来看一道自带霸王色霸气的三角函数极限难题：例： 求极限I=\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{cos(sinx)-cos(sintanx)}{x^{4}}} 乍一看，你想到了什么方法？没猜错，你应该想到了泰勒展开或洛必达，但如果Kaysen/煜神（148上将）告诉你这道题还能用拉氏中值、和差化积公式玩出花儿来，你有没有兴趣？（P.S. 注意洛必达此处失效，分子求导当场狗带）我们先来看看解这道题最基础的泰勒大法：方法一：泰勒(easy doing，技术创新性★★)泰勒最麻烦的点就在于能否保证展开的全面性！方法二：和差化积+拉氏中值 (魔鬼细节，技术创新性★★★★★)学长看到 cos\theta_{1}-cos\theta_{2} ,和差化积啪的一下就蹦出来了，很快啊！和差化积与拉氏中值擦出的绚丽火花方法三：拉氏中值一般式（技术创新性★★★）拉式中值+放缩，巧解复杂极限方法四：拉氏中值有限增量式（技术创新性★★★★★）当题干某部分函数明显能用拉氏中值，但用一般式又看不出什么名堂（精度不够），又懒得用放缩去讨论，不妨跟学长一起试试有限增量式，看看会发生出什么特异的化学反应！所谓有限增量式，见同济高数书P128页，有如下一段话，不知大家有无品出余韵：很多看过同济7版的同学，有限增量定理有没有激发创造性的解题思路？有限增量，提高参数精度，出奇制胜！喜欢看学长讲题，就疯狂点个赞，学长会考虑是否放出一元、多元微积分的解题花招。P.S. 二元微分的可微、偏导、偏导连续等辩证关系及本质理解见下文：另，考研数学的一些方法论见下：}

在我们一年级学习微分中值定理的时候，课本上就有拉格朗日中值定理这么个东西，它讲的是什么呢？用简洁的话来说就是函数 f(x) （1）在闭区间 \left[ a,b \right] 上连续；（2）在开区间 (a,b) 内可导，那么在 (a,b) 内至少存在一点 \xi(a<\xi<b) ，使等式 f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) 成立。介绍完毕，接下来我们就开始操作它吧！对于极限 \lim_{n \rightarrow +\infty}{n^{2}(arctan\frac{a}{n}-arctan\frac{a}{n+1})} (a\ne0) 我们发现它的形式与拉格朗日中值定理形式类似，于是我们对 arctanx 在区间 (\frac{a}{n},\frac{a}{n+1}) 上应用拉格朗日中值定理可得 arctan\frac{a}{n}-arctan\frac{a}{n+1}=\frac{1}{1+\xi^{2}}(\frac{a}{n}-\frac{a}{n+1}) ，其中 \xi\in(\frac{a}{n},\frac{a}{n+1}) 。于是原极限化为 \lim_{n \rightarrow +\infty}{\frac{n^{2}}{1+\xi^{2}}(\frac{a}{n}-\frac{a}{n+1})} =\lim_{n \rightarrow +\infty}{\frac{1}{1+\xi^{2}}\cdot\frac{an^{2}}{n^{2}+n}}=a 以上即是拉格朗日中值定理在求极限时的详细步骤。不妨我们再练一题求级数 \sum_{k=1}^{\infty}{k^{lnk}(x-2)^{k}} 的收敛半径（改编自梁昆淼《数学物理方法（第五版）》P34第3题(2)）由级数的相关知识可知本题收敛半径的倒数 \frac{1}{R}=\lim_{k \rightarrow +\infty}{\frac{(k+1)^{ln(k+1)}}{k^{lnk}}} 幂指函数没什么好说的，抬e吧。于是原极限转化为 \lim_{k \rightarrow +\infty}{e^{ln^{2}(k+1)-ln^{2}k}} 对 ln^{2}x 在区间 (k,k+1) 上使用拉格朗日中值定理可将原极限再转化为\lim_{\xi \rightarrow +\infty}{e^{\frac{2ln\xi}{\xi}}}=e^{0}=1 (其中 \lim_{\xi \rightarrow +\infty}{\frac{2ln\xi}{\xi}}=\lim_{\xi \rightarrow +\infty}{\frac{2}{\xi}}(L’Hospital法则)=0 )因此收敛半径R=1本题用根值审敛法会简单一些，此处不做介绍了。}