[Section 1] Z 变换的定义" 直接定义X\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n} " 拉普拉斯变换到 Z 变换x_{s}\left(nT_{s}\right)=x\left(t\right)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT_{s}\right)=\sum_{n}x\left(nT_{s}\right)\delta\left(t-nT_{s}\right) " 满足绝对可和的情况下，积分和求和可以交换顺序\begin{align} X\left(s\right)&=\int_{-\infty}^{\infty}x_{s}\left(nT_{s}\right)e^{-st}dt \cr &=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\sum_{n}x\left(nT_{s}\right)\delta\left(t-nT_{s}\right)\right]e^{-st}dt \cr &=\sum_{n}x\left(nT_{s}\right)\int_{-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT_{s}\right)e^{-st}dt \cr &=\sum_{n}x\left(nT_{s}\right)e^{-s\left(nT_{s}\right)} \cr z&=e^{-sT_{s}} \end{align}
" 归一化 T_{s} 后得到关于复变量 z 的函数X\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n} " 因果性信号及因果系统的抽样响应 h\left(n\right) 在 n<0 时恒为零，因此实际的物理信号对应的都是单边 Z 变换X\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n} " 拉普拉斯复变量s=\sigma+j\Omega,\ \ \ \ \Omega=2\pi f " Z 变换复变量z=e^{sT_{s}}=e^{\left(\sigma+j\Omega\right)T_{s}}=e^{\sigma T_{s}}e^{j\Omega T_{s}} " 连续系统及连续信号的角频率 \Omega （单位 \text{rad/s} ），离散系统和离散信号的圆周频率 \omega （单位 \text{rad} ）\begin{cases} r=e^{\sigma T_{s}} &
\cr \omega =\Omega T_{s} \end{cases}
\quad \Rightarrow \quad z=re^{j\omega } X\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)\left(re^{j\omega }\right)^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[x\left(n\right)r^{-n}\right]e^{-j\omega n} " 上式说明只要 x\left(n\right)r^{-n} 符合绝对可和的收敛条件，即\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x\left(n\right)r^{-n}\right|<\infty " 则 x\left(n\right) 的 Z 变换存在，看作序列乘以实加权序列 r^{-n} 后的傅里叶变换X\left(z\right)=\mathscr{F}\left[x\left(n\right) r^{-n}\right] " 离散序列的傅里叶变换（DTFT）等效于 r=1 时的 Z 变换X\left(z\right)\mid_{z=1e^{j\omega }}=X\left(e^{j\omega }\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)e^{-j\omega n} "
s 平面和 z 平面" s 平面的 j\Omega
轴映射为 z 平面上的单位圆" s 仅在 j\Omega
轴上取值时，拉普拉斯变换演变为傅里叶变换，对应的 z 仅在单位圆上取值X\left(s\right)\mid_{s=j\Omega}=X\left(j\Omega\right)=\int_{-\infty}^{\infty}x\left(t\right)e^{-j\Omega t}dt " \sigma <0 对应 s 平面的左半平面，映射到 z 平面的单位圆内。e^{\sigma T_{s}}=\frac{1}{e^{-\sigma T_{s}}}<1,\quad \sigma<0 " 同理，s 平面的右半平面，映射到 z 平面的单位圆外" 当 f 在 j\Omega
轴上从 -\infty 增加至 +\infty 的过程中，每间隔 f_{s} ，对应的 \omega
从 0 变到 2\pi
，即在单位圆上绕了一周。所以由 s平面到 z 平面的映射不是单一的，这就是离散信号的傅里叶变换是周期的根本原因。\omega=\Omega T_{s}=\left(\frac{f}{f_{s}}\right)2\pi " 上式还表明 \omega
的单位是 \text{rad} 。定义归一化频率，或相对频率f^{'}=\frac{f}{f_{s}} \omega=2\pi f^{'} 频率轴定标[Section 2] Z 变换的收敛域" Z 变换是 z^{-1} 的幂级数，即复变函数中的洛朗（Laurent）级数，该级数的系数就是 x\left(n\right) 本身。X\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n} " 对于级数，总有一个收敛问题\left|X\left(z\right)\right|=\left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n}\right|\le\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x\left(n\right)z^{-n}\right|<\infty " 使 Z 变换收敛的 z 的取值的集合称为 X\left(z\right) 的收敛域：ROC（region of convergence）" r>1 时， r^{-n} 是衰减的； r<1 时， r^{-n} 是增长的。因此，对给定的序列 x\left(n\right) ，将会存在一个极坐标形式 z 的 r 值，使 X\left(z\right) 收敛或发散z=re^{j\omega } \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x\left(n\right)z^{-n}\right|=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x\left(n\right)r^{-n}\right|<\infty "
r 是 z 的模，因此 X\left(z\right) 的收敛域将是 z 平面上一个圆的内部或外部，即R_{-}<\left|z\right|<R_{+} " R_{-} 是ROC的内半径， R_{+} 是ROC的外半径。推导：这是一个洛朗级数，其Taylor级数形式的部分的收敛域为：离展开点 z_{0} 最近的奇点 p 的长度做半径的解析圆内，洛朗级数的主部做变量代换也可转为Taylor形式\left|z-z_{0}\right|<\left|p-z_{0}\right|=R_{+} z_{0}=0,\quad t=\frac{1}{\left(z-z_{0}\right)}=\frac{1}{\left(z-0\right)}=\frac{1}{z} \begin{align} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n}&=\left[\sum_{n=-\infty}^{0}x\left(n\right)\left(z-0\right)^{-n}\right]+\left[\sum_{n=1}^{\infty}x\left(n\right)\left(z-0\right)^{-n}\right] \cr &=\left[\sum_{m=\infty}^{0}x\left(-m\right)\left(z-0\right)^{m}\right]+\left[\sum_{n=1}^{\infty}x\left(n\right)\left(t-0\right)^{n}\right] \end{align}
\left|z-0\right|<R_{+} \left|t-0\right|<R_{-}\quad :\quad \left|\frac{1}{t-0}\right|>R_{-}\quad :\quad \left|z-0\right|>R_{-} R_{-}<\left|z\right|<R_{+} "" 衰减或增长的指数序列的ROCX\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a^{n}u\left(n\right)z^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(az^{-1}\right)^{n} " ROC\left|\sum_{n=0}^{\infty}\left(az^{-1}\right)^{n}\right|<\infty \left|az^{-1}\right|<1 \left|a\right|\left|z^{-1}\right|\left|z\right|<\left|z\right
\left|a\right|<\left|z\right
\left|a\right|<\left|z\right|<\infty " 收敛时的情况X\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(az^{-1}\right)^{n}=\frac{1-\left(az^{-1}\right)^{\left(\infty+1\right)}}{1-az^{-1}}=\frac{1}{1-az^{-1}}=\frac{z}{z-a} " 可视化（ROC区域结果一致，奇点处的实际函数值，与收敛和函数的值不同）%% 指数增长序列的ROC（ROC区域结果一致，奇点处的实际函数值，与收敛和函数的值不同）
a = 1.1;
N = 100;
% 指数增长序列
xn = a.^(0:N-1);
subplot(211); stem(xn); grid on; title(sprintf('指数增长序列,a=%0.2f', a));
% Z变换
r = linspace(-2*a, 2*a, 100);
w = linspace(-pi, pi, 100);
Xz = zeros(100);
Xz_converge = zeros(100);
for row = 1 : 100
for col = 1 : 100
z = r(row) + 1j*w(col);
Xz(row, col) = sum((a*z^(-1)).^(0:N-1));
Xz_converge(row, col) = 1/(1-(a*z^(-1))); % ROC内结果一致
end
end
subplot(223); surf(r, w, db(Xz'));
xlabel('r'); ylabel('\omega'); zlabel('db(Xz)');
subplot(224); surf(r, w, db(Xz_converge'));
xlabel('r'); ylabel('\omega'); zlabel('db(Xz_converge)');" 极点z=a " 如果 \left|a\right|>1 ，则收敛域在单位圆外。由于收敛域没有包括单位圆，因此序列的傅里叶变换不存在"" 左边指数序列的ROCu\left(-n-1\right)=\begin{cases} 1, & \quad n\le-1 \cr 0, & \quad n\ge0 \end{cases}
x\left(n\right)=-a^{n}u\left(-n-1\right) \begin{align} X\left(z\right)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n} \cr &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}-a^{n}u\left(-n-1\right)z^{-n} \cr &=-\sum_{n=-\infty}^{-1}a^{n}z^{-n} \cr &=1-\sum_{n=0}^{\infty}\left(a^{-1}z\right)^{n} \cr \left|a^{-1}z\right|&<1 \cr \left|a\right|\left|a^{-1}\right|\left|z\right|&<\left|a\right
\cr \left|z\right|&<\left|a\right
\cr X\left(z\right)&=1-\sum_{n=0}^{\infty}\left(a^{-1}z\right)^{n} \cr &=1-\frac{1-\left(a^{-1}z\right)^{\left(\infty+1\right)}}{1-a^{-1}z} \cr &=1-\frac{1}{1-a^{-1}z} \cr &=\frac{a^{-1}z}{1-a^{-1}z} \cr &=\frac{z}{z-a} \end{align}
" 和上例比较，不同的 x\left(n\right) 具有相同的 Z 变换，但是ROC不同"" 单位阶跃序列的ROCx\left(n\right)=u\left(n\right) X\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}1z^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(1z^{-1}\right)^{n}=\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1} " ROC\left|1z^{-1}\right|<1 \left|z^{-1}\right|\left|z\right|<\left|z\right
1<\left|z\right
" 不包含单位圆，傅里叶变换不存在。实际上，单位阶跃序列不是绝对可和的\left|\sum_{n=0}^{\infty}u\left(n\right)z^{-n}\right|_{z=e^{j\omega}}=\left|\sum_{n=0}^{\infty}u\left(n\right)e^{-j\omega n}\right|\to \infty " Z 变换收敛的一般情况N_{1}<N_{2} X\left(z\right)=\sum_{n=N_{1}}^{N_{2}}x\left(n\right)z^{-n} "
x\left(n\right) 可以是有限长序列、右边序列、左边序列及双边序列，不同情况下ROC不同"" 有限长序列：" N_{1}\ge0,\ N_{2}>0 z\to 0\quad \Rightarrow\quad X\left(z\right)\to \infty\quad \Rightarrow\quad z>0 " N_{1}< 0,\ N_{2}\le 0\left|z\right|\to \infty\quad \Rightarrow\quad X\left(z\right)\to \infty\quad \Rightarrow\quad \left|z\right|<\infty " N_{1}< 0,\ N_{2}>0z\to 0\quad \Rightarrow\quad X\left(z\right)\to \infty\quad \Rightarrow\quad z>0 \left|z\right|\to \infty\quad \Rightarrow\quad X\left(z\right)\to \infty\quad \Rightarrow\quad \left|z\right|<\infty 0<\left|z\right|<\infty "" 右边序列：" 因果序列N_{1}\ge0,\ N_{2}=\infty " 洛朗级数的主部，变量代换转为Taylor形式，可得收敛域为某一半径（ R_{x} ）为圆的圆外部分（参考 [Section 2] Z 变换的收敛域 的开始部分“级数的收敛域”内容）R_{x}<\left|z\right|<\infty " 非因果序列N_{1}<0,\ N_{2}=\infty " 洛朗级数的主部和Taylor部分都有，环形域R_{x}<\left|z\right|<\infty "" 左边序列X\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{N_{2}}x\left(n\right)z^{-n},\quad N_{1}=-\infty,\quad N_{2} " 作一变量置换，得X\left(z\right)=\sum_{n=-N_{2}}^{\infty}x\left(-n\right)z^{n} " 如果 N_{2}>0 ，则ROC不包括原点，即0<\left|z\right|<R_{x} " 如果 N_{2}\le 0 ，则ROC包括原点，即\left|z\right|<R_{x} "" 双边序列N_{1}=-\infty,\ N_{2}=\infty X\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{-1}x\left(n\right)z^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n} " 双边序列的收敛域是使上式中两个级数都收敛的公共部分，如果该公共部分存在，则它一定是一个环域，即R_{x_{1}}<\left|z\right|<R_{x_{2}} " 如果公共部分不存在，那么 X\left(z\right) 就不收敛"" 三点平均器的单位抽样响应的ROC（不包含原点的整个 z 平面）h\left(0\right)=b\left(0\right),\ h\left(1\right)=b\left(1\right),\ h\left(2\right)=b\left(2\right) H\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}h\left(n\right)z^{-n}=b\left(0\right)z^{0}+b\left(1\right)z^{-1}+b\left(2\right)z^{-2}=\frac{b\left(0\right)z^{2}+b\left(1\right)z+b\left(2\right)}{z^{2}} " ROC\left|z\right|>0 "" 求双边指数序列的ROC（圆环）x\left(n\right)=a^{\left|n\right|} \begin{align} X\left(z\right)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a^{\left|n\right|}z^{-n} \cr &=\sum_{n=-\infty}^{-1}a^{\left|n\right|}z^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}a^{\left|n\right|}z^{-n} \cr &=\sum_{n=-\infty}^{-1}a^{-n}z^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}z^{-n} \cr &=\sum_{n=1}^{\infty}\left(a^{-1}z^{-1}\right)^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}\left(az^{-1}\right)^{n} \cr &=\left(a^{-1}z^{-1}\right)\left(\frac{1-\left(a^{-1}z^{-1}\right)^{\infty}}{1-\left(a^{-1}z^{-1}\right)}\right)+\left(\frac{1-\left(az^{-1}\right)^{\left(\infty+1\right)}}{1-\left(az^{-1}\right)}\right) \end{align}
" ROC\left|az^{-1}\right|<1\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \left|z\right|>a \left|a^{-1}z^{-1}\right|<1\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \left|z\right|<\frac{1}{a} \frac{1}{a}<\left|z\right|<a,\ \ \ \ a<1 ."" 单位抽样函数的Z变换（整个 z 平面）x\left(n\right)=\delta \left(n\right) X\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta \left(n\right)z^{-n}=z^{-\left(0\right)}=1 " ROC：整个 z 平面不同 N_{1},N_{2} 值时 X\left(z\right) 的收敛域"" Z 变换的性质" 1. 线性：ROC为 R_{1} 和 R_{2} 的公共区域" 2. 时移：" 右移，双边 Z 变换\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n-k\right)z^{-n} m=n-k n=m+k \begin{align} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n-k\right)z^{-n}&=\sum_{m=-\infty-k}^{\infty-k}x\left(m\right)z^{-\left(m+k\right)} \cr &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x\left(m\right)z^{-\left(m+k\right)} \cr &=z^{-k}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x\left(m\right)z^{-m} \cr &=z^{-k}X\left(z\right) \end{align}
" 左移，双边 Z 变换\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n+k\right)z^{-n} m=n+k n=m-k \begin{align} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n+k\right)z^{-n}&=\sum_{m=-\infty+k}^{\infty+k}x\left(m\right)z^{-\left(m-k\right)} \cr &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x\left(m\right)z^{-\left(m-k\right)} \cr &=z^{k}\sum_{m=-\infty}^{\infty}x\left(m\right)z^{-m} \cr &=z^{k}X\left(z\right) \end{align}
"" 记单边 Z 变换为X^{+}\left(z\right) " 右移，因果序列（一个LSI系统，如果它在任意时刻（例如 n ）的输出只决定于现在时刻和过去的输入 x\left(n\right),x\left(n-1\right),... 而和将来的输入无关，那么，我们说该系统是因果(causal)系统，否则为非因果系统。可以证明，若系统的单位抽样响应 h\left(n\right) 在 n<0 时恒为零，那么该系统是因果系统。）（因果序列，即序列值在时间零点之前均为零）单边 Z 变换\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}x\left(n-k\right)z^{-n}&=\sum_{m=0-k}^{\infty-k}x\left(m\right)z^{-\left(m+k\right)} \cr &=\sum_{m=-k}^{-1}x\left(m\right)z^{-\left(m+k\right)}+\sum_{m=0}^{\infty}x\left(m\right)z^{-\left(m+k\right)} \cr &=0+z^{-k}\sum_{m=0}^{\infty}x\left(m\right)z^{-m} \cr &=z^{-k}X^{+}\left(z\right) \cr &=z^{-k}X\left(z\right) \end{align}
" 左移，因果序列单边 Z 变换\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}x\left(n+k\right)z^{-n}&=\sum_{m=0+k}^{\infty+k}x\left(m\right)z^{-\left(m-k\right)} \cr &=\sum_{m=0}^{\infty}x\left(m\right)z^{-\left(m-k\right)}-\sum_{m=0}^{k-1}x\left(m\right)z^{-\left(m-k\right)} \cr &=z^{k}\sum_{m=0}^{\infty}x\left(m\right)z^{-m}-z^{k}\sum_{m=0}^{k-1}x\left(m\right)z^{-m} \cr &=z^{k}\left[X^{+}\left(z\right)-\sum_{m=0}^{k-1}x\left(m\right)z^{-m}\right] \cr &\ne z^{k}X\left(z\right) \end{align}
实际应用中，系统输出可以有初始状态，带有初始输出状态的系统的单边 Z 变换（只能从零时刻开始）y\left(-1\right)\ne0,... \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}y\left(n-k\right)z^{-n}&=\sum_{m=0-k}^{\infty-k}y\left(m\right)z^{-\left(m+k\right)} \cr &=z^{-k}\sum_{m=0-k}^{\infty-k}y\left(m\right)z^{-m} \cr &=z^{-k}\left[\sum_{m=-k}^{-1}y\left(m\right)z^{-m}+\sum_{m=0}^{\infty}y\left(m\right)z^{-m}\right] \cr &=\begin{cases} z^{-k}\left[\sum_{m=-k}^{-1}y\left(m\right)z^{-m}+Y\left(z\right)\right], & \quad k>0 \cr Y\left(z\right), & \quad k=0 \end{cases}
\end{align}
" 注意指数符号是反的。一个单位延迟后的 Z 变换\sum_{n=0}^{\infty}y\left(n-1\right)z^{-n}=z^{-1}\left[y\left(-1\right)z^{1}+Y\left(z\right)\right]=y\left(-1\right)+z^{-1}Y\left(z\right) " 两个单位延迟后的 Z 变换\sum_{n=0}^{\infty}y\left(n-2\right)z^{-n}=z^{-2}\left[y\left(-2\right)z^{2}+y\left(-1\right)z^{1}+Y\left(z\right)\right]=y\left(-2\right)+y\left(-1\right)z^{-1}+z^{-2}Y\left(z\right) " 依次类推" 实际工作中所遇到的信号大部分是因果的，因此移位性质是最常用的" 单位延迟\sum_{n=0}^{\infty}x\left(n-k\right)z^{-n}\mid_{k=1}\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ z^{-k}X\left(z\right)\mid_{k=1}\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ z^{-1}X\left(z\right) " 多个单位延迟\sum_{n=0}^{\infty}x\left(n-k\right)z^{-n}\mid_{k=m}\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ z^{-k}X\left(z\right)\mid_{k=m}\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ z^{-m}X\left(z\right) " 3. 指数加权\sum_{n=-\infty}^{\infty}a^{n}x\left(n\right)z^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)\left(a^{-1}z\right)^{-n}=X\left(\frac{z}{a}\right) " ROCR_{1}<\left|z\right|<R_{2}\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \left|a\right|R_{1}<\left|z\right|<\left|a\right|R_{2} " 4. 线性加权\begin{align} \frac{d}{dz}X\left(z\right)&=\frac{d}{dz}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n} \cr &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)\left[-nz^{-n-1}\right] \cr &=-z^{-1}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[nx\left(n\right)\right]z^{-n} \end{align}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[nx\left(n\right)\right]z^{-n}=-z\frac{d}{dz}X\left(z\right) " 5. 时域卷积性质\begin{align} \sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)\ast y\left(n\right)z^{-n}&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\sum_{m=-\infty}^{\infty}x\left(m\right)y\left(n-m\right)\right]z^{-n} \cr &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\sum_{m=-\infty}^{\infty}x\left(m\right)y\left(n-m\right)z^{-n}\right] \cr n-m&=p \cr n&=p+m \cr &=\sum_{p=-\infty-m}^{\infty-m}\left[\sum_{m=-\infty}^{\infty}x\left(m\right)y\left(p\right)z^{-\left(p+m\right)}\right] \cr &=\sum_{p=-\infty}^{\infty}y\left(p\right)z^{-p}\left[\sum_{m=-\infty}^{\infty}x\left(m\right)z^{-m}\right] \cr &=X\left(z\right)Y\left(z\right) \end{align}
"" 求余弦信号的 Z 变换（线性）x\left(n\right)=\cos\left(\omega n\right)u\left(n\right) \begin{align} X\left(z\right)&=\sum_{n=0}^{\infty}\cos\left(\omega n\right)z^{-n} \cr &=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{j\omega n}+e^{-j\omega n}\right)z^{-n} \cr &=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{j\omega}z^{-1}\right)^{n}+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{-j\omega}z^{-1}\right)^{n} \cr &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-e^{j\omega}z^{-1}}+\frac{1}{1-e^{-j\omega}z^{-1}}\right) \cr &=\frac{1}{2}\left(\frac{1-e^{-j\omega}z^{-1}+1-e^{j\omega}z^{-1}}{\left(1-e^{j\omega}z^{-1}\right)\left(1-e^{-j\omega}z^{-1}\right)}\right) \cr &=\frac{1-\cos\left(\omega\right)z^{-1}}{1-2\cos\left(\omega\right)z^{-1}+z^{-2}} \end{align}
\left|e^{j\omega}z^{-1}\right|<1\quad \Rightarrow \quad \left|e^{j\omega}\right|<\left|z\right
\left|e^{-j\omega}z^{-1}\right|<1\quad \Rightarrow \quad \left|e^{-j\omega}\right|<\left|z\right
1<\left|z\right
"" 求余弦信号的 Z 变换（指数加权）0.5^{n}\cos\left(\omega n\right)u\left(n\right) \sum_{n=0}^{\infty}\cos\left(\omega n\right)z^{-n}=\frac{1-\cos\left(\omega\right)z^{-1}}{1-2\cos\left(\omega\right)z^{-1}+z^{-2}} \sum_{n=0}^{\infty}0.5^{n}\cos\left(\omega n\right)u\left(n\right)z^{-n}=\frac{1-\cos\left(\omega\right)\left(\frac{z}{0.5}\right)^{-1}}{1-2\cos\left(\omega\right)\left(\frac{z}{0.5}\right)^{-1}+\left(\frac{z}{0.5}\right)^{-2}}=\frac{1-0.5\cos\left(\omega\right)z^{-1}}{1-\cos\left(\omega\right)z^{-1}+0.25z^{-2}} 一些典型信号的 Z 变换[Section 3] 逆 Z 变换幂级数法（长除法）X\left(z\right)=a_{0}+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+... " 显然，级数的系数 a_{0},a_{1},...,a_{n},... 即要求的序列 x\left(n\right) X\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n}=...+x\left(0\right)z^{-\left(0\right)}+x\left(1\right)z^{-1}+...+x\left(n\right)z^{-n}+... "" 长除法例子：求 x\left(n\right) X\left(z\right)=\frac{z^{2}+z}{z^{3}-3z^{2}+3z-1},\ \ \ \ \left|z\right|>1 " 图解" 根据 [不同 N_{1},N_{2} 值时 X\left(z\right) 的收敛域]，这是一个右边序列。长除法步骤：\frac{z^{2}+z}{z^{3}-3z^{2}+3z-1}\to
\begin{align} \left(z^{2}+z\right)-\left(z^{3}-3z^{2}+3z-1\right)\cdot\left[z^{-1}\right]&=\left(z^{2}+z\right)-\left(z^{2}-3z+3-z^{-1}\right) \cr &=\left[4z-3+z^{-1}\right] \end{align}
\frac{4z-3+z^{-1}}{z^{3}-3z^{2}+3z-1}\to
\begin{align} \left(4z-3+z^{-1}\right)-\left(z^{3}-3z^{2}+3z-1\right)\cdot\left[4z^{-2}\right]&=\left(4z-3+z^{-1}\right)-\left(4z-12+12z^{-1}-4z^{-2}\right) \cr &=\left[9-11z^{-1}+4z^{-2}\right] \end{align}
\frac{9-11z^{-1}+4z^{-2}}{z^{3}-3z^{2}+3z-1}\to
\begin{align} \left(9-11z^{-1}+4z^{-2}\right)-\left(z^{3}-3z^{2}+3z-1\right)\cdot\left[9z^{-3}\right]&=\left(9-11z^{-1}+4z^{-2}\right)-\left(9-27z^{-1}+27z^{-2}-9z^{-3}\right) \cr &=\left[16z^{-1}-23z^{-2}+9z^{-3}\right] \end{align}
\frac{16z^{-1}-23z^{-2}+9z^{-3}}{z^{3}-3z^{2}+3z-1}\to
... " 长除法展开后的 a_{0}+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+... 形式为X\left(z\right)=z^{-1}+4z^{-2}+9z^{-3}+... " 对应的序列为x\left(n\right)=n^{2}u\left(n\right) " 其 Z 变换为\left|z\right|>1,\sum_{n=-\infty}^{\infty}n^{2}u\left(n\right)z^{-n}=\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}z^{-n}=1^{2}z^{-1}+2^{2}z^{-2}+3^{2}z^{-3}+... 部分分式公式"" 一阶极点\frac{1}{\left(z-a\right)\left(z-b\right)}=\frac{A}{\left(z-a\right)}+\frac{B}{\left(z-b\right)} " multiply denominator1=A\left(z-b\right)+\left(z-a\right)B " let
A
disappearz=b 1=A\left(z-b\right)+\left(z-a\right)B=A\left(b-b\right)+\left(b-a\right)B=\left(b-a\right)B B=\frac{1}{b-a} " let
B
disappearz=a 1=A\left(z-b\right)+\left(z-a\right)B=A\left(a-b\right)+\left(a-a\right)B=A\left(a-b\right) A=\frac{1}{a-b} "" 高阶极点X\left(z\right)=\frac{1}{\left(z-a\right)\left(z-b\right)^{2}}=\frac{A}{\left(z-a\right)}+\frac{B}{\left(z-b\right)}+\frac{C}{\left(z-b\right)^{2}} " let
A,C
disappearX\left(z\right)\cdot\left(z-b\right)^{2}=\left(\frac{A}{\left(z-a\right)}+\frac{B}{\left(z-b\right)}+\frac{C}{\left(z-b\right)^{2}}\right)\cdot\left(z-b\right)^{2} \frac{d}{dz}\left[X\left(z\right)\cdot\left(z-b\right)^{2}\right]=\frac{d}{dz}\left[A\frac{\left(z-b\right)^{2}}{\left(z-a\right)}+B\left(z-b\right)+C\right] \frac{d}{dz}\left[X\left(z\right)\cdot\left(z-b\right)^{2}\right]=\left[A\left(z-b\right)\left(...\right)+B\right] \frac{d}{dz}\left[X\left(z\right)\cdot\left(z-b\right)^{2}\right]\mid_{z=b}=\left[A\left(z-b\right)\left(...\right)+B\right]\mid_{z=b}=B " let
B,C
disappearX\left(z\right)\cdot\left(z-a\right)=\left(\frac{A}{\left(z-a\right)}+\frac{B}{\left(z-b\right)}+\frac{C}{\left(z-b\right)^{2}}\right)\cdot\left(z-a\right) X\left(z\right)\cdot\left(z-a\right)=\left(A+B\frac{\left(z-a\right)}{\left(z-b\right)}+C\frac{\left(z-a\right)}{\left(z-b\right)^{2}}\right) X\left(z\right)\cdot\left(z-a\right)\mid_{z=a}=\left(A+B\frac{\left(z-a\right)}{\left(z-b\right)}+C\frac{\left(z-a\right)}{\left(z-b\right)^{2}}\right)\mid_{z=a}=A "" 高阶零点Y\left(z\right)=\frac{z^{n}}{\left(z-a\right)\left(z-b\right)} " hold one
z
for inverse transform later\frac{Y\left(z\right)}{z}=\frac{z^{\left(n-1\right)}}{\left(z-a\right)\left(z-b\right)}=\frac{A}{\left(z-a\right)}+\frac{B}{\left(z-b\right)} \begin{align} A&=\left[A+B\frac{\left(z-a\right)}{\left(z-b\right)}\right]\mid_{z=a} \cr &=\left[\left(\frac{A}{\left(z-a\right)}+\frac{B}{\left(z-b\right)}\right)\cdot\left(z-a\right)\right]\mid_{z=a} \cr &=\left[\frac{Y\left(z\right)}{z}\cdot\left(z-a\right)\right]\mid_{z=a} \cr &=\left[\frac{z^{\left(n-1\right)}}{\left(z-a\right)\left(z-b\right)}\cdot\left(z-a\right)\right]\mid_{z=a} \cr &=\left[\frac{z^{\left(n-1\right)}}{\left(z-b\right)}\right]\mid_{z=a} \cr &=C_{A} \end{align}
" same as
A B=\left[\frac{z^{\left(n-1\right)}}{\left(z-a\right)\left(z-b\right)}\cdot\left(z-b\right)\right]\mid_{z=b}=C_{B} " back substitution\frac{Y\left(z\right)}{z}=\frac{A}{\left(z-a\right)}+\frac{B}{\left(z-b\right)}=\frac{C_{A}}{\left(z-a\right)}+\frac{C_{B}}{\left(z-b\right)} " recovery the z on numeratorY\left(z\right)=C_{A}\cdot\frac{z}{z-a}+C_{B}\cdot\frac{z}{z-b} " 部分分式在 z 变换中的应用： z 变换的基本形式有\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(n\right)z^{-n}=1 \sum_{n=-\infty}^{\infty}a^{n}z^{-n}=\frac{z}{z-a} \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-an}z^{-n}=\frac{z}{z-e^{-a}} " 因此，在利用部分分式法求 X\left(z\right) 的逆变换时，通常是先对 \frac{X\left(z\right)}{z} 求部分分式，然后将每个分式再乘以 z ，这样，对于一阶极点，可得到 \frac{z}{z-p_{i}} 的形式"" 部分分式法例子：求逆变换X\left(z\right)=\frac{2z^{2}}{\left(z+1\right)\left(z+2\right)^{2}},\quad \left|z\right|>2 " 两侧都除以一个z等待分解完成后再乘回分子\frac{X\left(z\right)}{z}=\frac{2z}{\left(z+1\right)\left(z+2\right)^{2}}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{z+2}+\frac{C}{\left(z+2\right)^{2}} " 代入部分分式公式A=\frac{X\left(z\right)}{z}\cdot\left(z+1\right)\mid_{z=-1}=\frac{2z}{\left(z+1\right)\left(z+2\right)^{2}}\cdot\left(z+1\right)\mid_{z=-1}=-2 B=\frac{d}{dz}\left[\frac{X\left(z\right)}{z}\cdot\left(z+2\right)^{2}\right]\mid_{z=-2}=2 C=\frac{X\left(z\right)}{z}\cdot\left(z+2\right)^{2}\mid_{z=-2}=\frac{2z}{\left(z+1\right)\left(z+2\right)^{2}}\cdot\left(z+2\right)^{2}\mid_{z=-2}=4 " 部分分式形式的 z 域X\left(z\right)=\frac{-2z}{z+1}+\frac{2z}{z+2}+\frac{4z}{\left(z+2\right)^{2}}=\frac{-2z}{z+1}+\frac{2z}{z+2}+\left(-2\right)\frac{\left(-2\right)z}{\left(z+2\right)^{2}} " 逆变换回时域x\left(n\right)=\left[-2\left(-1\right)^{n}\right]u\left(n\right)+\left[2\left(-2\right)^{n}\right]u\left(n\right)+\left[\left(-2\right)n\left(-2\right)^{n}\right]u\left(n\right) 留数法（时域信号===>频域的复变函数闭路积分）（频域的复变函数闭路积分===>逆 z 变换）x\left(n\right)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X\left(z\right)z^{n-1}dz \frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X\left(z\right)z^{n-1}dz=x\left(n\right) " 由 Z 变换的定义有X\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n} " 对上式两边分别乘以 z^{m-1} ，然后沿一闭合路径 C 作积分，即得\oint_{C}X\left(z\right)z^{m-1}dz=\oint_{C}\left[\sum_{n=0}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n}\right]z^{m-1}dz " 根据复变函数的理论，积分路径 C 应这样选择：由某一点 z_{0} 开始，沿逆时针方向绕原点一周，又回到 z_{0} 点，在整个过程中， X\left(z\right) 的全部极点都应保持在积分路线的左边。" 对个因果性序列，若ROC是 \left|z\right|>R_{x} ，则所有的极点都应位于 \left|z\right|<R_{x} 的圆内，因此，积分路径 C 可选取 R>R_{x} 的圆" 如果保证 \sum_{n=0}^{\infty}\left|x\left(n\right)\right|<\infty ，即序列 x\left(n\right) 是绝对可和的，则上式中的求和与积分可交换次序，即\begin{align} \oint_{C}X\left(z\right)z^{m-1}dz&=\oint_{C}\left[\sum_{n=0}^{\infty}x\left(n\right)z^{-n}\right]z^{m-1}dz \cr &=\sum_{n=0}^{\infty}x\left(n\right)\oint_{C}z^{-n+m-1}dz \cr z&=Re^{j\theta} \cr \frac{dz}{d\theta}&=jRe^{j\theta} \cr &=\sum_{n=0}^{\infty}x\left(n\right)\oint_{C}\left(Re^{j\theta}\right)^{-n+m-1}dz \cr &=\sum_{n=0}^{\infty}x\left(n\right)jR^{m-n}\int_{-\pi}^{\pi}e^{j\left(m-n\right)\theta}d\theta \cr &=\begin{cases} j2\pi x\left(m\right), & \quad n=m \cr 0, & \quad n\neq m \end{cases}
\end{align}
x\left(n\right)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X\left(z\right)z^{n-1}dz " 由于积分路径 C 包围了 X\left(z\right) 的所有极点，所以可用复变函数中的留数法x\left(n\right)=\sum_{m}^{ }\left[X\left(z\right)z^{n-1}\text{在路径}C\text{内部极点的留数}\right] " 式中 m 为在路径 C 内部的极点数。上式可简记为x\left(n\right)=\sum_{m}\operatorname{res}\left[X\left(z\right)z^{n-1}\right]\mid_{z=z_{m}} " 如果 X\left(z\right)z^{n-1} 在 z=z_{m} 处有 k 阶重极点，则其留数由高阶导公式获得\operatorname{res}\left[X\left(z\right)z^{n-1}\right]\mid_{z=z_{m}}=\frac{1}{\left(k-1\right)!}\left\{\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\left[\left(z-z_{m}\right)^{k}X\left(z\right)z^{n-1}\right]\right\}_{z=z_{m}} " 若 k=1 ，即一阶极点，上式可简化为\operatorname{res}\left[X\left(z\right)z^{n-1}\right]\mid_{z=z_{m}}=\left[\left(z-z_{m}\right)^{k}X\left(z\right)z^{n-1}\right]\mid_{z=z_{m}} " 使用上述两式时要注意，一定要求出 X\left(z\right)z^{n-1} 所有可能的极点处的留数。当 n 取不同值时，在 z=0 处的极点可能会有不同的阶次。"" 留数法例子：求逆变换X\left(z\right)=\frac{1}{\left(z-1\right)\left(z-0.6\right)},\quad \left|z\right|>1 x\left(n\right)=\sum_{ }\operatorname{res}\left[X\left(z\right)z^{n-1}\right]=\sum_{ }\operatorname{res}\left[\frac{z^{n-1}}{\left(z-1\right)\left(z-0.6\right)}\right] " n=0 时\frac{z^{n-1}}{\left(z-1\right)\left(z-0.6\right)}\mid_{n=0}=\frac{z^{0-1}}{\left(z-1\right)\left(z-0.6\right)}=\frac{1}{z\left(z-1\right)\left(z-0.6\right)} " X\left(z\right)z^{n-1} 有 3 个极点，即 z=0,z=1,z=0.6 ，所以x\left(0\right)=\frac{1}{\left(z-1\right)\left(z-0.6\right)}\mid_{z=0}+\frac{1}{z\left(z-0.6\right)}\mid_{z=1}+\frac{1}{z\left(z-1\right)}\mid_{z=0.6}=0 " n\ge1 时， X\left(z\right)z^{n-1} 有两个极点x\left(n\right)=\frac{z^{n-1}}{z-0.6}\mid_{z=1}+\frac{z^{n-1}}{z-1}\mid_{z=0.6}=2.5-2.5\cdot0.6^{\left(n-1\right)} \lim_{n\to \infty}x\left(n\right)=\lim_{n\to \infty}\left(2.5-2.5\cdot0.6^{\left(n-1\right)}\right)=2.5 " 即x\left(n\right)=\begin{cases} 0, & \quad n=0 \cr 2.5\left(1-0.6^{n-1}\right), & \quad n\ge1 \end{cases}
" 图像，抽样后得到右边序列"" 时域相乘对应复频域卷积x_{3}\left(n\right)=x_{1}\left(n\right)x_{2}\left(n\right) X_{3}\left(z\right)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X_{1}\left(v\right)X_{2}\left(\frac{z}{v}\right)v^{-1}dv " 对序列进行变换，并代入留数公式\begin{align} X_{3}\left(z\right)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_{3}\left(n\right)z^{-n} \cr &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_{1}\left(n\right)x_{2}\left(n\right)z^{-n} \cr &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X_{1}\left(v\right)v^{\left(n-1\right)}dv\right]x_{2}\left(n\right)z^{-n} \cr &=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X_{1}\left(v\right)\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_{2}\left(n\right)\left(\frac{z}{v}\right)^{-n}\right]v^{-1}dv \cr &=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X_{1}\left(v\right)X_{2}\left(\frac{z}{v}\right)v^{-1}dv \end{align} [Section 4] LSI系统的转移函数" 4种不同的描述线性移不变离散时间系统的方法(1)频率响应(2)转移函数(3)差分方程：系统输出可以有初始条件 y\left(-1\right)\ne0,... (4)卷积关系" 对差分方程两侧取 Z 变换\sum_{k=0}^{N}a\left(k\right)y\left(n-k\right)=\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)x\left(n-r\right) Y\left(z\right)\sum_{k=0}^{N}a\left(k\right)z^{\left(-k\right)}=X\left(z\right)\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)z^{\left(-r\right)} " 根据 Z 变换的卷积性质Y\left(z\right)=X\left(z\right)H\left(z\right) 系统的转移函数。它既是系统输出、输入 Z 变换之比，也是是系统单位抽样响应 h\left(n\right) 的 Z 变换H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}=\frac{\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)z^{\left(-r\right)}}{\sum_{k=0}^{N}a\left(k\right)z^{\left(-k\right)}} H\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h\left(n\right)z^{-n} " 对一个LSI系统，给定其转移函数，我们可以求出其差分方程，反之，给定差分方程，也可求出其转移函数。一个是时域的表示，另一个是复频域( z 域)的表示。" FIR系统：系统单位抽样响应为有限长，输入端不包含输出端的反馈，总是稳定的b\left(0\right)=1,\ a\left(k\right)=0,\quad k=1,2,...,N H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}=\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)z^{\left(-r\right)} y\left(n\right)=\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)x\left(n-r\right) h\left(n\right)=\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)\delta \left(n-r\right) " IIR系统：输入端包含输出端的反馈，需要考虑稳定问题\text{Exist}\ a\left(k\right)\neq 0 "" 系统的极零分析" 对转移函数的分子、分母多项式分别作因式分解，得H\left(z\right)=gz^{N-M}\left(\frac{\prod_{r=1}^{M}z-z_{r}}{\prod_{k=1}^{N}z-p_{k}}\right) " 式中 g 称为系统的增益因子，在本式中g=b\left(0\right) " 使分母多项式等于零的 z 值，即称为系统的极点，同理，使分子多项式为零的 z 值，称为系统的零点。"" matlab因式分解求根（零点）%% 因式分解求根（零点）
syms z; d = (z-1)*(z-0.6), d_ex = expand(d), d_coef = coeffs(d_ex, 'z', 'All'), d_roots = roots(d_coef)
>>
d =
(z - 1)*(z - 3/5)
d_ex =
z^2 - (8*z)/5 + 3/5
d_coef =
[3/5, -8/5, 1]
d_roots =
1
5/3系统稳定性判据2：一个LSI系统稳定的充要条件是其所有的极点都位于单位圆内。H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}=\frac{\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)z^{\left(-r\right)}}{\sum_{k=0}^{N}a\left(k\right)z^{\left(-k\right)}}\ \ \ \ ===>\ \ \ \ \sum_{k=1}^{N}\frac{C_{k}z}{z-p_{k}} " 每个因式对应一个时域底为极点值的指数序列\frac{C_{i}z}{z-p_{i}}\quad ===>\quad C_{i}p_{i}^{n} " 因此对应的抽样响应为h\left(n\right)=\sum_{k=1}^{N}C_{k}p_{k}^{n} " 根据系统稳定性判据1：一个LSI系统稳定的充要条件是单位抽样响应绝对可和\sum_{n=0}^{\infty}\left|h\left(n\right)\right|<\infty " 代入\sum_{n=0}^{\infty}\left|\sum_{k=1}^{N}C_{k}p_{k}^{n}\right|<\infty \sum_{n=0}^{\infty}\left|C_{k}\right|\sum_{k=1}^{N}\left|p_{k}^{n}\right|<\infty \sum_{k=1}^{N}\left|p_{k}^{n}\right|<\infty \left|p_{k}\right|<1,\quad k=1,2,...,N " 系统的所有极点模值都小于1：系统的所有极点都位于单位圆内。" 极点是使整个多项式趋于无穷的点，因此我们可得出结论，ROC内必不含极点。"" 系统的稳定性判据3：一个LSI系统是稳定的充要条件是其收敛域包含单位圆。判据3和判据1是等效的，只不过一个是频域表达，一个是时域表达。而判据2是单独针对因果系统而言的。" LSI与非因果的情况下的稳定性的判据稍有变化h_{1}\left(n\right)=0.8^{n}u\left(n\right)+1.25^{n}u\left(n\right) h_{2}\left(n\right)=0.8^{n}u\left(n\right)-1.25^{n}u\left(-n-1\right) h_{3}\left(n\right)=-0.8^{n}u\left(-n-1\right)-1.25^{n}u\left(-n-1\right) h_{4}\left(n\right)=-0.8^{n}u\left(-n-1\right)+1.25^{n}u\left(n\right) " 前三个系统具有相同的转移函数，但是ROC不同H_{1}\left(z\right)=H_{2}\left(z\right)=H_{3}\left(z\right)=\frac{z}{z-0.8}+\frac{z}{z-1.25} " 系统一为右边序列，单位圆外包含一个极点，系统不稳定\left|z\right|>0.8,\ \left|z\right|>1.25\quad ===>\quad \left|z\right|>1 " 系统二的ROC为环形区域，\left|z\right|>0.8,\ \left|z\right|<1.25 " 系统可以包含将来的输入，是非因果的，虽然有一个极点在单位圆外，但是依然稳定n>0\ :\ \lim_{n\to \infty}h_{2}\left(n\right)=\lim_{n\to \infty}0.8^{n}u\left(n\right)=0 n<0:\ \lim_{n\to -\infty}h_{2}\left(n\right)=\lim_{n\to -\infty}-1.25^{n}u\left(-n-1\right)=0 " 系统三非因果，不稳定\left|z\right|<0.8,\ \left|z\right|<1.25\quad ===>\quad \left|z\right|<0.8 n<0:\ \lim_{n\to -\infty}h_{3}\left(n\right)=\lim_{n\to -\infty}-0.8^{n}u\left(-n-1\right)-1.25^{n}u\left(-n-1\right)=0 " 系统四ROC为空，不稳定\left|z\right|<0.8,\ \left|z\right|>1.25\quad ===>\quad \emptyset n>0\ :\ \lim_{n\to \infty}h_{4}\left(n\right)=\lim_{n\to \infty}1.25^{n}u\left(n\right)=\infty n<0:\ \lim_{n\to -\infty}h_{4}\left(n\right)=\lim_{n\to -\infty}-0.8^{n}u\left(-n-1\right)=\infty " 四个系统中，只有系统二包含单位圆，系统稳定。极零图估计系统的频率响应，还可以得出滤波器设计的一般原则" 极零图估计系统的频率响应：单位圆旋转取值\left|H\left(e^{j\omega}\right)\right|=\frac{\left|g\right|\prod_{r=1}^{M}\left|e^{j\omega}-z_{r}\right|}{\prod_{k=1}^{N}\left|e^{j\omega}-p_{k}\right|} \varphi\left(H\left(e^{j\omega}\right)\right)=\operatorname{arg}\left[e^{j\left(N-M\right)\omega}\right]+\sum_{r=1}^{M}\operatorname{arg}\left[e^{j\omega}-z_{r}\right]-\sum_{k=1}^{N}\operatorname{arg}\left[e^{j\omega}-p_{k}\right] " 推导过程H\left(z\right)=gz^{N-M}\left(\frac{\prod_{r=1}^{M}z-z_{r}}{\prod_{k=1}^{N}z-p_{k}}\right) " 单位圆上取值z=e^{j\omega} H\left(e^{j\omega}\right)=ge^{j\left(N-M\right)\omega}\left(\frac{\prod_{r=1}^{M}e^{j\omega}-z_{r}}{\prod_{k=1}^{N}e^{j\omega}-p_{k}}\right) " 根据复数除法，模值除模值，相位减相位（complex_variables_functions - Jupyter Notebook.pdf）" 将复数看作复向量： e^{j\omega}-z_{r} 表示零点到单位圆动点 e^{j\omega} 的复向量，e^{j\omega}-p_{k} 表示极点到单位圆动点 e^{j\omega} 的复向量。然后沿着单位圆旋转\left|H\left(e^{j\omega}\right)\right|=\frac{\left|g\right|\prod_{r=1}^{M}\left|e^{j\omega}-z_{r}\right|}{\prod_{k=1}^{N}\left|e^{j\omega}-p_{k}\right|} \varphi\left(H\left(e^{j\omega}\right)\right)=\operatorname{arg}\left[e^{j\left(N-M\right)\omega}\right]+\sum_{r=1}^{M}\operatorname{arg}\left[e^{j\omega}-z_{r}\right]-\sum_{k=1}^{N}\operatorname{arg}\left[e^{j\omega}-p_{k}\right] "" 极零图估计系统的频率响应例子（高阶重极零点需要连乘和连加多次）y\left(n\right)=x\left(n\right)-4x\left(n-1\right)+4x\left(n-2\right) H\left(z\right)=1-4z^{-1}+4z^{-2}=\frac{z^{2}-4z+4}{z^{2}}=\frac{\left(z-2\right)\left(z-2\right)}{\left(z-0\right)\left(z-0\right)} " 有一个二阶重极点 z=0 ，和一个二阶重零点 z=2 ，系统是FIR系统，单位圆取值 z=e^{j\omega} r_{1}=\left|e^{j\omega}-2\right
r_{2}=\left|e^{j\omega}-0\right|=1 \left|H\left(e^{j\omega}\right)\right|=\frac{\left|e^{j\omega}-2\right|\left|e^{j\omega}-2\right|}{\left|e^{j\omega}-0\right|\left|e^{j\omega}-0\right|}=\frac{\left|e^{j\omega}-2\right|^{2}}{1}=\left|e^{j\omega}-2\right|^{2} " 幅频响应在 e^{j\omega}=-1 时取最大值，对应的数字频率为 \pi ，\max\left(\left|H\left(e^{j\omega}\right)\right|\right)=\left|e^{j\omega}-2\right|^{2}\mid_{\omega=\pi}=\left|-1-2\right|^{2}=9 " 在 e^{j\omega}=1 时取最小值，对应的数字频率为 0 ，\min\left(\left|H\left(e^{j\omega}\right)\right|\right)=\left|e^{j\omega}-2\right|^{2}\mid_{\omega=0}=\left|1-2\right|^{2}=1 " 因此根据幅频响应可以估计是一个高通系统。" 计算相频响应\varphi_{1}=\operatorname{arg}\left(e^{j\omega}-2\right),\ \varphi_{2}=\operatorname{arg}\left(e^{j\omega}-0\right) \operatorname{arg}\left(H\left(e^{j\omega}\right)\right)=\varphi_{1}+\varphi_{1}-\varphi_{2}-\varphi_{2} \varphi_{1\mid_{\omega=0}}=\operatorname{arg}\left(e^{j\left(0\right)}-2\right)=\operatorname{arg}\left(-1\right)=\pi \varphi_{2\mid_{\omega=0}}=\operatorname{arg}\left(e^{j\left(0\right)}-0\right)=\operatorname{arg}\left(1\right)=0 \operatorname{arg}\left(H\left(e^{j\omega}\right)\right)\mid_{\omega=0}=\pi+\pi-0-0=2\pi=0 \varphi_{1\mid_{\omega=0.5\pi}}=\operatorname{arg}\left(e^{j\left(0.5\pi\right)}-2\right)=\operatorname{arg}\left(-2+j\right)=0.85\pi \varphi_{2\mid_{\omega=0.5\pi}}=\operatorname{arg}\left(e^{j\left(0.5\pi\right)}-0\right)=0.5\pi \operatorname{arg}\left(H\left(e^{j\omega}\right)\right)\mid_{\omega=0.5\pi}=0.85\pi+0.85\pi-0.5\pi-0.5\pi=0.70\pi " 计算过于繁琐，而且有可能相位变化率过大出现跳周现象，使用计算机辅助计算%% 系统的频率响应
b = [1 -4 4];
% 手动绘图
% 倒数第二个参数表示左右对称的全部频谱
% 导数第一个参数表示归一化频率[0,pi]到[0,1]
[H, w] = freqz(b, 1, 256, 'whole', 1);
Hr = abs(H);
Hphase = unwrap(angle(H));
figure();
subplot(211); plot(w, Hr); grid on;
[v, i] = max(Hr(:));
title(sprintf('最大模值：%0.2f，对应的归一化频率：%0.2f',v,w(i)));
subplot(212); plot(w, Hphase); grid on;
% 自动绘图
figure();
freqz(b, 1, 100); % a = 1
title('归一化的半频谱\omega\in[0,\pi]，另一半可根据对称性得出');"" 相位卷绕/解卷绕" 在计算机上计算相频特性时，要用到反正切函数。atan2函数的返回结果在一、二象限的角度为 0\sim \pi
，而在三、四象限的角度为 0\sim -\pi
。由此，若一个角度从 0 变到 2\pi
，但实际得到的结果是 0\sim \pi
，再由 -\pi \sim 0 ，在 \omega =\pi
处出现了跳变，跳变的幅度为 2\pi
，这种现象称为相位的卷绕(wrapping)。" 为了得到连续的相频曲线，可在发生 2\pi
跳变的以后各处都加上(或减去) 2\pi
，这种做法称为相位的解卷绕(unwrapping)。"" 滤波的基本概念" 在数字信号处理中，如果一个离散时间系统是用来对输人信号做滤波处理，那么，该系统又称为数字滤波器(digital filter，DF)。" 单位圆上取值Y\left(e^{j\omega}\right)=X\left(e^{j\omega}\right)H\left(e^{j\omega}\right) " 截止频率" 模拟滤波器：经典的模拟滤波器（analog filter，AF），其转移函数是 H\left(s\right) 。对AF，我们只能用硬件来实现它,其元件是R,L,C及运算放大器或开关电容等。" 数字滤波器：而对DF，既可以用硬件来实现,又可以用软件来实现。用硬件实现时，所需的器件是延迟器、乘法器和加法器，当我们在通用的计算机上用软件实现时，它就是一段线性卷积的程序。因此，数字滤波器无论在设计上还是实现上都要比模拟滤波器灵活得多。" 线性滤波：用下式滤波的方法称为线性滤波。按其频率特性分，有低通（low-pass，LP）、高通（high-pass，HP）、带通（band-pass，BP）和带阻（band-stop，BS）四种。Y\left(e^{j\omega}\right)=X\left(e^{j\omega}\right)H\left(e^{j\omega}\right) 数字滤波器设计的一般原则" 若使设计的滤波器拒绝某一个频率（即不让该频率的信号通过），应在单位圆上相应的频率处设置一个零点。" 若使滤波器突出某一个频率（使该频率的信号尽量无衰减通过），应在单位圆内相应的频率处设置一极点。极点越接近单位圆，在该频率处幅频响应幅值越大，形状越尖。" 在原点处的极、零点均不影响幅频响，它们仅影响相频响应。"" 零点对幅频响应的影响H_{0}\left(z\right)=a\left(1+z^{-1}\right)=a\left(\frac{z+1}{z}\right) H_{1}\left(z\right)=b\left(1-z^{-1}\right)=b\left(\frac{z-1}{z}\right) H_{2}\left(z\right)=c\left(1-e^{j0.5\pi}z^{-1}\right)\left(1-e^{-j0.5\pi}z^{-1}\right)=c\left(\frac{z-e^{j0.5\pi}}{z}\right)\left(\frac{z-e^{-j0.5\pi}}{z}\right) " 三个系统的零点都位于单位圆上z_{0}=-1,z_{1}=1,z_{2}=e^{\pm j0.5\pi} z\to z_{r}\quad \Rightarrow\quad \left|H\left(z\right)\right|=0 " 系统一的零点对应的频率为 \omega=\pi ，对应最高频率完全衰减掉，因此是低通滤波器" 系统二的零点对应的频率为 \omega=0 ，对应最低频率完全衰减掉，因此是高通滤波器" 系统三的零点对应的频率为 \pm 0.5\pi ，是带阻滤波器" 常数 a,b,c 用来保证每一个系统的幅频响应的最大值为 1 \max\left(\left|H_{0}\left(z\right)\right|\right)=1\quad \Rightarrow\quad \left|a\left(\frac{\left(1\right)+1}{\left(1\right)}\right)\right|=1\quad \Rightarrow\quad a=0.5 \max\left(\left|H_{1}\left(z\right)\right|\right)=1\quad \Rightarrow\quad \left|b\left(\frac{\left(-1\right)-1}{\left(-1\right)}\right)\right|=1\quad \Rightarrow\quad b=0.5 \max\left(\left|H_{2}\left(z\right)\right|\right)=1\quad \Rightarrow\quad \left|c\left(\frac{\left(\pm1\right)-e^{j0.5\pi}}{\left(\pm1\right)}\right)\left(\frac{\left(\pm1\right)-e^{-j0.5\pi}}{\left(\pm1\right)}\right)\right|=1\quad \Rightarrow\quad c=0.5 "" 极点对幅频响应的影响H_{0}\left(z\right)=a\left(\frac{1+z^{-1}}{1-pz^{-1}}\right) H_{1}\left(z\right)=b\left(\frac{1-z^{-1}}{1-pz^{-1}}\right) H_{2}\left(z\right)=c\left(\frac{\left(1+z^{-1}\right)\left(1-z^{-1}\right)}{\left(1-re^{j\alpha}z^{-1}\right)\left(1-re^{-j\alpha}z^{-1}\right)}\right) p=0.9,\ r=0.9,\ \alpha=\frac{\pi}{4} " 单位圆上取值离极值很近时，幅频响应有很大的值，系统一是低通滤波器z=p=0.9\quad \Rightarrow\quad \operatorname{arg}\left(z\right)=0 " 系统二的频率由于受到零点的干扰，在离开零点频率后才能快速反弹为极点的幅频响应值，系统二是高通的" 系统三对应的零点频率分别为 0 和 \pi
，因此在这两个频率处幅频响应都为零，最大值出现在共轭极点的频率处，因此，系统三是带通的z=\pm 1\quad \Rightarrow\quad \operatorname{arg}\left(z\right)=\left\{0,\pi\right\} [Section 5] IIR系统的信号流图与结构" 对IIR系统\sum_{k=0}^{N}a\left(k\right)y\left(n-k\right)=\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)x\left(n-r\right) " 可用图表示其输入、输出关系，图中使用了 \left(N+M\right) 个延迟单元及 \left(N+M\right) 个乘法器IIR系统的信号流图" 单位延迟" 乘法器：流过此处的信号与 b\left(i\right) 相乘" 加法器" 实际使用中，常用简写" 并省去IIR系统的直接实现\begin{align} Y\left(z\right)&=X\left(z\right)H\left(z\right) \cr &=X\left(z\right)\frac{\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)z^{\left(-r\right)}}{\sum_{k=0}^{N}a\left(k\right)z^{\left(-k\right)}} \cr &=\left[\frac{X\left(z\right)}{\sum_{k=0}^{N}a\left(k\right)z^{\left(-k\right)}}\right]\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)z^{\left(-r\right)} \cr &=W\left(z\right)\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)z^{\left(-r\right)} \end{align}
W\left(z\right)=\frac{X\left(z\right)}{\sum_{k=0}^{N}a\left(k\right)z^{\left(-k\right)}} " 对应的差分方程W\left(z\right)\sum_{k=0}^{N}a\left(k\right)z^{\left(-k\right)}=X\left(z\right)\quad \Rightarrow\quad w\left(n\right)+\sum_{n=1}^{N}a\left(n\right)w\left(n-k\right)=x\left(n\right) Y\left(z\right)=W\left(z\right)\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)z^{\left(-r\right)}\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ y\left(n\right)=\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)w\left(n-r\right) " 对应的信号流图分别为" 系统可以简化为假定N&gt;M" 该图使用了 N 个延迟单元、 \left(N+M\right) 个乘法器及两个加法器，这种实现方式称为IIR系统的直接实现形式。" 由于数字系统的字长总是有限的，因此其系数精度总是有限的。每一个系数的量化误差及乘法器的舍入误差对输出都将有积累效应，以致输出误差偏大，这是直接实现形式的一个缺点。" 因此，在实际中，应尽量避免采用直接实现形式而采取由一阶、二阶系统构成的级联或并联形式。IIR系统的级联实现H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}=\frac{\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)z^{\left(-r\right)}}{\sum_{k=0}^{N}a\left(k\right)z^{\left(-k\right)}} " 将转移函数分成一阶多项式连乘的形式，如果有复数极零点，那么，它们必然是共轭成对出现的。H\left(z\right)=gz^{N-M}\left(\frac{\prod_{r=1}^{M}z-z_{r}}{\prod_{k=1}^{N}z-p_{k}}\right) " 作物理实现时，其系数应为实数，因此，将它们分解成二阶形式更为合理。H_{i}\left(z\right)=\frac{1+\beta_{i1}z^{-1}+\beta_{i2}z^{-2}}{1+\alpha_{i1}z^{-1}+\alpha_{i2}z^{-2}} " 若 N\ge M,N 为偶数，则可将 H\left(z\right) 分成 \frac{N}{2} 个二阶 z 多项式的连乘H\left(z\right)=H_{1}\left(z\right)...H_{\frac{N}{2}}\left(z\right) H_{i}\left(z\right)=\frac{1+\beta_{i1}z^{-1}+\beta_{i2}z^{-2}}{1+\alpha_{i1}z^{-1}+\alpha_{i2}z^{-2}},\quad i=1,...,\frac{N}{2} " 总的输出y\left(n\right)=\left(\left(\left(x\left(n\right)\ast h_{1}\left(n\right)\right)\ast h_{2}\left(n\right)\right)\ast ...\right)\ast h_{\frac{N}{2}}\left(n\right) " 如果 N 为奇数，则会包含一个一阶子系统IIR系统的并联实现H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}=\frac{\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)z^{\left(-r\right)}}{\sum_{k=0}^{N}a\left(k\right)z^{\left(-k\right)}} " 系统的转移函数也可以分解为各因式之和，若 N\ge M H\left(z\right)=\sum_{i=1}^{L_{1}}\left(\frac{A_{i}}{1+\lambda_{i}z^{-1}}\right)+\sum_{i=1}^{L_{2}}\frac{\beta_{i0}+\beta_{i1}z^{-1}}{1+a_{i1}z^{-1}+a_{i2}z^{-2}} " 这样总共分成了 \left(L_{1}+L_{2}\right) 个子系统，每个子系统有着共同的输入 x\left(n\right) ，y\left(n\right)=\sum_{i=1}^{L_{1}+L_{2}}\left[h_{i}\left(n\right)\ast\ x\left(n\right)\right] " 由于并联结构的每一个子系统都是独立的，不受其他子系统系数量化误差及乘法舍人误差的影响，因此，是所述三种结构中对误差最不敏感的结构形式。" FIR系统的转移函数既可以直接实现也可以级联实现，但较少采用并联实现。FIR系统还有一些特殊的结构，如线性相位结构、频率抽样结构等。" IIR系统和FIR系统都可以用一种称为Lattice结构的形式来实现。[Section 6] 解差分方程" 系统输出可以有初始条件y\left(-1\right)\ne0,... " 差分方程的求解问题：给定初始输出条件，希望得到序列的闭合表达式\sum_{k=0}^{N}a\left(k\right)y\left(n-k\right)=\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)x\left(n-r\right) " 齐次差分方程x\left(n\right)=0 y\left(n\right)+\sum_{k=1}^{N}a\left(k\right)y\left(n-k\right)=0 系统的零输入解" 齐次差分方程如果有解，则零输入解是由 y\left(n\right) 的初始条件 y\left(-1\right)... 引起的。" 参考 [实际应用中，系统输出可以有初始状态，带有初始输出状态的系统的单边 Z 变换（只能从零时刻开始）]Y\left(z\right)+\sum_{k=1}^{N}a\left(k\right)z^{-k}\left[Y\left(z\right)+\sum_{m=-k}^{-1}y\left(m\right)z^{-m}\right]=0 " 合并 Y\left(z\right) Y\left(z\right)=\frac{-\sum_{k=1}^{N}a\left(k\right)z^{-k}\sum_{m=-k}^{-1}y\left(m\right)z^{-m}}{1+\sum_{k=1}^{N}a\left(k\right)z^{-k}} " 取逆 Z 变换，既得系统的零输入解y_{0i}\left(n\right)=\mathscr{Z}^{-1}\left[Y\left(z\right)\right] 系统的零状态解" 若 y\left(n\right) 的初始条件等于零，且 x\left(n\right) 是因果序列y\left(<0\right)=0 Y\left(z\right)=\frac{\sum_{r=0}^{M}b\left(r\right)z^{-r}}{\sum_{k=0}^{N}a\left(k\right)z^{-k}}X\left(z\right)=H\left(z\right)X\left(z\right) " 由此得到的 y\left(n\right) 称为零状态解，它是单纯由输人所引起的输出y_{0s}\left(n\right)=\mathscr{Z}^{-1}\left[H\left(z\right)X\left(z\right)\right] " 系统完整的输出应是零输入解与零状态解之和y\left(n\right)=y_{0i}\left(n\right)+y_{0s}\left(n\right) 例：给定输入和初始输出条件，求系统完整的输出y\left(n\right)-ay\left(n-1\right)=u\left(n\right),\quad y\left(-1\right)=1 " 零输入解y\left(n\right)-ay\left(n-1\right)=0 " 参考 [实际应用中，系统输出可以有初始状态，带有初始输出状态的系统的单边 Z 变换（只能从零时刻开始）]Y\left(z\right)-az^{-1}\left[y\left(-1\right)z^{1}+Y\left(Z\right)\right]=0 Y_{0i}\left(z\right)=\frac{ay\left(-1\right)}{1-az^{-1}}=\frac{a\left(1\right)}{1-az^{-1}}=a\frac{z}{z-a} y_{0i}\left(n\right)=a\left[a^{n}u\left(n\right)\right]=a^{n+1}u\left(n\right) " 零状态解Y\left(z\right)-az^{-1}Y\left(z\right)=\frac{1}{1-z^{-1}} Y\left(z\right)=\frac{1}{\left(1-z^{-1}\right)\left(1-az^{-1}\right)}=\frac{z^{2}}{\left(z-1\right)\left(z-a\right)} " 先除以一个 z ，再进行部分分式分解，分解完后再回乘得到分子的 z ，避免被部分分式分解掉\frac{Y\left(z\right)}{z}=\frac{z}{\left(z-1\right)\left(z-a\right)}=\frac{A}{\left(z-1\right)}+\frac{B}{\left(z-a\right)} " 参考 [部分分式公式] ["" High-order pole]A=\frac{Y\left(z\right)}{z}\cdot\left(z-1\right)\mid_{z=1}=\frac{z}{\left(z-a\right)}\mid_{z=1}=\frac{1}{1-a} B=\frac{Y\left(z\right)}{z}\cdot\left(z-a\right)\mid_{z=a}=\frac{z}{\left(z-1\right)}\mid_{z=a}=\frac{a}{\left(a-1\right)} \frac{Y\left(z\right)}{z}=\frac{A}{\left(z-1\right)}+\frac{B}{\left(z-a\right)}=\frac{1}{1-a}\frac{1}{\left(z-1\right)}+\frac{a}{\left(a-1\right)}\frac{1}{\left(z-a\right)} " 分解完成，回乘得到分子的 z Y_{0s}\left(z\right)=\frac{1}{1-a}\frac{z}{\left(z-1\right)}+\frac{a}{\left(a-1\right)}\frac{z}{\left(z-a\right)} " 查表进行逆变换得到零状态解y_{0s}\left(n\right)=\frac{1}{1-a}u\left(n\right)+\frac{a}{a-1}a^{n}u\left(n\right)=\frac{1-a^{\left(n+1\right)}}{1-a}u\left(n\right) " 系统完整的输出y\left(n\right)=y_{0i}\left(n\right)+y_{0s}\left(n\right)=a^{n+1}u\left(n\right)+\frac{1-a^{\left(n+1\right)}}{1-a}u\left(n\right)=\frac{1-a^{\left(n+2\right)}}{1-a}u\left(n\right) [Section 7] 计算机辅助计算" 在MATLAB中数组的下标不能为零(当然也不能为负值)，因此系统的转移函数可重新表示为H\left(z\right)=\frac{B\left(z\right)}{A\left(z\right)}=\frac{b\left(1\right)+b\left(2\right)z^{-1}+b\left(3\right)z^{-2}+...+b\left(n_{b}+1\right)z^{-n_{b}}}{1+a\left(2\right)z^{-1}+a\left(3\right)z^{-2}+...+a\left(n_{a}+1\right)z^{-n_{a}}} " 在有关MATLAB的系统分析的文件中，分子和分母的系数被定义为向量，注意指数的符号是负的b=\left[b\left(1\right),b\left(2\right),...,b\left(n_{b}+1\right)\right] a=\left[a\left(1\right),a\left(2\right),...,a\left(n_{a}+1\right)\right] " 并要求 a\left(1\right)=1 。如果 a\left(1\right)\ne1 ，则程序将自动地将其归一化为 1 。转移函数求系统的输出 y\left(n\right) ：filter.m" 若已知系统的 h\left(n\right) ，利用conv. m文件可方便地求出 y\left(n\right) y\left(n\right)=x\left(n\right)\ast h\left(n\right) " 文件filter是在已知 B\left(z\right),A\left(z\right) ，但不知道 h\left(n\right) 的情况下求 y\left(n\right) 的"" 用filter.m计算系统的转移函数H(z)=\frac{0.001836+0.007344z^{-1}+0.011016z^{-2}+0.007374z^{-3}+0.001836z^{-4}}{1-3.0544z^{-1}+3.8291z^{-2}-2.2925z^{-3}+0.55075z^{-4}} %% filter.m
% 系统转移函数的分子系数
B = [0.001836, 0.007344, 0.011016, 0.007374, 0.001836];
% 系统转移函数的分母系数
A = [1, -3.0544, 3.8291, -2.2925, 0.55075];
% 给定输入
x = ones(1, 100);
% 根据转移函数和输入计算输出
y = filter(B, A, x);
% 同时绘制输入输出，输入为绿色点线
n = 1:length(x);
plot(n, x, 'g.', n, y, 'k-');
legend('输入', '输出');"" 用filter.m计算步长为 3 的一阶差分y\left(n\right)=x\left(n\right)-x\left(n-3\right) Y\left(z\right)=X\left(z\right)-z^{-3}X\left(z\right) H\left(z\right)=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}=\frac{1-z^{-3}}{1}=1-z^{-3} x\left(n\right)=u\left(n\right) %% 用filter.m计算步长为3的一阶差分
% 系统转移函数的分子系数
B = [1, 0, 0, -1]
% 系统转移函数的分母系数
A = [1]
% 给定输入
x = ones(1, 100);
% 根据转移函数和输入计算输出
y = filter(B, A, x);
% 同时绘制输入输出，输入为绿色点线
n = 1:length(x);
plot(n, x, 'g.', n, y, 'k-'); grid on; ylim([-2, 2]);
title('y(n) = x(n) - x(n-3),
x(n) = u(n)');
legend('输入', '输出');转移函数求系统的单位抽样响应 h\left(n\right) ：impz.m%% impz.m
% 系统转移函数的分子系数
B = [0.001836, 0.007344, 0.011016, 0.007374, 0.001836]
% 系统转移函数的分母系数
A = [1, -3.0544, 3.8291, -2.2925, 0.55075]
% 给定输入
x = ones(1, 100);
% 根据转移函数和输入计算输出
y = filter(B, A, x);
% 同时绘制输入输出，输入为绿色点线
n = 1:length(x);
subplot(211); plot(n, x, 'g.', n, y, 'k-');
legend('输入', '输出'); title('输入和输出');
% 系统的单位抽样响应
h = impz(B, A, length(n));
subplot(212); plot(n, h, '.'); grid on; title('系统的单位抽样响应');转移函数求系统的频率响应 H\left(e^{j\omega}\right) ：freqz.m%% freqz.m
% 系统转移函数的分子系数
B = [0.001836, 0.007344, 0.011016, 0.007374, 0.001836]
% 系统转移函数的分母系数
A = [1, -3.0544, 3.8291, -2.2925, 0.55075]
% 给定输入
x = ones(1, 100);
% 根据转移函数和输入计算输出
y = filter(B, A, x);
% 同时绘制输入输出，输入为绿色点线
n = 1:length(x);
subplot(221); plot(n, x, 'g.', n, y, 'k-');
legend('输入', '输出'); title('输入和输出');
% 系统的单位抽样响应
h = impz(B, A, length(n));
subplot(223); plot(n, h, '.'); grid on; title('系统的单位抽样响应');
% 系统的频率响应
Fs = 1; % 抽样频率，1表示归一化频率
[H, w] = freqz(B, A, length(n), 'whole', Fs);
subplot(222); plot(w, abs(H)); title('幅频响应（模值）'); grid on;
subplot(224); plot(w, phase(H)); title('相频响应'); grid on;%% FIR不同步长的一阶差分
Ts = 0.6e-3; % 0.6毫秒采样一次
N = 256; % 采样（实际FFT的）点数
% 自动计算
Fs = 1/0.6e-3; % 采样率
T = Ts*N; % 一帧的时长
f_res = 1/T; % FFT的频率分辨率
b = [1, 0, 0, -1]; % 步长为3的一阶差分
figure(); freqz(b, 1, N, Fs); title('步长为3的一阶差分'); % 绘制截止频率
b = [1, 0, -1]; % 步长为2的一阶差分
figure(); freqz(b, 1, N, Fs); title('步长为2的一阶差分'); % 绘制截止频率转移函数绘制系统的极零图" 已知系统零点的列向量 z 和极点的列向量 p 的情况下画出极零图zplane(z,p)" 已知系统转移函数的情况下画出极零图H(z)=\frac{0.001836+0.007344z^{-1}+0.011016z^{-2}+0.007374z^{-3}+0.001836z^{-4}}{1-3.0544z^{-1}+3.8291z^{-2}-2.2925z^{-3}+0.55075z^{-4}} H\left(z\right)=1-1.7z^{-1}+1.53z^{-2}-0.648z^{-3} %% zplane.m
% 已知系统零点的列向量z和极点的列向量p的情况下画出极零图
% zplane(z,p);
% 已知系统转移函数的情况下画出极零图
% IIR
% 系统转移函数的分子系数
B_IIR = [0.001836, 0.007344, 0.011016, 0.007374, 0.001836];
% 系统转移函数的分母系数
A_IIR = [1, -3.0544, 3.8291, -2.2925, 0.55075];
% 绘制系统的极零图和频响
subplot(221); zplane(B_IIR, A_IIR); title('IIR');
[H_IIR, W_IIR] = freqz(B_IIR, A_IIR, 256, 'whole', 1);
subplot(223); plot(W_IIR, abs(H_IIR)); title('幅频响应（模值）');
% FIR
% 系统转移函数的分子系数
B_FIR = [1, -1.7, 1.53, -0.648];
% 绘制系统的极零图和频响
subplot(222); zplane(B_FIR, 1); title('FIR');
[H_FIR, W_FIR] = freqz(B_FIR, 1, 256, 'whole', 1);
subplot(224); plot(W_FIR, abs(H_FIR)); title('幅频响应（模值）');转移函数分解成简单有理分式的和，可用来求逆Z变换：residuez.mX\left(z\right)=\frac{B\left(z\right)}{A\left(z\right)}=\frac{r\left(1\right)}{1-p\left(1\right)z^{-1}}+...+\frac{r\left(n\right)}{1-p\left(n\right)z^{-1}}+k\left(1\right)+k\left(2\right)z^{-1}+... " p 是极点向量， r 是极点处的留数向量， k 是行向量，表示分解后的直接项" 极点数 n=n_{a} ，并等于 r 和p的维数。如果 n_{b}<n_{a} ，则分解后没有直接项，否则， k 的长度等于 n_{b}-n_{a}+1 " 若 X\left(z\right) 在 p\left(j\right) 处有一个 m 阶重极点，则 X\left(z\right) 分解后将为 m 项之和，即\frac{r\left(j\right)}{1-p\left(j\right)z^{-1}}+\frac{r\left(j+1\right)}{\left[1-p\left(j\right)z^{-1}\right]^{2}}+...+\frac{r\left(j+m-1\right)}{\left[1-p\left(j\right)z^{-1}\right]^{m}} " 调用格式[r,p,k]=residuez(b,a)" 如果知道了向量 r,p,k ，利用residuez还可以反过来求出多项式 B\left(z\right),A\left(z\right) [b,a]=residuez(r,p,k)"" residuez.m%% residuez.m
% 有理分式分解成简单有理分式的和，可用来求逆Z变换
b = [1.7, -1.69, .39];
a = [1 -1.7, 0.8, -.1]
[r, p, k] = residuez(b,a)
[b1, a1] = residuez(r, p, k)
[r, p, k] = residuez(a,b)
>>
a =
1.0000
-1.7000
0.8000
-0.1000
r =
1.0000
0.2000
0.5000
p =
1.0000
0.5000
0.2000
k =
[]
b1 =
1.7000
-1.6900
0.3900
a1 =
1.0000
-1.7000
0.8000
-0.1000
r =
-0.1153
-0.2366
p =
0.6299
0.3642
k =
0.9402
-0.2564转移函数与极零点之间的相互转换B\left(z\right)=1-3.3z^{-1}+7.25z^{-2}-6.7z^{-3}+3z^{-4}-0.8z^{-5} %% 转移函数与极零点之间的相互转换
B = [1, -3.3, 7.25, -6.7, 3, -0.8]
A = zeros(size(B)); A(1) = 1; A % 使用tf2zp时，B和A要同维
[Z, P, K] = tf2zp(B, A);
subplot(121); zplane(Z,P); title('zplane(z,p)');
subplot(122); zplane(B,A); title('zplane(b,a)');
zero_points_sorted = sort(Z)' % 对零点排序
[Bcheck, Acheck] = zp2tf(Z,P,K) % 极零点还原到转移函数做检查
Broots = sort(roots(B)') % 解出多项式的根，即零点，做检查
Bpoly = poly(Broots) % 由分解出的零点再综合出多项式B
>>
B =
1.0000
-3.3000
7.2500
-6.7000
3.0000
-0.8000
A =
1
0
0
0
0
0
zero_points_sorted =
0.2500 + 0.4330i
0.2500 - 0.4330i
0.8000 + 0.0000i
1.0000 + 1.7321i
1.0000 - 1.7321i
Bcheck =
1.0000
-3.3000
7.2500
-6.7000
3.0000
-0.8000
Acheck =
1
0
0
0
0
0
Broots =
0.2500 - 0.4330i
0.2500 + 0.4330i
0.8000 + 0.0000i
1.0000 - 1.7321i
1.0000 + 1.7321i
Bpoly =
1.0000
-3.3000
7.2500
-6.7000
3.0000
-0.8000转移函数及极零点和二阶子系统之间的相互转换" 文件tf2sos用来实现将转移函数 H\left(z\right)=\frac{B\left(z\right)}{A\left(z\right)} 分解为一系列二阶子系统 H_{k}\left(z\right) 的级联H_{k}\left(z\right)=\frac{b_{0k}+b_{1k}z^{-1}+b_{2k}z^{-2}}{1+a_{1k}z^{-1}+a_{2k}z^{-2}} " 调用格式是[sos,G] = tf2sos[B,A]"
G 是系统的增益，sos是一个 L\times 6 的矩阵， L 是二阶子系统（物理实现）的个数，每行元素格式为\left[b_{0k},b_{1k},b_{2k},1,a_{1k},a_{2k}\right],\ \ \ \ k=1,2,...,L " sos2tf的功能和tf2sos相反，它用来由二阶子系统构成转移函数，调用格式是[B,A] = sos2tf(sos,G)" zp2sos用来实现由系统的极零点到二阶子系统的转换，而sos2zp实现一个相反的转换%% 转移函数及极零点和二阶子系统之间的相互转换
B = [0.0201 0 -0.0402 0 0.0201]
A = [1 -1.637 2.237 -1.307 0.641]
[sos, G] = tf2sos(B,A) % 分解为二阶子系统的级联
[Bcheck, Acheck] = sos2tf(sos,G) % 由二阶子系统的级联还原回转移函数
[Z, P, K] = tf2zp(B,A); % 极零点
subplot(121); zplane(Z, P); title('[Z, P, K] = tf2zp(B,A)'); % 绘制极零点
[sos1, G1] = zp2sos(Z,P,K) % 由极零点分解为二阶子系统的级联
[Zcheck, Pcheck, Kcheck] = sos2zp(sos, G) % 由二阶子系统的级联还原回极零点
subplot(122); zplane(Zcheck, Pcheck); title('[Zcheck, Pcheck, Kcheck] = sos2zp(sos, G)'); % 绘制极零点[Section 8] 本章要点（要点，什么要点，全书都是要点，病人会按照要点来生病吗doge）实际应用中，系统输出可以有初始状态，带有初始输出状态的系统的单边 Z 变换，时移公式是不同的" 非初始松弛状态时，序列右移的变换公式y\left(-1\right)\ne0,... \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}y\left(n-k\right)z^{-n}&=\sum_{m=0-k}^{\infty-k}y\left(m\right)z^{-\left(m+k\right)} \cr &=z^{-k}\sum_{m=0-k}^{\infty-k}y\left(m\right)z^{-m} \cr &=z^{-k}\left[\sum_{m=-k}^{-1}y\left(m\right)z^{-m}+\sum_{m=0}^{\infty}y\left(m\right)z^{-m}\right] \cr &=\begin{cases} z^{-k}\left[\sum_{m=-k}^{-1}y\left(m\right)z^{-m}+Y\left(z\right)\right], & \quad k>0 \cr Y\left(z\right), & \quad k=0 \end{cases}
\end{align}
" 初始松弛状态时，序列右移的变换公式y\left(<0\right)=0 \sum_{n=0}^{\infty}y\left(n-k\right)z^{-n}=z^{-k}Y\left(z\right) 部分分式公式" 高阶极点\frac{d}{dz}\left[X\left(z\right)\cdot\left(z-b\right)^{2}\right]\mid_{z=b}=\left[A\left(z-b\right)\left(...\right)+B\right]\mid_{z=b}=B " 高阶零点：转移函数先除以 z 待分解完成再乘回分子\begin{align} A&=\left[A+B\frac{\left(z-a\right)}{\left(z-b\right)}\right]\mid_{z=a} \cr &=\left[\left(\frac{A}{\left(z-a\right)}+\frac{B}{\left(z-b\right)}\right)\cdot\left(z-a\right)\right]\mid_{z=a} \cr &=\left[\frac{Y\left(z\right)}{z}\cdot\left(z-a\right)\right]\mid_{z=a} \cr &=\left[\frac{z^{\left(n-1\right)}}{\left(z-a\right)\left(z-b\right)}\cdot\left(z-a\right)\right]\mid_{z=a} \cr &=\left[\frac{z^{\left(n-1\right)}}{\left(z-b\right)}\right]\mid_{z=a} \cr &=C_{A} \end{align}
极零图导出数字滤波器设计的一般原则" 若使设计的滤波器拒绝某一个频率（即不让该频率的信号通过），应在单位圆上相应的频率处设置一个零点。" 若使滤波器突出某一个频率（使该频率的信号尽量无衰减通过），应在单位圆内相应的频率处设置一极点。IIR系统的直接实现简化延迟器计算机辅助计算的转移函数格式H\left(z\right)=\frac{B\left(z\right)}{A\left(z\right)}=\frac{b\left(1\right)+b\left(2\right)z^{-1}+b\left(3\right)z^{-2}+...+b\left(n_{b}+1\right)z^{-n_{b}}}{1+a\left(2\right)z^{-1}+a\left(3\right)z^{-2}+...+a\left(n_{a}+1\right)z^{-n_{a}}} b=\left[b\left(1\right),b\left(2\right),...,b\left(n_{b}+1\right)\right] a=\left[a\left(1\right),a\left(2\right),...,a\left(n_{a}+1\right)\right] }

前几天学自动控制原理，突然感觉自己傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换的区别和联系没有特别清楚，所以就放在一起研究了一下，整理总结后记录在这里。
一、傅里叶变换傅里叶变换的基础是傅里叶级数。先讲傅里叶级数是什么。1.1 傅里叶级数法国数学家傅里叶认为，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数。三角形式的傅里叶级数如下：根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。欧拉公式如下：指数形式的傅里叶级数如下：其中，k=0时，为函数的直流分量k=1时，此时通常被称为函数的基波k取不同值时(k>1)的三角函数被称为函数的k次谐波那么，如果满足迪利克雷条件的周期函数，其傅里叶级数就是收敛的
迪利克雷条件（
傅里叶级数收敛的充分不必要条件）：
1.在一个周期内，函数是
绝对可积的；
2.在一个周期内，函数
连续或者只有有限个第一类间断点；
3.在一个周期内，函数
极大值和极小值的数目是有限个。
以方波信号为例：周期为T，脉宽为2的方波信号的傅里叶级数展开为：傅里叶级数的图像如图：当时，离散的傅里叶级数序列会编程连续的曲线，即傅里叶变换研究了周期函数的傅里叶级数，那么人们就会迁移思考：非周期函数是否也能这样表示呢，如果要表示需要对公式做哪些改变呢？从而就有了对傅里叶变换的研究。1.2 傅里叶变换对于一个非周期函数，其实可以看成一个周期为的周期函数例如一个周期函数图像如下：令，得到：从公式来推导：用表示周期函数，根据傅里叶级数：而，如上面的函数图像所示。由于，则（从离散的变成连续的）所以就变成了这就是傅里叶变换的公式而此时则变成了这就是傅里叶逆变换1.3 傅里叶变换的局限事实上，并不是所有的函数都可以进行傅里叶变换，必须满足迪利克雷条件才可以进行傅里叶变换与傅里叶级数收敛的充分不必要条件一样，傅里叶变换的迪利克雷条件为：
迪利克雷条件（
傅里叶变换存在的充分不必要条件）：
1.在整个定义域内，函数是
绝对可积的；
2.在整个定义域内，函数
连续或者只有有限个第一类间断点；
3.在整个定义域内，函数
极大值和极小值的数目是有限个。
其实只需要把傅里叶级数的迪利克雷条件的周期内变成整个定义域内就可以了1.4 常见函数的傅里叶变换二、拉普拉斯变换2.1 为什么需要引入拉普拉斯变换傅里叶变换在信号频域研究上起到了非常重要的作用，可是并不是所有的信号都可以进行傅里叶变换。那么对于无法进行傅里叶变换的信号，我们想研究它的频域特性，应该怎么办呢？例如：我们已知，虽然并不满足迪利克雷条件中绝对可积的条件，这也说明了迪利克雷条件其实是充分不必要条件。但是函数显然就无法进行傅里叶变换，这里可以归结为它的增长速度太快，以至于在绝对值积分的时候没法收敛。那么我们要解决这个问题，针对无法进行傅里叶变换的函数，引入了拉普拉斯变换。其最通俗基本的原理就是给我们的函数乘一个，我们需要取合适的使得它可以快速下降，这样它就可以满足迪利克雷条件的绝对可积这一条件，这样就可以进行傅里叶变换了。2.2 拉普拉斯变换对于函数，令，对做傅里叶变换，得：此时，变换结果的变量从傅里叶变换的变为了和两个，但其实我们发现总是和虚数单位J在一起，所以我们将和两个变量合成为一个变量于是我们得到了拉普拉斯变换的完整公式：需要注意的是，我们上面讲了需要取合适的使得可以快速下降，所以对于一些升高比较快的函数，我们需要限定比较大，才可以使得这个函数满足迪利克雷条件。所以，拉普拉斯变换不像傅里叶变换那样没有变量范围的限定，它需要有ROC(Range of Re{s} (or
) for X(s) to converge)与拉普拉斯变换配套存在。事实上，ROC也是拉普拉斯变换的一部分，对于相同的表达式，不同的ROC，其时域函数有可能完全不同，所以一定需要注意ROC不可以遗漏。拉普拉斯逆变换公式：2.3 常见函数的拉普拉斯变换三、z变换我们知道z变换其实是为离散信号而引入的一种变换，其主要原理和拉普拉斯变换很相似，是为了解决一些离散序列无法进行离散时间傅里叶变换而引入的。我们首先介绍离散时间傅里叶变换。3.1 DTFT离散时间傅里叶变换我们上面已经介绍了连续时间傅里叶变换，即傅里叶变换，公式如下：那么我们将转化为离散的，积分变为求和，即得到了离散时间傅里叶变换：
至于为什么要用
而不是
，这个问题其实也让我疑惑，我初步思考的结果是：
为了区分离散和连续。试想，如果你看到这样一个符号
，在没有区分的情况下你并不知道这个变换是连续的还是离散的，所以我觉得可能是为了区分。
括号中
的代表一个复数，即模为1的复数，而不是
所代表的纯虚数，这样也是为z变换做准备。
我看到有博客解释说一个是积分一个是求和，没有特别理解。
3.2 z变换的引入要想进行DTFT，也必须满足离散傅里叶级数的迪利克雷条件。
迪利克雷条件（DTFT存在的充分不必要条件）
序列
绝对可和
如果有序列无法满足迪利克雷条件，那么我们就想给序列乘一个使得它绝对可积3.3 z变换DTFT公式：如果无法进行DTFT，那么给乘后再做DTFT得：此时,需要注意的是，同拉普拉斯变换一样，z变换也需要定义ROC逆z变换：逆Z变换是一个对Z进行的围线积分，积分路径C是一条在 收敛环域（Rx-，Rx+）以内逆时针方向绕原点一周的单围线。
求解逆Z变换的常用方法有：
（1）幂级数展开法（部分分式展开法）
（2）留数定律法
（3）利用已知变换对
（4）长除法
3.4 常见序列的z变换四、总结最后总结一下，其实拉普拉斯变换和z变换分别对应着傅里叶变换在连续情况和离散情况下的推广，是针对那些无法进行傅里叶变换的函数或者序列而引入的，其基本原理都是给原函数或者序列乘一个下降很快的指数函数，让其变得绝对可积，再进行傅里叶变换就得到了拉普拉斯变换和z变换。他们将傅里叶变换所定义的频域，拓展到了复频域。给函数的研究提供了新的思路。值得注意的是，拉普拉斯变换和z变换都需要定义ROC。这一点很重要。
}