徐斌摘要：《小数四则运算（复习）》一课的复习内容是苏教版小学数学五年级上册中三个相关单元的综合整理。几个相关单元的综合复习，这样的课型研究，有难度也有价值，需要跨越小学阶段计算错误的高发区，要体现数学课程改革的全新理念，更要从本质上发展学生的运算思维。关键词：小数四则运算;复习课;计算错误;课改理念;运算思维《小数四则运算（复习）》一课的教学目标确定为：（1）在回顾与梳理中进一步理解小数的意义以及四则运算的算理，感悟运算的一致性。（2）在探索与比较中形成小数四则运算的算法技能，培养运算能力。（3）进一步探索运算规律，解决实际问题，提高学习数学的信心。本课教学过程与思考如下：一、教学过程（一）回顾梳理，形成结构1.小数的来源及意义师关于小数，本学期学习了哪些知识？小数是怎么产生的？小数和整数、分数之间有怎样的联系？小数的意义和性质是什么？小数四则运算的意义和法则分别是什么？学生讨论、汇报。教师板书（见图1）。[说明：有效复习的前提是回顾旧知和梳理关系，进而形成结构性认知。虽然本课复习的主要内容是小数的四则运算，但是要真正理解算理和掌握算法，需要以小数的意义和性质为支撑，还需要对小数产生的来源有充分的认识。因此，上课伊始，通过谈话和交流，让学生从本学期学习的小数相关知识的回忆出发，追溯小数产生的生活需要和数学需要，再从整数认识扩充到分数认识，从十进分数发展为小数意义。这样的回顾和梳理，帮助学生建立起相关知识点之间的内在联系，为接下来的四则运算复习扫清障碍。]2.小数的计数单位师小数的计数单位有哪些？是如何确定的？（出示图2）你会涂色表示小数的计数单位吗？通过课件和教具演示，辅以学生的动手涂色，再现小数计数单位的产生过程以及相互关联（如图3所示）。[说明：运算的本质是计数。弗赖登塔尔曾经对算术的现代化方法进行了一些比较研究，发现“好的方法都强调计数”。学生虽然从三年级开始初步认识分数和小数，但在之前的整数认识中早就认识了计数单位及数位顺序表。通过小数意义的复习，可以进一步依托十进分数理解小数，并借助整数数位顺序表的拓展理解小数。教学时，采用“三合一”的方式强化计数单位的复习：一是先让学生在练习纸上分别涂色表示0.1、0.01、0.001;二是在学生汇报时通过课件的对应动态演示，逐步“生长”出计数单位;三是同步在黑板上分别贴上直观教具，以留下“痕迹”作为接下来解释算理的依据。]（二）探索比较，建立联系1.口算明理出示算式（见图4）。师如何运用计数方法解释小数四则运算的算理？学生独立口算。汇报时，教师通过课件直观显示算理依据。[说明：口算的依据是运算的意义，口算的算理需要直观的解释。所有的学生最终都期盼使用有效的笔算方法计算。但是，只有循序渐进地建立这些方法，并不断完善和扩展口算策略，笔算方法对学生来说才是有意义的。因此，小学阶段学习整数和小数计算，都是先学习口算，再学习笔算。通过小数口算的复习，结合四则运算的意义，借助直观的计数单位，帮助学生形象地理解运算的算理，逐渐形成熟练的运算技能。此处口算的复习，首先让学生自主计算，然后分别解释算理，并以课件动态演示的方法来对应，在直观演示和归纳概括中帮助学生内化算理，形成算法。]2.笔算成法出示算式（见图5）。师小数加、减法的法则是什么？为什么要“小数点对齐”？小数乘法中积的小数位数有什么规律？计算除数是小数的除法时，为什么要先把除数变成整数？计算小数四则运算时，哪些地方用了小数的性质？首先，让学生带着问题独立笔算;接着，让学生同桌交流对这4个问题的认识;然后，邀请4名“小老师”到台上分别讲解笔算过程和方法，同时让台下学生提问和质疑;最后，进一步比较和归纳笔算法则及其依据。[说明：笔算的依据是运算法则。笔算其实是记录计算过程与结果的书面形式，不管是何种计算，位数多了就有必要用纸笔记录计算过程。竖式笔算的优点是对基础知识要求不高、能进行机械化运演、具有普适性，其不足是显得有些封闭和单调、不需要创造性思维、缺乏针对性。小数四则运算的笔算复习，让学生首先带着问题进行思考，然后独立计算并自主讲述方法，再进行题组对比。这样的复习不是机械的运算，而是让学生在核心问题引领下逐步理解和掌握：小数加、减法的法则核心是“小数点对齐”（即相同计数单位的数才可相加、减）;小数乘法是利用“积的变化规律”先转化为整数乘法，再点上小数点;除数是小数的除法是利用“商不变的规律”转化为除数是整数的除法。]3.沟通联系师小数乘、除法中也要“小数点对齐”吗？为什么要把小数乘、除法转化为整数乘、除法再计算？如果除数是小数，不转化为整数，会出现什么情况？小数四则运算与整数四则运算之间有怎样的联系？[说明：深度学習的前提是深度理解，而深度理解的达成需要深度思考。好的课堂教学需要设计好的问题。课上，这4个问题的抛出，如同往平静的池塘里扔进了石头，激发了学生强烈的探究欲望，将学生的学习和思维推向高潮。前面的知识回顾、口算明理和笔算成法，对学生的思维难度其实并不大;而此时的4个问题，需要学生具有较强的观察对比与比较辨析能力，还需要丰富的想象能力和冷静的理性思考，甚至会产生不同观点的激烈辩论。可见，只有从简单出发，并不断向本质迈进，才能使学生的学习走向深入。]（三）对比练习，形成能力1.找规律写得数（1）根据38×12=456直接写积。3.8×12=（）;0.38×12=（）;0.38×1.2=（）;0.38×0.12=（）;（）×（）=（）。（2）根据4.56÷3.8=1.2填空。45.6÷（）=1.2;0.456÷（）=1.2;（）÷380=1.2;（）÷0.038=1.2;（）÷（）=1.2。这两题，让学生首先根据已知的乘法和除法算式填空，然后在汇报交流时讲述思考的过程和方法。同时，每组题设计了一道“空题”，让学生根据规律灵活填写。2.解决实际问题师（出示图6）你能算出徐叔叔大约停车几小时吗？[说明：口算和笔算的学习有两个重要目的，一是掌握运算规律和形成数感，二是解决实际问题和发展技能。在口算明理和笔算成法之后，需要通过适度的练习，进一步提高学生的运算智慧和解决实际问题的水平。此处，设计了两道算式填写题和一道生活应用题：根据整数乘法算式直接填写小数乘法的得数，依据的是“积的变化规律”;根据小数除法算式直接填写除法算式的被除数或除数，依据的是“商不变的规律”。同时，通过题组的设计，引导学生在观察、对比、推理、检验中探索运算规律，发展运算思维。最后的解决实际问题，依据学生生活中常见的停车场支付停车费情境展开，让学生选择合适信息，结合数量关系，灵活选择解决方法，发展他们的数学应用能力。]（四）总结经验，提升思维师通过本课的学习，你对小数四则运算又有了哪些收获？你还能想到什么运算？二、教学思考（一）如何进行几个相关单元的综合复习？平时的课堂教学研究活动中，最常见的自然是新授课，偶尔也会展示一些练习课和复习课，但是对几个相关单元的综合复习课，研究得极少。本课的复习内容是苏教版小学数学五年级上册中三个相关单元的综合整理，即《小数的意义和性质》《小数加法和减法》《小数乘法和除法》。这样的综合复习课如何上呢？我心里一点数也没有，甚至一度觉得这可能是给自己挖了一个坑。果然，掉进坑里的不止我一个。正如在上课结束后的专题研讨中，和我一起同课异构的吴敏老师（曾经获得江苏省小学数学赛课一等奖）坦言：“接到上课课题后，检索中国知网上关于本课的文献，结果竟然是0篇。”这就更加说明这样的课型研究有难度、有创造价值，更需要我们去深入挖掘，哪怕挖的是“深坑”，或许能够找到“富矿”。（二）如何跨越小学阶段计算错误的高发区？我今年正好教五年级数学（所教班级是我从一年级带上来的）。根据我多年对计算教学的研究和调查发现，小学阶段学生计算错误的高发区，既不在六年级，也不在低年级，而在五年級，尤其在五年级上学期。主要原因是学习小数四则运算时，很多学生难以从整数思维中走出来，再加上小数四则运算的算理和算法比较复杂，计算步骤烦琐。本学期关于小数的知识，教材编排了三个单元，这三个单元的总课时量将近占本学期教学时间的一半。为了有效提高学生对小数四则运算的算理理解水平和算法掌握水平，有必要对几个单元的知识进行整体化教学，帮助学生形成完整的认知结构，沟通知识之间的内在联系，进而突破学习难点。（三）如何体现数学课程改革的全新理念？尽管新一轮修订版义务教育数学课程标准至今迟迟未发布，不过从数学课程改革的动向来看，学生数学核心素养的培养越来越受到重视。关于计算教学，2001年发布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》十分强调“重视口算，加强估算，提倡算法多样化”，而《义务教育数学课程标准（2011年版）》则把“运算能力”作为数学课程的10个核心词之一，并且在“教学建议”中提出“引导学生感受数学的整体性”。我也有幸参与了新一轮义务教育数学课程标准修订的征求意见工作，从中发现即将发布的课标十分重视“让学生感悟运算的一致性”，并且在第三学段（五、六年级）的“教学提示”中具体指出：“注重对整数、小数和分数四则运算的统筹，进一步感悟运算的一致性，从整体上理解和掌握运算的算理和算法，认识计算方法的共性与差异。”（四）如何从本质上发展学生的运算思维？为了上好这节貌似“前无古人”的计算复习课，我深深地陷入了自己挖的坑，一连十多天处于毫无头绪之中。何以解忧？唯有读书。于是，我开始重读几本专著，试图从中寻找上课的灵感。首先阅读的是史宁中教授所著的《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》和《数学思想概论（第1辑）——数量与数量关系的抽象》两本书，书中谈到小数的产生历史较晚（18世纪才建立稳定的十进位小数），谈到建立小数概念源于两个方面的需要（一是现实世界中数量关系表达的需要;二是数学本身的需要，即主要为了表示无理数），谈到“小数单位其实就是十进的分数单位”“四则运算都源于加法”“从自然数开始，每扩充一次数的集合都是为了满足某种运算的需要”等重要论述。然后，我又重点阅读了王永所著的《数学化的视界——小学“数与代数”的教与学》一书，书中专门引用著名数学教育家弗赖登塔尔的两句名言：“好的方法都强调计数。”“运算的本质是计数。”这引起了我极大的兴趣。如何在我的课堂上体现小数四则运算与整数四则运算之间的关系？如何从计数单位的强化角度来统筹四则运算的本质？心中开始有一些思考。除此之外，我还阅读了王永春、王林、沈重予、吴正宪、刘晓萍、陈六一等老师的著作，从中寻找到了不少有价值的启示。}