1、整理课件高等数学高等数学精国保西南财经大学西南财经大学经济数学学院经济数学学院孙疆明孙疆明整理课件 不定积分不定积分不不定定积积分分性性质质基基本本积积分分法法不不定定积积分分概概念念换换元元积积分分法法分分部部积积分分法法有理函数积分有理函数积分积不出来的积分积不出来的积分整理课件一、原函数一、原函数（1 1） 从运算与逆运算看从运算与逆运算看 初等数学中加法与减法、乘法与除法、初等数学中加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数等，都是互逆的乘方与开方、指数与对数等，都是互逆的运算。运算。 微分是一种运算：求一个函数的导函数。微分是一种运算：求一个函数的导函数。微分运算的逆运算是什麽？2、微分运算的逆运算是什麽？问题：问题：).()(),(),(xfxFxFxf的的导导函函数数正正是是使使要要求求这这样样一一个个函函数数已已知知函函数数这就是求原函数和不定积分的运算。这就是求原函数和不定积分的运算。整理课件( ),( )?( )( )SS tv tv tS t 已已知知运运动动规规律律要要求求瞬瞬时时速速度度求求导导数数：（2 2） 从物理问题看从物理问题看:( ),( )?:( ),( )( )v tSS tS tS tv t 反反问问题题已已知知速速度度函函数数 要要求求运运动动规规律律求求原原函函数数使使整理课件( ),( ),?( ),( ).C xL xCtL t 已3、已知知成成本本, ,利利润润求求边边际际成成本本, ,边边际际利利润润求求导导数数：（3 3） 从经济问题看从经济问题看:,CLCL 反反问问题题已已知知边边际际成成本本, ,边边际际利利润润函函数数求求总总成成本本, ,总总利利润润？求求的的原原函函数数. .（4 4） 从几何问题看从几何问题看00 ( )(,), ( )( ) kk xxykfxf x 已已知知曲曲线线斜斜率率及及曲曲线线上上一一点点求求曲曲线线？由由求求 原原函函数数. .整理课件.)()()()()()(,),(.)(上上的的一一个个原原函函数数在在是是则则称称或或都都有有使使可可导导函函数数若若另另有有一一个个上上有4、有定定义义在在区区间间设设IxfxFdxxfxdFxfxFIxxFIxf 定义定义32( )( )3(,).F xxf xx 例例 是是在在 区区间间上上的的一一个个原原函函数数21( )arcsin( )1( 1, 1).F xxf xx 例例 是是在在 区区间间上上的的一一个个原原函函数数整理课件3232, ()3()3.cRxcxxcxR 也也是是在在上上的的原原函函数数 一个函数若存在原函数，一个函数若存在原函数， 则它必有无穷多个原函数。则它必有无穷多个原函数。:(1)( )f x问问题题是是否否任任何何函函数数都都有有原原函函数数？(2)如如果果有有是是否否唯唯一一？ 1,0 ( 5、),(,).0,0 xf xx 例例在在没没有有原原函函数数0 ( )( ),( ),lim( )1, (0)1(0) .xFxf xF xf xFf 若若则则连连续续 而而必必有有矛矛盾盾整理课件 ( )( ), ( ) ( ),.F xf xIF xCf xC 定定理理: : 若若是是在在区区间间 上上的的一一个个原原函函数数 则则是是的的全全体体原原函函数数 其其中中为为任任意意常常数数（b b）原函数的结构问题）原函数的结构问题(), ().f xIf xI结结论论: :若若函函数数在在区区间间 上上连连续续则则在在区区间间上上存存在在原原函函数数关于原函数有两个理论问题关于原函数有两6、个理论问题: :（a a）原函数的存在问题）原函数的存在问题上上的的任任何何一一个个原原函函数数在在是是设设IxfxG)()( )( )( )( )( )( )0G xF xGxFxf xf xxI ( )( ),( )( )G xF xC G xF xCxI 即即整理课件 ( )( ),( ) ( ).:f xIF xF xCf xI 原原函函数数的的设设在在区区间间 上上存存在在原原函函数数则则其其称称为为在在区区间间 上上的的不不定定积积分分体体记记为为全全 CxFdxxf)()(积积分分常常数数积积分分号号被积函数被积函数二、不定积分概念二、不定积分概念不不定定积积分分是是函函数数一一7、族族函函数数. .整理课件CxFy )(积积分分曲曲线线族族xxyo积分曲线积分曲线)(xFy 积积分分曲曲线线与与积积分分曲曲线线族族不不定定积积分分几几何何意意义义整理课件关关于于原原函函数数、不不定定积积分分概概念念(1) ( )( )F xf x是是否否的的原原函函数数, ,求求导导问问题题; ;,( )( )fxf x 反反之之 见见到到知知道道是是其其一一个个原原函函数数. . ( ).fx dx 例 求例 求 ( )( ).fx dxfxC 解解 ( )( )( ).F xf xf x dx 例例 设设求求 ( )( ).f x dxF xC 解解2 ( )arctan,().f8、 x dxxCf x 例例 设设求求21 ( )(arctan)1f xxCx 解解241,().1f xx 整理课件(2) , ,( )( );.f x dxf xC 不定积分是被积函数全体原函数 首先是不定积分是被积函数全体原函数 首先是原函数 即其次要有原函数 即其次要有222 sin2? (1)sin (2)cos (3)cos (4)2sin2xdxxxCxxC 例例2 (1)(2), (2sin2)4cos2 (cos)2cos( sin )sin2 ,.CxCxCxxxx 解解无无错错！错错！对对 : (1) tanlnsin; (2) ln(ln1)xdxxCxdxxxC 例 9、验证积分对错例 验证积分对错cos(lnsin )sinxxx (ln1)=ln11xxx 整理课件2cos,0, ( )1,02x C xg xxC x sin ,0( ) ,0 x xf xxx 设设(1) ( ) ( ) (2) ( ) (0,1).g xf xf x问问：是是的的不不定定积积分分吗吗？求求过过点点的的积积分分曲曲线线例例 ( )0( )( ).g xxg xf x 因因为为在在点点处处不不连连续续, ,一一定定不不可可导导所所以以不不是是的的原原函函数数 (1) 解解不不是是！的的积积分分曲曲线线族族首首先先要要求求)()2(xf2( )( ), (cos )sin ,10、(),2F xf xxxxx 设为原函数 因为设为原函数 因为整理课件( ),f xR的的原原函函数数在在上上可可导导 一一定定连连续续 故故1200lim( )lim( )(0), 1(0)xxF xF xFCCF 即即21222010(0) ,(0)(0)lim0cos(0)(0)lim0 xxxCCFCFFxxCFFx 而而当当1 1+ +时时2122cos,0 ( )(0) ,0 ,0 xxCxF xFxCx 所以所以(0)(0)( )( ).FfF xf x 即即所以是所以是的积分的积分曲线族曲线族21(0,1),(0)1,0FC C 再再由由曲曲线线过过得得整理课件)()()1(x11、fdxxf dxxfdxxfd)()( Cxfdxxf)()()2( Cxfxdf)()(三、不定积分的性质三、不定积分的性质 （1） 不定积分与微分互为逆运算不定积分与微分互为逆运算: ( )( )f xc dxf xc 注注整理课件(3) ( )( )( )( )f xg x dxf x dxg x dx dxxfkdxxkf)()()4(dxxfkxfk )()(2211 dxxfkdxxfk)()(2211综合综合(3)(4) （2） 线性运算性质线性运算性质整理课件 怎样计算不定积分？怎样计算不定积分？ :;.按照讨论函数的基本方法 首按照讨论函数的基本方法 首先讨论清楚基本函数计算12、公式,再利用先讨论清楚基本函数计算公式,再利用四则运算、复合运算,解决初等函数的计算四则运算、复合运算,解决初等函数的计算分段函数解决分段点计算即可分段函数解决分段点计算即可一、积分公式一、积分公式基本积分表基本积分表 dxx )1( dxx1)2()1( Cx 11 Cx ln x 幂函数幂函数1()1xx 0dxc dxxc 整理课件(5)sinxdx (6)cos xdx Cx cosCx sinCaax ln1Cex ()lnxxxaaaa 指数函数指数函数(3) xa dx (4) xe dx 1 axaxe dxeca 更更一一般般地地,.对对数数函函数数不不给给积积分分公公式式 13、用用特特定定方方法法计计算算22: (sin )cos( cos )sin(tan )sec( cot )cscxxxxxxxx 三角函数三角函数2(7) sectanxdxxc 2(8) csccotxdxxc 整理课件(9) tanln cosxdxxc (10) cotln sinxdxxc (11) secln sectanxdxxxc (12) cscln csccotxdxxxc .反反三三角角函函数数与与对对数数函函数数类类似似特特定定算算法法计计算算21(13) arcsinarccos1dxxcxcx 21(14) arctanarccot1dxxcxcx 整理课件 ( )(14、 )( )( )f xg x dxf x dxg x dx ( )( )Cf x dxCf x dx ( ) ( )( )( )f x g x dxf x dxg x dx 注注意意: :基基本本积积分分法法 尽尽可可能能将将被被积积函函数数写写成成公公式式中中函函数数类类或或加加、减减、乘乘常常数数运运算算. .选择积分方法选择积分方法，以，以计算积分必须判别类型计算积分必须判别类型由于原函数的复杂性，由于原函数的复杂性，整理课件22sin1xxxdxx 例例 计计算算211 (sin)xdxxx 解解 原原式式2 cossin cosxxxdxx 例例2 cossin cosxxxdxx 15、解解1lncosxxcx 2(2tan )ln cosln2xxx dxxc 整理课件1. ,.幂幂函函数数多多项项式式乘乘积积 全全部部乘乘开开21 (1+)().xx dxx 例例21 = (+)xxxdxx 解解 原原式式21= x dxxdxxdxdxx332212342=2323xxccxcxc 整理课件返回332212342=2.323 ()xxxxcccccc 22 (1)xdx 例例24 = (12)xxdx 解 原式解 原式3521=.35xxxc 14 (1)xxxdx 例例53135888888 = ().135xxdxxxc 解解 原原式式12:ccc注 因为注 因为故16、可在所有积故可在所有积分做完后统一分做完后统一加任意常数.加任意常数.整理课件2. ,含含指指数数函函数数乘乘除除积积分分 化化为为一一个个指指数数函函数数21132 .3xxxdxe 例例92321 921 = ( )() 93 23xxxxxdxdxeee 解解 原原式式1921( )()9(ln91)3( ln21) 2xxcee 221sincosdxxx 例例 计计算算3. 利利用用三三角角恒恒等等式式计计算算部部分分三三角角积积分分2222sincos sincosxxdxxx 解解 原原式式整理课件1cos2xdx 例 计算例 计算 2cos xdx 解解 原原式式2sin xc17、 1cossin22xx 22(seccsc)tancotxx dxxxc 1coscos22xx 整理课件22211xdxx 例 计算例 计算222(1)3 1xdxx 解 原式解 原式23(2)1dxx Cxx arctan324. (,),.分分式式积积分分 分分子子 分分母母多多项项式式 拆拆项项整理课件221(1)(1)dxxx 2(2)tan xdx 21(3) 1dxx 22(4) 231xdxxx 2cos(5) sinxdxx 2(6) sin2xdx 整理课件 ( ):fx 复复合合函函数数积积分分55 1cos55coscoss 15i5n51x xu uxxdxddc 18、ux 5视视 cos5?xdx 如如cossinuduuc 利用微分形式不变性利用微分形式不变性(sin )coscoscos55duuduu u dxxdx 1155( sin5 )cos55cos5xxx 整理课件1 ( )( ),( )( ),Fxf xxttx 设设且且及及其其反反函函数数可可微微 则则三、换元积分法三、换元积分法( ( ) ( )( )tFtFtt ( ) ( )( ) ( )( )F xFtf xftt 即即不不仅仅是是的的一一个个原原函函数数, ,也也是是函函数数的的一一个个原原函函数数, ,即即 1( )( )f x dxF xc 12 ( ) ( )( )f 19、x dxcftt dtc 也也即即22 ( )( ) ( )( )ftt dtFtcF xc ( )( )ftt 整理课件,因因为为积积分分完完 任任意意常常数数可可以以合合并并, ,所所以以( ) ( ) ( )( )xtf x dxftt dt .换换元元积积分分公公式式( )( ), ( ), .xtdxt dtxtxttx 注意：时,故换元积分注意：时,故换元积分就是用将积分变量 替换为或就是用将积分变量 替换为或将 替换为故称之为换元积分法将 替换为故称之为换元积分法 ( ),;( ).txxt 式式中中取取复复合合函函数数内内函函数数换换元元 称称为为第第一一类类换换元元积积分分 20、取取积积分分变变量量换换元元称称为为第第二二类类换换元元积积分分 整理课件第一换元积分法第一换元积分法 ？ ( )( ) ,fxx dx 在在中中函函数数取取内内 , ( ),dux dx 换换元元 则则 ( )( )( )fxx dxf u du 化化为为 .简简单单函函数数积积分分11( ),( )uxu dxudu 或或( )xu 积积分分完完变变量量要要换换回回！5. 复复合合函函数数积积分分取取内内函函数数换换元元整理课件11dxx 1xedx 1,(0)dx aaxb 例例32 10(1)xxdx (ln )( )( ),fxF xf xdxx 设设求求2(arctan )1fxd21、xx 21dxxx 整理课件 dxxxf)()( )()(xdxf duuf)(cuF )(cxF )( 凑微分凑微分第一换元积分法本质第一换元积分法本质dxx)( 换回换回( )( )Fxf x 设设凑内函数凑内函数( )x 看看成成一一个个变变量量直接直接对外对外函数函数积分积分整理课件1()adxd ax 1()axaxe dxd ea )(sincosxdxdx sin(cos )xdxdx (ln)(ln )dxdxdxx)(21xddxx )(arctan112xddxx )(arcsin112xddxx 常用凑微分公式常用凑微分公式()dxd xc 11()1nnx dxd xn22、 整理课件1125dxx 例例 2 tan xdx 例例233 (1) sin; (2) sin.xdxxdx 例例2222224 (1); (2); (3)dxdxdxxaxaax 例例5 1dxxx 例例4sin26 4cosxdxx 例例7 1xdxe 例例8 cosdxx 例例ln291lnxdxxx 例例(1)10(1)xxdxxxe 例例整理课件6. 三三角角函函数数积积分分凑凑三三角角微微分分sincosnmxxdx 1.,21,m nnk 当当有有奇奇数数时时 不不妨妨设设则则212sincos(1cos) coscoskmkmxxdxxxdx cos ,;ux 设设变变为为多23、多项项式式积积分分例例2.,m n当当为为偶偶数数时时 用用半半角角公公式式降降低低次次数数212212sin(1cos2 ),cos(1cos2 ).xxxx 例例整理课件返回三角函数万能代换三角函数万能代换22tan,2arctan ,21xtxt dxdtt 设设则则22222tan2sin2sincos221tan1xxxxtxt 222222221tan1coscossin221tan1xxxxtxt .dx所所有有三三角角函函数数及及都都化化为为有有理理分分式式113. , sincosdxdxabxabx 整理课件1 ?1+sindxx 例例222221 =12sin cos1 24、2tan1tan2tan2xxxxdxxd 解解 原原式式2212(tan1)(1tan )2xxd 221tanxc 整理课件法二法二2222 tan,sin211xduuudxxuu 解解 设设则则2211tan2ccux 22212=21111 2(1)duuuuduu 原式原式整理课件 dxxf)( dxxxf)()( 第第二二类类换换元元法法好好求求！()xu 令令难难求求！)(tx 令令好好求求！难难求求！相反的情况相反的情况 duuf)(dtttf)()( 技巧性要求高技巧性要求高整理课件7.含含一一次次函函数数开开方方去去掉掉开开方方) () , ,1qpaaxbp qp 含含25、整整数数且且11,ppppbaaaaxbtxtdxtdt 设设即即,.带带入入积积分分可可以以去去掉掉开开方方 化化为为有有理理式式1212) (),(),qqppbaxbaxb 含含几几个个12,paxbtppp 设设为为最最小小公公倍倍数数. .,.带带入入积积分分可可以以去去掉掉开开方方 化化为为有有理理式式整理课件dxx 11求求例例于于是是令令,2txtx dtttdxx 1211dttt 11)1(211 2dttdt Ctt )1ln(2解解Cxx )1ln(2整理课件 1xdxx 例？例？3 1xdxx 例？例？2 ,(0),2xttdxtdt 解解 设设则则3212(1)1126、tdtttdttt 原原式式2211tttt 32ln 132ttttc 65 (0),6xttdxt dt解 设则解 设则ln(1).2xxxc 整理课件38665226611ttttt dtdttt 原原式式642216 (1)1tttdtt 753116( ln)21753tttttct 537666666116( ln)27531xxxxxcx 法二法二64211116 (1)2 12 1tttdttt 整理课件8.含含二二次次函函数数开开方方三三角角换换元元222222cos1sin, sec1tantansec1. ()xxxxxxx 考考虑虑主主值值部部分分2222222 AxB27、xCauauua 配配方方为为或或或或22sin ,22auuatt设设22cos ,2cos ,;auat dut 则则去去掉掉根根号号变变为为三三角角函函数数积积分分tua22au 整理课件22tan ,22auuatt 设设22sec , 02uauatt 设设222sec ,sec,;auat duatdt去掉根号去掉根号变为三角函数积分变为三角函数积分22tan ,sec tan,;uaat duattdt 去去掉掉根根号号, ,变变为为三三角角函函数数积积分分tua22au tua22au 整理课件2 dxxx 例例221142 ()dxdxxxx 解解211112222 sin 28、,cos,cosxtdxtdtxxt设则设则12121coscostdtt 原式原式dttc arcsin(21)xc 112arcsin1dxxcx 整理课件22(0)Iax dxa 22(0)dxIaax 222(0)dxIaxax 22(0)dxIaxa 232xIdxxx 双曲代换双曲代换倒代换倒代换整理课件 () ,uvu vuvuvu vuv 由由导导数数公公式式得得是是原原函函数数 即即u vdxuv dx vduuvudv四、分部积分法四、分部积分法分部分部积分积分公式公式uv dxuvu vdx 乘积的积分乘积的积分()u vuv dxuvc 整理课件uv dxuvu vdx29、 ,uv dxuvu vdx 在在中中先先积积出出一一部部分分并并化化为为, ().uuv vv 要要求求 比比 简简单单原原函函数数 不不比比 复复杂杂,( );( )xnnveuP xP x 取取多多项项式式(.)1xnP x e si2.n( )cosnxP xx sin,( );cosnxvuP xx 取取3.含对数含对数积分积分;uv 取对数,其余为取对数,其余为4.含含反反三三角角,;uv 取取反反三三角角其其余余为为 sinos5.cxxax sin,cosxxvavx 可可取取也也可可取取. .9.分部积分类型分部积分类型整理课件 dxxex计计算算例例 12,/ 2,xxeu30、 xvvxue 若若选选择择则则 dxexxedxxexxx2222则则解解更难求更难求,1(),)xxxu evuve 选选择择则则简简单单( (一一样样 dxexedxxexxxCexexx Cxex )1( dxexx22容易求容易求 ！ dxex.vv dxdv 当选定 后,最好用形式当选定 后,最好用形式.xxxxxxxe dxxdexee dxxeec 整理课件2sinxxdx lnxxdx arctanxxdx 3sec x dx cosxexdx ln xdx arctan x dx sin(1, 2,)nnIxdx n 22()nndxIxa ),0(Nna arctanxx31、edxe 22(2)xx edxx sincosaxbxdx 整理课件10.,;v 含抽象函数积分 取抽象函数含抽象函数积分 取抽象函数 ( )Ixfx dx 例例 ( )( )( ) ( )( )Ixdfxxfxfx dxxfxf xc 解解sin ( ) ( )xf xxIxfx dx 例例 设设为为的的一一个个原原函函数数, ,求求2 ( )( )( )cossinsin Ixdf xxf xf x dxxxxxxcxx 解解整理课件( )1 ( )ln( )( )( )fxdxdf xf xCf xf x 例例21 21xdxxx 例例2214131 421421xdxdxxxxx 解32、解 原原式式222(21)131(41)4214788dxxdxxxx 221 =41xxx （）21341ln(21)arctan42 77xxxC 三三角角函函数数积积分分整理课件等等函函数数下下列列积积分分不不能能表表示示为为初初 xkdxdxxkdxxdxxdxxxdxxxdxxdxxdxxdxex2222223sin1,sin1cos,sincos,sin,sin1,ln1,2整理课件)()()(xQxPxRmn mmmmmnnnnnbxbxbxbxQaxaxaxaxP 11101110)()(其其中中 代代数数有有理理分分式式多多项项式式( (或或常常数数) )真真分分式式121133、1223 xxxxxx例例如如：五、有理分式的积分五、有理分式的积分（一）代数有理函数的积分（一）代数有理函数的积分,;,nmnm 当当时时 真真分分式式当当时时 假假分分式式整理课件简简分分式式的的和和真真分分式式可可分分解解为为四四类类最最 axA )1(naxA)()2( qpxxCBx 2)3(nqpxxCBx)()4(2 22233()2()()AxBxCA xaAaxBxCaxaxa 如如2232(2)=()()AAaBCaAaB axaxaxa 23=()()AMNxaxaxa 整理课件 dxqpxxCBppxBdxqpxxCBx221212)2()3( caxAdxaxAln)34、1(caxnAdxaxAnn 1)(1()()2( 四类最简分式的积分四类最简分式的积分322(2)xx 再再 如如22222(2)xxxx 22xx 整理课件 dxqpxxCBppxBdxqpxxCBxnn)()2()()4(22121212)(1)1 ( 2 nqpxxnB nqpqxdxCBp)()(224222 )()(22ln2142222qpqxdxCBpqpxxB qpxxdxCBpqpxxB2222ln21整理课件:)04()()()(221110诸诸因因式式之之积积与与与与形形如如都都可可以以分分解解为为一一个个常常数数任任意意一一个个实实系系数数多多项项式式 qpqpxxa35、xbxbxbxbxQlkmmmmm 如何将真分式分解为最简分式之和如何将真分式分解为最简分式之和 ？定理定理1：rslrrllkskkmqxpxqxpxqxpxaxaxaxbxQ)()()()()()()(22221122102121 整理课件:,)()(如如下下分分解解规规则则之之和和唯唯一一地地分分解解为为最最简简分分式式则则它它可可以以是是一一个个真真分分式式设设xQxPmn定理定理2：(1)Axa 一一次次单单因因式式对对应应一一项项122(2)()()kkkkAAAxaxaxa 一一次次重重因因式式对对应应项项整理课件qpxxCBx 2)3(二二次次单单因因式式对对应应一一项项kkk36、qpxxCxBqpxxCxBqpxxCxBkk)()()()4(22222211 项项重重因因式式对对应应二二次次整理课件分分解解为为最最简简分分式式的的和和将将例例435123 xxx将将分分母母分分解解因因式式)1(223)2)(1(43 xxxx将将真真分分式式分分解解)2(223) 2(21435 xCxBxAxxx解解CBA,)3(用用待待定定系系数数法法确确定定常常数数)24()4()() 1() 2)(1() 2(522CBAxCBAxBAxCxxBxAx 整理课件 524140CBACBABA1,32,32 CBA223)2(121321132435 xxxxxx dxxxx437、3523 2)2(232132xdxxdxxdxCxxx 2112ln32法二法二整理课件 dxxxxxxxxI1221223453求积分求积分例例将将分分母母分分解解因因式式)1(222345) 1)(1(122 xxxxxxx将将真真分分式式分分解解)2(2222345) 1(111225 xEDxxCBxxAxxxxxx解解用用待待定定系系数数法法确确定定常常数数)3()()()2()()() 1)() 1)(1)() 1(12342223ECAxEDCBxDCBAxBCxBAxEDxxxCBxxAxx 整理课件23,21,43,41,41 EDCBA 110210ECAEDCBDCBA38、BCBAdxxxdxxxdxxI 222)1(32113411141 1431)1(811ln41222xdxxxdx 22222)1(23)1()1(41xdxxxd整理课件xxxarctan43)1ln(811ln412 1431)1(811ln41222xdxxxdxI 22222)1(23)1()1(41xdxxxdCxxxx arctan2112123114122CxxxxI 11311ln4122即即整理课件22222122211()(22)()23 (22)()nnndxxxanaxandxnaxa )2, 1( na注意注意 计算最后一个积分时计算最后一个积分时, 利用了递推公39、式利用了递推公式Cxxxxdxxxxdx arctan21121121121) 1(22222整理课件 dxxxR)cos,(sintx 2tan令令212sinttx 2211costtx dttdx212 dttR)(1有理函数有理函数万能万能代换代换（二）三角有理函数的积分（二）三角有理函数的积分代数有理函数的积分代数有理函数的积分整理课件dxxI cos213求求积积分分例例tx 2tan令令22113121cos2122ttxtt dttdx212 dttI 2312Ct 3arctan32解解Cx )3tanarctan(322整理课件 )3(7xxdx dxxxxx)3(337740、7dxxxxdx )3(376 )1(10 xxdx )1(1011xxdx )1(10109xxdxx或或 遇到有理函数的积分要灵活处理遇到有理函数的积分要灵活处理整理课件 三角函数有理式积分的最常用的方法是用三角函数有理式积分的最常用的方法是用三角恒等式将问题化简三角恒等式将问题化简 nxdxmxcoscos nxdxmxsinsin: 1例例 dxxnmxnm)cos()cos(21 dxxnmxnm)cos()cos(21 nxdxmxcossin dxxnmxnm)sin()sin(21整理课件 xxdxcossin1:2例例 2cos22cos2sin22xxxdxcxxxd
241、tan1|ln2tan1)2tan1( xdx2sin:32例例 xxdx22cossin41 dxxxxxxx)csc(sec41cossincossin41222222cxx )cot(tan41整理课件dxxI 2sin314求求积积分分例例dxxxxI 222tansec3sec xxd2tan43)(tanCx tan32arctan63解解整理课件dxxxI cos)sin2(15求求积积分分例例dxxxxxI cos)sin2()cos(sin43122dxxxdxxx sin2cos31cossin231 xxdxxdxdxsin2)sin2(31cos)(cos31cos3242、Cxxxx sin2ln31cosln31tansecln32解一解一Cxxxx sin2cosln31tansecln32整理课件 )sin1)(sin2()(sincos)sin2(cos22xxxddxxxxI )(sin1sinsin1sin2612131xdxxx Cxxx sin1ln61sin1ln21sin2ln31Cxxx cos)sin2()sin1 (ln312解二解二整理课件dxbaxxRn),()1( tbaxn 令令abtxn dttandxn 1 dttR)(1四、简单无理式的积分四、简单无理式的积分代数有理函数的积分代数有理函数的积分整理课件dxbaxbaxba43、xxRknnn),()2(21 tbaxn 令令的的最最小小公公倍倍数数为为knnnn,21 dttR)(1代数有理函数的积分代数有理函数的积分整理课件dxdcxbaxxRn),()3( tdcxbaxn 令令 dttR)(1代数有理函数的积分代数有理函数的积分整理课件dxcbxaxxR),()4(2 )04, 0(2 acbaduau 221经经配配方方只只要要求求tauduautan22 令令tauduuasin22 令令tausec 整理课件dxxxI 153求求积积分分例例则则令令,66txtx 11233 ttxxdttdx56 dxttI 1628dttttt)111(62246 44、CxxxxxCttttt 66636567357arctan315171( 6)arctan357( 6解解整理课件dxxxI 32)1)(1(16求求积积分分例例先先将将积积分分化化为为dxxxxI11113 1111333 ttxtxx令令1211113333 ttttxdtttdx232)1(6 解解整理课件 dttttdttdttI121111323 2232212122)()()(231) 1(211lnttdttttdtdttttt 13)12(211ln2Ctttt 312arctan3) 1(1ln2122311 xxt其其中中，整理课件 22)1(7xxxdxI求求积积分分例45、例 22149)()1 (xxdxI 24923)(uudutusin23 令令21 xu令令 tttdtcos) 1(sincos232323解解整理课件dtt sin1132 dttt2cossin132Ctt )cos1(tan32tu23249u Cuu 2492332Cxxx 22232Cxx 1232 三角形法三角形法整理课件 dxxfCxFdxxfxfxfdxxx)()()(,)(,)(2)1ln(111求求且且是是它它的的反反函函数数单单调调连连续续设设练习练习整理课件以下题目不用计算立即写出结果以下题目不用计算立即写出结果dxexx121. 1 dueudxxxar 231)46、sin(. 2 duu3 dxxx2. 32 udu dxxxsin1. 4 udusin整理课件 xxdx2costan. 7duu 21dxxxx 1arcsin. 8 udu dxxx2ln. 6 duu 294. 5xxdx udu整理课件dxxx lnln. 9xxxlnlnlnln xdxxexcossin.102sin dueu整理课件结束放映结束放映整理课件 基本积分法基本积分法三角、分式三角、分式整理课件返回2222221(1)(1)(1)(1)xxdxdxxxxx 22(2)tan(sec1)xdxxdx 2211()11arctan.dxxxxcx tan.xxc整理课件47、返回211(3) 1(1)(1)dxdxxxx 12(1)(1)(1)(1)xxdxxx 111()211dxxx 1 ln 1ln 1.2xxc:11 ln.dxaxbcaxba 积分公式积分公式整理课件返回1122()()Bdxa xba xb 122211122 11122()()()()Ba a xba a xbdxa ba ba xba xb 1122()()Axdxa xba xb 1222112 1121122()()()()Ab a xbb a xbdxa ba ba xba xb 整理课件返回1122()()AxBdxa xba xb 1222111122()()()()d 48、a xbda xbdxa xba xb 121122()dddxa xba xb 12211 22 1, d ad aAd bd bB 1122122 112122 1, AbBaAbBadda ba ba ba b 整理课件返回(21)(1)2(21)(1)xxdxxx 112 ()121dxxx 12ln(1)ln(21).2xxc222(4) 231(21)(1)xxdxdxxxxx 整理课件返回2cos(5) csc cotcsc.sinxdxxxdxxcx 21cos(6) sin22xxdxdx 1(1cos )2x dx 1(sin ).2xxc 整理课件第一类换元第一类换元整理49、课件返回1?,(0)dxaaxb 1 ,aaxbuduadxdxdu 解解 设设则则即即1111lnln.duucaxbcauaa 原原式式1?1dxx 12 1 1,2xxududxdxudu 解解 设设则则即即1222 1.uduucxcu 原式原式11lndxaxbcaxba 整理课件返回1?xedx 32 10(1)?xxdx 2 1,121xxxxeeududx eue 解解 设设则则2221uduu 原原式式22 1,2,1xuduxdx xu 解解 设设则则10111011(1)()22uu duuudu 原原式式12112 122 111(1)(1)().2 12112422u50、uxxcc 11 2(1arctan1).xxeec 2(arctan ).uuc 整理课件返回(ln )( )( ),.fxF xf xdxx 设设求求1 ln,uxxududx xe 解解 设设则则( )( )(ln ).f u duF ucFxc 原原式式21dxxx 212 ,xxududx xu 解解 设设则则2122arcsin1 2arcsinduucuxc 原原式式211()dxxx 整理课件返回2(arctan )?1fxdxx 21 arctan,1xududxx 解 设则解 设则( )fu du 原原式式( )(arctan ).f ucfxc 2(arctan ):(a51、rctan ),1 (arctan ).fxfxududxxduucfxc 法法二二 设设则则原原式式整理课件凑微分凑微分整理课件1125dxx 例例 12511(25 )525dxxdxx duu 151CxCu 525252xu52 令令解解向哪个积分公式凑向哪个积分公式凑 ？cuduu 21返回112(25 )111(25 )1552512xdxcx 原原式式整理课件2 tan xdx 例例xdxxdxxxdxxsincos1cossintan duu 1CxCu coslnlnux cos令令解解 ., ().熟练后中间步骤可以省略 注意换元后 积熟练后中间步骤可以省略 注意换元后 积52、分是对微分内变量所作 故只要对微分内变分是对微分内变量所作 故只要对微分内变量 外函数 使用积分公式即可量 外函数 使用积分公式即可返回整理课件 xdxxdx32sin)2(;sin)1(3例例dxxxdx 22cos1sin) 1 (2cxx 2sin412解解 )2(2cos4121xxddx xdxx sinsin2 xdx3sin)2( )(cos)cos1 (2xdxCxx 3cos31cos外函数余弦外函数余弦外函数平方外函数平方返回整理课件 222222)3(;)2(;)1(4axdxxadxaxdx例例 )(1)()1(2222axaaxadaxdxcaxa arctan1解解53、 )1 (222axadxcaxaxdax arcsin)()(112 22)2(xadx返回整理课件 22)3(axdx)(1)(121axdaxaxdaxa dxaxaxa)11(21 CaxaxaCaxaxa ln21)ln(ln21返回整理课件Caxaxaaxdx ln21)13(22Caxaaxdx arctan1)11(22Caxxadx arcsin)12(22 三个积分公式三个积分公式返回整理课件 xxdx15例例 xxd12原原式式 xxd1)1(2Cx 14解解返回整理课件dxxx 4cos42sin6例例42sincos4cosxxdxx 原式原式2221(cos)4(c54、os)dxx Cx )2cosarcsin(2解解返回整理课件 xedx17例例11xdxe dxeedxxx 1 xxeedx1)1(解解Cexx )1ln(返回11xxxeedxe 1: 1 11 (1)1 ln(1)xxxxxxdxeedxed eeec 法二法二(1)11 ()1xxxxxxedxeedeee 原式原式整理课件 xdxcos8例例 xxddxxxdxx22sin1)(sincoscoscos1Cxx sin1sin1ln21Cxx cossin1ln解解Cxx tansecln返回整理课件)ln1 (ln112lnln1xdxx 原原式式dxxxx ln12ln9例例)55、ln1()ln1(21xdx 解解)ln1()ln1()12(ln21xdx Cxx 2123)ln1)(12(ln2)ln1(32返回整理课件dxxexxx )1()1(10例例dxxexeexxxx )1 () 1(原原式式)()1()1(xxxxxxedxexexexe )1 ()(xxxxexexedCxexexx 1ln解解返回整理课件?)sin(cos22 xxdx练练习习?1143 dxxxx练练习习Cxx 42121arcsin21Cx tan11?)1(342 xxdx练练习习 222121121xdxxdxxdx返回整理课件?32324 dxxx练练习习?152 dxxxx56、练练习习?1162 dxex练练习习dxxxdxxdxxx 222)3(439429432xdxxdxxdxxxx 1)1(222 dxeedxexxx)1(2返回整理课件返回32313sin(1cos) cos (coscos).xdxx dxxxc 2222cos1secsincos1sin11sin(1sin ) ln2ln21sincos ln sectan.xxdxdxdxxxxccxxxxc sin22sinsinsincos1sin1x uxxudxdxduxxu 整理课件返回42141142311428sin(1cos2 ) 12cos2(1cos4 ) (sin2sin4 )57、.xdxxdxxx dxxxxc 2121122cos(1cos2 ) (sin2 ).xdxx dxxxc 22214111884sincossin 2 (1cos4 )(sin4 ).xxdxxdxx dxxxc 整理课件返回第二类换元第二类换元整理课件返回628 1 ttt 64tt 6t4t 86tt 4t2t 42tt 2t1 21tttttt b ac bcabc aabccbb 有有整理课件)0(122 adxxaI求求例例解解taxsin 令令)22( ttatatataxacoscoscossin12222 tdtaI22cos dtta22cos158、2Ctta )2sin21(22返回整理课件改改写写为为将将为为了了作作变变量量回回代代I,CtttaI )cossin(22直直角角三三角角形形作作一一个个根根据据代代换换函函数数,sintax xta22xa dxxaI22Cxaxaxa 2222arcsin2返回整理课件22(0)dxIaax 2 tan(t)sec22xatdxatdt 解解 设设，则则21secsecsecIatdttdtat txa22ax 返回221ln()xaxC ln(sectan )ttC 整理课件返回22(0)dxIaxa sec(0t),sec tan2xatdxattdt 解解 设设CaxxI 22l59、nuxax 先先令令时时当当,sec tansectanattIdttdtat ln sectanttc txa22xa 整理课件返回222(0)dxIaxax sin ,cosxatdxatdt 解解 设设则则2222cos1=cscsincosatdtItdtat ata 21cottca txa22ax 222axca x 整理课件返回232xIdxxx 2 ,12sin4(1)xdxIxux 解设解设2sin12cos2cos (2sin1)uIuduuudu 2cosuuc 2132arcsin.2xxxc u1x 2224(1)32xxx 整理课件22(0)dxIaxa 例例 计计60、算算)t0( chtax令令221+ ln()Iashtdtdttcashtxaxcaa shsh,ch,th22chxxxxeeeexxxxx2222chsh1, 1th1/chxxxx 双双曲曲代代换换22= ch (0), ln()xaxaax attt 则则返回整理课件5?(23)dxIxx 例例如如：求求211 ,xdxdttt 解解 设设则则65525111( )235 23tIdtd tttt 211,xdxdttt 倒倒代代换换5551112 3ln23ln5210 xtccx 1()nnndxtdtx axbabt 232212xdxdxtdtxabxaxbabt 返回整理课}