候，其实属于词语滥用。大脑能一眼看出的数量只有1、2、3和4。超过4，大脑就会死机并宣布“有很多”！如果桌上凌乱地放着五个苹果，几乎可以肯定的是，你将不得不一个一个地数，以弄清楚它们的数量。恼火吧？但事实就是如此。这就是骰子的最“大”点数“五”（4+1）和“六”（2×3）按现在方式排列的原因：便于一眼识别。这也是为什么在写（很）大数时，我们习惯于三个数字一组：数字1453214在你看来毫无意义，但如果写成1 453 214，你立刻知道这个数字是百万级。识别大数需要创意！你可以比较本页中所呈现的各个量。你会知道为什么在九宫棋游戏中获胜并不需要太多的智慧：在九格棋盘上，随意放×或○并获胜的概率并不小。相反，同样的策略在魔方游戏中不会很见效，因为魔方的变化要比九格棋盘的变化多得多。你也将明白为什么国际象棋冠军被认为是天才。很简单，因为他们在众多的可能中找到了通往胜利的路径……因为如果每次都有“很多”可能的路径，这些“很多”中的一些显然比其他拥有更大的可能！大数定律全人类质量仅占地球生物总质量的四千分之一，或地球总质量的十六万亿分之一。以太阳为起点，将50亿个地球排成直线，可抵达离太阳最近的恒星。然而，这个范围仅为整个银河系的十万分之一。而可见宇宙中（有数百亿亿个银河系那么大）类似银河系的星系有数百亿之多。天啊，为什么人类如此渺小？为什么宇宙中的一切都比我们要庞大得多？在回答上述问题之前，先来看看什么是偶然性。以抛硬币猜正反为例，如果抛的次数有限（不到20次），想猜对很难，如果抛的次数很多，想猜错却不容易。这就是数学家们所谓的“大数定律”：如果抛1000次，可以肯定结果为正面和反面的次数将非常非常接近！把一枚没有动过手脚的硬币抛若干次，得到的“正面（F）”和“反面（P）”的数量会一样多吗？不一定。我们将所有可能性序列以树形图的形式呈现。结论：如果一个宇宙由完全随机运动的元素构成，要想预测这个宇宙的运行方式，除非它所涉及的元素有很多很多……但大数定律还有另一“面”，称为李特尔伍德奇迹定理。这位英国数学家曾说过：“如果你每个月观察100万个事件，而奇迹指的是只有百万分之一的可能会发生的事件，那么你每个月都能等到奇迹发生。”说得通，不是吗？举个例子，在抛硬币猜正反时，接连抛出20个反面的概率只有百万分之一，但是，如果在一个200万人口的城市里，所有居民同时玩这个游戏，这样的奇迹就有97.8%的可能发生在某一个人身上！结论：大数不仅能使偶然变得可预见，还可以使奇迹的发生成为必然！这就像买彩票：即使赢面极小，只要有足够多的人参与，必然有一个人能中奖。另外，你知道吗？汽车发动机的运转和生命的进化也都是基于这一原理。大数让气球变得平滑，使发动机得以运转。活塞不过是一种过滤器：它只将那些朝着选定方向运动的少数分子的运动传递给外界。一些有趣的事情（如生命的出现）只有在宇宙变得非常大（而且非常老）之后才会在某些地方发生这一事实表明，这些有趣的事情其实是偶然的产物！无数的自己！多少只猴子随机在打字机键盘上按键，可使得其中一只必然打出一本类似《哈利·波特》的书？答案是10^369020。这个数字有多大呢？形象地说，1及其后面的369020个0足以填满本期《新发现》（经过慎重考虑，我们决定放弃）。明白了吧？那么准备好了，因为与我们现在要说的数字相比，这简直是小巫见大巫！以10^10^29 为例。完整写出这个数字需要在1后面加10^29，即10万亿亿亿个0。这次可填满的《新发现》杂志足以横跨整个可见宇宙！我们之所以介绍这个数字是因为它代表一段距离，在这段距离之外，另一个你自己正在读这本杂志……你一定觉得不可思议：这样的事情怎么可能会发生呢？我们的思路其实很简单：将地球看作一个由大自然乐高积木零件（构成物质的质子、神经元和其他粒子）拼装而成的很大很大的量，在无限的宇宙中，如果我们走得足够远，或许会有一个地方和我们这儿一样（由同样的零件以几乎同样的方式拼装起来）。也就是说，可能还存在另一个地球，包括它的所有居民！而在一些天体物理学家看来，在半径为10^10^29 米的范围内至少会有一个这样的地球副本存在。实际上，这个数字是如此之大，以至于是用微米还是百万光年来表示都无所谓：1后面总是跟着无数个0！因为旅途实在遥远，所以当从这些地球副本发出的光自宇宙的另一端到达地球时，目前已知的所有恒星和星系都已经消失很久了。所以这一幕永远都不会出现！不过，如果宇宙是无限的，那么在宇宙某处，肯定会有你的无数个分身，而且还会无限地反复出现！有没有被吓到？但还有更厉害的。比如数字10^10^10^120 ，与上一个数字一样，它所表示的时间跨度长到用什么单位都没关系。不管是微秒还是百万年，1后面都得加上差不多10^10^120个0（差几万个0已经无所谓了）。而这个数字所能填满的《新发现》杂志的长度，将远远超出离我们最近的另一个地球的位置！以棋牌游戏为例，从一副 52 张牌中抽出前 4 张，接着将这4 张牌放回并彻底洗牌，然后重新开始……方片 A 必定会在某个时刻被抽出。如果继续，方片 A 还会一次又一次地出现。而我们的宇宙不是由52张牌而是由10^100 个粒子构成，那么在 10^10^10^120这个数量级的宇宙之后，一切将重演。难以想象？那么换个方式：如果你能等待这么长的时间，你将见到构成我们的可见宇宙的大约10^100个粒子以几乎同样的方式再次呈现，比如今天早晨你吃早餐的情景。也就是说，10^10^10^120 秒（或年，无所谓）后，宇宙历史将重演！当然，这只是理论而已，根据自然法则，数到10^10^10^120 是不可能的。整个由物质构成的计数体系，不管是钟表、电脑或是你的大脑（一个闲着没事干且极其固执的副本），在尚未完成工作时就会崩溃并最终分解成粒子，这些粒子将在片刻后恢复原状，然后重新从0开始计数！事实上，物理定律能否维持这么长的时间也还是个未知数，或许这个永恒轮回的故事只是异想天开而已。但这个故事的寓意在于，只要数量（距离或时间）足够庞大，你就可以拥有一大批分身，何论无穷！好吧，既然已经说到了无穷，我们没有可能走得更远吧？你错了：等着吧，还有比无穷更大的呢。令人疯狂的数字实验表明，没有比无穷更大的数字了。例如无穷加上一还是无穷，不是吗？然而，更加匪夷所思的事情还在后头呢。一切始于20世纪初，当一位名为格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）的德国数学家决定将无穷当作一个和其他数字一样的数字来看时。其推理如下。如果按照1、2、3、4、5……的顺序一直数到“尽头”，最后将数到无穷数（用ω表示）。那么问题来了：能否找到一个比ω更大的数字呢？正如前文所说，这个问题看起来有点傻。康托尔的一个仰慕者，数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）还专门创作了一则名为无穷旅馆的有趣的小故事来说明ω是一个多么古怪的“数字”。但康托尔不为所动，他的第二个问题来了：偶数有多少个？答案，无穷，即ω。然而，这个ω仅仅相当于所有整数的一半而已，另外一半则是奇数，不是吗？所以，偶数的无穷数应该比整数的无穷数少一半。康托尔立刻发现不对。实际上，每个偶数都可以与另一个整数的两倍相对应，比如2是第1个偶数，4是第2个偶数，6是第3个偶数，8是第4个偶数，依次类推。最后我们发现可以用整数给每个偶数编号，也就是说偶数和整数的数量一样多！这就是有趣的无穷数法则：ω（偶数）+ω（奇数）= ω（所有整数的总和）！康托尔的思考继续进行：1和2之间还有无穷个像1.33333……或1.666666……这样的数字。2和3之间，3和4之间，4和5之间，也一样。那么所有这些数字的总数应为数字的无穷乘以区间的无穷，即ω×ω，这就意味着比整数的数量明显要多，不是吗？并不是。像2.438438……这样的无限循环小数被称为“有理数”，因为它们全部成“比例”，如5/3（1.66666……）或812/333（正好是2.438438438……）。经过一番推理，康托尔发现有理数的数量和整数的数量完全一样。所以：ω×ω=ω!康托尔最终在“实数”领域撞上了大运。实数指所有可能的数字，包括整数、有理数以及无限不循环小数，后者比如π等于3.141592653……小数点后面的数字无限不循环（只能被一个接一个地计算出来，目前的记录是小数点后10^13，即10万亿位。）关于实数，康托尔有两点贡献。首先，他指出实数的数量比整数的数量更多。然后，他证明实数的无穷数是2^ω（2×2×2×2……直到无穷）。这个论证很巧妙，但原理很简单。以一个包含三个球（红、蓝、绿）的集合为例，三个球的组合方式是有限的：无、单个蓝、红或绿，红和蓝，蓝和绿，红和绿，三个一起。总共有8种可能，因为对于每个球而言都存在两种可能（要么在组合内，要么不在），那么2×2×2=23=8种可能。包含n个元素的集合的组合数为2^n个，所有整数的组合数则为2^ω个。而实数正是整数的各种组合（比如，π可被认为是3与141、5926、53等的组合），那么实数的数量就是2^ω个。结论？即使ω+1= ω+ω=ω×ω=ω成立，换句话说，就算与无穷数相关的任何运算的结果还是无穷，2^ω（读作2的ω次方或2的无穷次方）仍然是一个比ω更大的无穷数！在无穷数之后，康托尔还发现了κ0——读作“阿列夫（希伯来字母表第一个字母）零”——后面还有κ1、 κ2、κ3等。这一连串数字被称为“超穷”数，用来表示无穷集合的势（大小）：可数集（包括自然数）的势标记为κ0，下一个较大的势为κ1，再下一个是κ2，依次类推……也就是说，下一个总是比上一个更加无穷，这简直让人发疯，不是吗？康托尔最后不幸地进了精神病院。不过，一个刚开始只能数到4的大脑能走到这个地步已经算是很不错了！撰稿 René Cuillierier编译 吴会敏}

说在前面，我只是一个普通本科生，看到这个问题忍不住想答一下。首先需要批评这位学弟的是，你在乱用“同构”这个词。“同构”并不是字面意义上的“结构相同”，更不是高中数学一个导数题解题技巧花里胡哨的称呼。数学对象的“同构”有相当严格的定义：设 A,B 是范畴 \cal C 中的两个对象，称 A,B 是同构的，当且仅当 \cal C 中存在两个态射 f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow A ，使得 f\circ g={\rm id}_B 且 g\circ f={\rm id}_A ，这两个态射 f,g 称为同构。在这一点上，我和B站的up主castelu持相同观点，你可以去看看他的视频《驳斥数学名词乱象》。其次现代数学早已经走出了用数量来研究的时代。现代数学更关心的是数学中的各种结构，这些结构并不都是以计数或计量为基础的。前面的答主也提到了，现代数学的基础是公理化集合论，当然将来可能会被类型论或者其他数学理论替代，但绝不会是极其原始的计数或计量。随便举几个例子，代数中的环、几何中交换环的谱的定义：环：一个环 (R,\cdot,+) 是一个集合 R 带上两个二元运算 \cdot,+:R\times R\rightarrow R 使得：1. (R,\cdot) 下构成幺半群；2. (R,+) 构成Abel群；3.“ \cdot ”对“ + ”成立双边分配律。交换环的谱：一个交换环 A 的谱 {\rm Spec}\; A 是 A 的所有素理想的集合带上其Zariski拓扑及其结构层。可以看到的是，环和谱都是一个集合，只不过带上了不同结构。现代数学定义数学对象也大多是这样的套路，先定义其集合，再定义其上的结构，根本不会用到计量。而且现代数学要讨论“量”，这个”量“也不一定是数，例如现代数学所说的各种不变量，一般情况下都是一个群、环、域等结构，甚至可能是一个 \infty -范畴，例如著名的Fukaya范畴，而不是一个数。最后，我觉得还是给学弟一点建议。从你的问题描述中，我感觉你很喜欢使用“本源”、“事物”、“同构”、“宇宙”之类的抽象、泛化甚至可以叫哲学的词汇，而没有数学的术语，这表明你在数学上的积累并不是很足，这使得你提的问题和下面这个同学的有着天壤之别。但我看到的你发表的文章，却在试图思考所谓的数学真理。这对你现在的数学学习或者将来可能的数学研究其实是一件很危险的事，正所谓“思而不学则殆”。所以我还是建议你多学一点数学再来思考更深层的东西，这样才不会走入歧途。有句诗说得好“问渠那得清如许，为有源头活水来”，这在数学的学习中同样适用。共勉}