2022-05-06 10:36
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(1) 圆锥曲线的内与外。如下图所示，阴影区城为内。
(2) 在双曲线外一点向双曲线可以引两条切线。若这点位于双曲线对称中心，则两条切线就是双曲线的两条渐近线。所以，从非对称中心一点所引两条切线与两条渐近线，可以看成四条切线。这四条切线可以构成双曲线的一个外切四边形。
具体来说，如上图所示，直线PQ与双曲线的左支相切，直线P'Q'也与双曲线左支相切。点P和Q是切线PQ与两条渐近线的交点，点P'和Q'是切线P'Q'与两条渐近线的交点。设PQ和P'Q'的交点为S。这样，包括两条渐近线在内的四条切线围成一个四边形OPSQ'。注意，在圆锥曲线是圆或椭圆（比如上期的例2）时，明显可以看出外切四边形确实把圆或椭圆“包在里面”。但在双曲线的情况，因为双曲线延展到无穷远，感觉不可能有四边形能够“包”住它。但是，正像在球面上，我在我的外围画一个半径一米的圆，我若认为我是在圆外，则球面上除我所在这个小圆以外的绝大部分区域就被这个圆包围，成为圆内。事物都是相对性。所以，在这里的双曲线的情况下，我们未尝不可认为上面这个小四边形也把双曲线包围住。
好的，我们继续。这时，就出现了一个完全四边形OPSQ'P'Q，它有三条对角线：直线OS，直线PQ'和直线P'Q。它们将围出一个在上一期讲过的所谓的“自配极三角形”。根据自配极三角形的意思， 直线PQ'和P'Q的交点是直线OS关于双曲线的极点。
我们知道，从圆锥曲线外部向曲线引的两条切线的两个切点的连线，就是这个点关于曲线的极线，所以，从对称中心O发出的两条切线（即两条渐近线）与双曲线的两个交点的连线就是对称中心O的极线。但由于渐近线与双曲线的交点在无穷远，所以，两个切点就是两个无穷远点，两个切点的连线就是无穷直线。我们用P∞和Q∞表示这两个切点，用P ∞Q ∞表示无穷直线，则 无穷直线P∞Q∞就是点O关于双曲线的极线。
我们来看极线OS与它的极点。极线OS上的任意一点向双曲线所引的两条切线，所得 两个切点的连线也一定经过OS的极点。
那么，前面三段的结尾处的三个加粗结论说明，无穷直线P ∞Q ∞一定经过直线PQ'与P'Q的交点。就是说， 直线PQ'与P'Q在无穷远点相交。
（若有不太明白之处，可与上一讲对照阅读。）
根据欧氏几何， 直线PQ'与P'Q平行。那么，再来看下面的图，两条粉色直线PQ'与P'Q平行。那么，由 蝴蝶定理，三角形SPP'的面积就等于三角形SQQ'的面积。两者都加上四边形OPSQ'的面积，就得到三角形OPQ与三角形OP'Q'面积相等。也就是切线PQ与两条渐近线所围三角形的面积等于切线P'Q'与两条渐近线所围区域的面积。也就是说，双曲线切线与两条渐近线所围三角形的面积不变，或者说是常数。
上面所说的三角形SPP'的面积等于三角形SQQ'的面积，也可以说成过双曲线外一非对称中心的点向双曲线所引两条切线，被两条渐近线截出两个面积相等的三角形。
（蝴蝶定理很简单，根据的是同底等高的两个三角形面积相等，再都减去它们的公共部分，就得到两个像蝴蝶的两翼一样的三角形的面积相等。）返回搜狐，查看更多
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本系列将对圆锥曲线焦点三角形定义及面积周长等计算公式作以推导。读者在熟练推导后可直接将计算公式记住，这样便可提高选填题的解题速度。本文对双曲线焦点三角形进行介绍，双曲线的焦点三角形是以双曲线两焦点及双曲线上任意一点所构成的三角形，其几何度量(面积、周长等)有诸多简洁的性质。下面做详细介绍。本文首发于如下公众号：数学那些事Sunsnow。1 双曲线焦点三角形定义双曲线上任意一点 P 与双曲线两焦点 F_1 、 F_2 构成的 \Delta P F_{1} F_{2} 称为焦点三角形，其中，点 P 不在直线 F_1 F_2 上， \angle F_{1} P F_{2}=\theta ， \angle P F_{1} F_{2}=\alpha ， \angle P F_{2} F_{1}=\beta ，圆 O_1 为焦点三角形的内切圆， r 为内切圆半径，如下图所示。2 几何度量(1) 面积
S_{\Delta P F_{1} F_{2}} 焦点三角形 P F_{1} F_{2} 的面积为\color{red}{S_{\Delta P F_{1} F_{2}}=b^{2} \cot \frac{\theta}{2}} \\证明：以半实轴为 a ，半虚轴为 b 的双曲线为例进行证明。设 PF_1 = m ， PF_2 = n ，则三角形 P F_{1} F_{2} 的面积可表示为S_{\Delta P F_{1} F_{2}}=\frac{1}{2} P F_{1} \cdot P F_{2} \cdot \sin \theta=\frac{1}{2} m n \sin \theta \\而根据余弦定理有\cos \theta=\frac{P F_{1}^{2}+P F_{2}^{2}-F_{1} F_{2}^{2}}{2 P F_{1} \cdot P F_{2}}=\frac{m^{2}+n^{2}-4 c^{2}}{2 m n} \\而\begin{aligned} \cos \theta &=\frac{m^{2}+n^{2}-4 c^{2}}{2 m n}=\frac{(m-n)^{2}+2 m n-4 c^{2}}{2 m n} \\ &=\frac{(2 a)^{2}+2 m n-4 c^{2}}{2 m n}=1-\frac{2 b^{2}}{m n} \end{aligned} \\因此m n=\frac{2 b^{2}}{1-\cos \theta} \\可得三角形 P F_{1} F_{2} 的面积为\begin{aligned} S_{\Delta P F_{1} F_{2}} &=\frac{1}{2} m n \sin \theta \\ &=\frac{1}{2} \frac{2 b^{2}}{1-\cos \theta} \sin \theta=b^{2} \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{1-\left(1-2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}\right)} \\ &=b^{2} \cot \frac{\theta}{2} \end{aligned} \\(2) 离心率
e 焦点三角形 P F_{1} F_{2} 的离心率为\color{red}{e=\frac{\sin \theta}{|\sin \alpha-\sin \beta|}=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{|\sin \alpha-\sin \beta|}=\frac{\sin \frac{\alpha+\beta}{2}}{\left|\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\right|}} \\证明：在 \Delta P F_{1} F_{2} 中应用正弦定理有\frac{P F_{1}}{\sin \beta}=\frac{P F_{2}}{\sin \alpha}=\frac{F_{1} F_{2}}{\sin \theta}=\frac{F_{1} F_{2}}{\sin (\alpha+\beta)} \\于是\left|\frac{P F_{1}-P F_{2}}{\sin \alpha-\sin \beta}\right|=\frac{F_{1} F_{2}}{\sin (\alpha+\beta)} \\因此\frac{2 a}{|\sin \alpha-\sin \beta|}=\frac{2 c}{\sin (\alpha+\beta)} \\那么双曲线离心率为\begin{aligned} e &=\frac{c}{a}=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{|\sin \alpha-\sin \beta|} \\ &=\frac{2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}}{2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\left|\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\right|}=\frac{\sin \frac{\alpha+\beta}{2}}{\left|\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\right|} \end{aligned} \\(3)
P
点纵坐标
y_{P}
与
\theta
之间的关系焦点三角形 P F_{1} F_{2} 的 P
点纵坐标
y_{P}
与
\theta
之间的关系为\color{red}{\left|y_{P}\right|=\frac{b^{2}}{c} \cot \frac{\theta}{2}} \\证明：由于三角形面积为S_{\Delta P F_{1} F_{2}}=b^{2} \cot \frac{\theta}{2}=\frac{1}{2} F_{1} F_{2}\left|y_{P}\right|=c\left|y_{P}\right
\\因此\left|y_{P}\right|=\frac{b^{2}}{c} \cot \frac{\theta}{2} \\(4) 内切圆与实轴切点为双曲线顶点，且
P
位于双曲线哪一支，切点就为哪一支的顶点，同时便能得到内切圆圆心横坐标为 \pm a证明：以 P 位于双曲线右支为例进行证明，如下图所示。首先根据内切圆性质容易得到\begin{aligned} &A F_{1}=C F_{1} \\ &A F_{2}=B F_{2} \\ &P B=P C \end{aligned} \\那么可得如下关系\begin{aligned} A F_{1}-A F_{2} &=C F_{1}-B F_{2} \\ &=\left(C F_{1}+C P\right)-\left(B F_{2}+B P\right) \\ &=P F_{1}-P F_{2} \\ &=2 a \end{aligned} \\由双曲线定义知，点 A 在双曲线右支上，同时点 A 也在实轴上，因此 A 为双曲线右支顶点，同时可得到此时圆心 O_1 横坐标为 a ；点 P 位于双曲线左支的证明类似。3 例题例1(2020年新课标III卷理数第11题)设双曲线 C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
(a>0, b>0) 的左右焦点分别为 F_1 ， F_2 ，离心率为 \sqrt{5} 。 P 是 C 上一点，且 F_{1} P \perp F_{2} P ，若 \Delta P F_{1} F_{2} 的面积为 4 ，则 a = ( )。\begin{array}{ll} A & 1 && B & 2 && C & 4 && D & 8 \end{array} \\解：如下图所示， \theta = 90 ^{\circ} 。由性质(1)知 \Delta P F_{1} F_{2} 的面积为S_{\Delta P F_{1} F_{2}}=b^{2} \cot \frac{\theta}{2}=b^{2}=4 \\而由题知离心率为 \sqrt{5} ，即e=\frac{c}{a}=\sqrt{5} \\再根据等式 a^2 + b^2 = c^2 解得a = 1 \\因此本题选 A 。例2 (自行改编的一道题目)已知 F_2 为双曲线 C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
(a>0, b>0) 的右焦点，过原点的直线 l 与双曲线交于 M ， N 两点，且 M F_{2} \perp N F_{2} ， \Delta M N F_{2} 的面积为 ab ，则该双曲线的离心率为( )。解：如下图所示，其中， \angle M F_{2} N=90^{\circ} 。显然， MO = NO ，而 \Delta M F_{2} N 为直角三角形，于是O F_{2}=\frac{1}{2} M N=M O=N O \\又因为 OF_1 = OF_2 ，即四边形对角线相等且互相平分，于是四边形 M F_{2} N F_{1} 为矩形。那么 \theta = 90^{\circ} 。因此S_{\Delta M N F_{2}}=b^{2} \cot \frac{\theta}{2}=b^{2}=S_{\Delta M N F_{2}}=a b \\即 a = b ，那么该双曲线的离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\sqrt{2} \\4 总结本文的重点在于这些性质的推导过程，且只对部分性质的相关例题进行了解答。综合上面有关双曲线焦点三角形的常用结论的推导及例题发现，双曲线的焦点三角形具有很多简洁的性质，读者可在熟练推导过后将其记住，这样在解决选填题时便可节省大量时间；同时对推导过程的熟练运用也将在解答题中提供必要的思路。}

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展开全部双曲线的abc分别指：a表示双曲线右支的顶点位置，c表示焦点位置，b表示虚轴的一半。a^2+b^2=c^2，渐近线与x轴还有过双曲线与x轴交点并垂直于x轴的直线组成的一个直角三角形的条边分别对应a、b、c。双曲线的其他概念：1、A（-a，0），A'（a，0）。同时AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。2、B（0，-b），B'（0，b）。同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。3、F1（-c，0）或（0，-c），F2（c，0）或（0，c）。F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c。4、离心率，第一定义：e=c/a且e∈（1，+∞）。已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
收起单从作为一套科学的工具和行之有效的方法论方面，六西格玛可以这样来理解，六西格玛是一个高度有效的企业流程设计、改善和优化的技术，并提供了一系列同等地适用于设计、生产和服务的新产品开发工具。六西格玛方法体系分为DMAIC和DFSS两种。DMAI...
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