偏微分方程(PDE)是一个至少包含两个独立变量的微分方程。另外，方程中的导数是偏导数，因此得名。偏微分方程是如何形成的偏微分方程在其他领域所扮演的角色获取偏微分方程的过程1. 特征线法的介绍（Method of Characteristics）在本章中我们将学习如何求解一阶线性方程，我们采用的主要方法被称为特征线法。为了说明这种方法，让我们考虑以下方程: a( x, y, u) u_x + b( x, y, u) u_y = c( x, y, u) \tag{1} 我们要找到一种方法使这个方程可以用微分方程解出来。假设 u=u(x, y) 是定义在 \mathbb{R}^2 上的光滑函数，而 γ= (x(t)， y(t)) 是该平面上的给定曲线，则 u(γ)=u(x (t)， y(t)) 为 u 在 γ 上的值。然后,我们有 \frac{du}{dt}(t)=u_x(\gamma)\frac{dx}{dt}+u_y(\gamma)\frac{dy}{dt}\tag{2} 回到(1)，如果我们令 γ= (x(t)， y(t)) 为方程组(3)的解 \frac{dx}{dt}=a(x,y,u), \frac{dy}{dt}=b(x,y,u)\tag{3} 那么这个方程则转化为微分方程 \frac{du}{dt}=c(x,y,u), \tag{4} 2. 解线性一阶方程方法: 找到特征系统 \frac{dx}{dt}=a(x,y,u), \frac{dy}{dt}=b(x,y,u),\frac{du}{dt}=c(x,y,u)\tag{5} 此时，我们需要求解这3个微分方程，并创建关于 x,y,u 的两个函数，使它们的值为常数。例 1： u_x+2u_y=0\\ 考虑特征系统: \frac{dx}{dt}=1 \ (1)\qquad \frac{dy}{dt}=2 \ (2)\qquad
\frac{du}{dt}=0 \ (3) \\ 对于（1） 和（2），我们有 x(t) = t + c_1, y(t) = 2t + c_2\\那么，我们得到 2x-y=c\quad (4)\\对于（3），我们有 u=c'\quad (5) \\ 因此，将（4）与（5）结合，我们得到（对于任意函数 h ）u=h(2x-y)
\\ 注：对于任意函数 h ，我们可以写成 c ' =h(c) 。注：在大多数情况下，以 x 或 y 为自变量，将系统（3）简化为一个方程更为方便。若以（1）中的 x 为自变量，则特征系统读取 \frac{dy}{dx}=\frac{b(x,y,u)}{a(x,y,u)} \\注：实际上，这个方法只是寻找 x,y,u 之间的关系。因此，我们可以把特征系统改写成这样 \frac{dx}{a(x,y,u)}=\frac{dy}{b(x,y,u)}=\frac{du}{c(x,y,u)}\\ 此时，我们得到微分方程系统: \frac{dx}{dy}=\frac{a(x,y,u)}{b(x,y,u)} \qquad \frac{dy}{du}=\frac{b(x,y,u)}{c(x,y,u)} \qquad \frac{du}{dx}= \frac{c(x,y,u)}{a(x,y,u)} \\ 例2：yu_y-xu_x=1 \\ 特征方程为 \frac{dx}{-x}=\frac{dy}{y}=\frac{du}{1} \\ 对于 \frac{dx}{-x}=\frac{dy}{y} \\ 我们有 -\ln x=\ln y+C\\ 那么，我们得到 \frac{1}{x}=Cy\\ 也就是 xy=C\\ 相似的，对于 \frac{dx}{-x} = \frac{du}{1} \\ 我们有 -\ln x+C=u\\ 因此 u = -\ln x+f(xy)\\ 注：一般来说，我们应该找到 x 和 y 之间的关系，以及 x , y 和 u 之间的关系。例3（柯西问题）： xu_x + y u_y = 2 x y, \ with \ u = 2 \ on \ y = x^2 \\ 特征方程为 \frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}=\frac{du}{2xy}\\ 对于 \frac{dx}{x}=\frac{dy}{y} \\ 我们有（与例2相似） \frac{y}{x}=C \\ 对于 \frac{dx}{x}=\frac{du}{2xy}=\frac{dy}{y}\\ 我们有 du=2ydx=2xdy\\ 因此 du=ydx+xdy=d(xy)\\ 我们得到 u-xy=C\\ 因此 u=xy+f(\frac{y}{x})\\ 接下来，我们利用所给的条件 u=2, y=x^2\\ 我们得到 x^3+f(x)=2\\ 也就是 f(x)=2-x^3\\ 因此 u(x,y)=xy+2-(\frac{y}{x})^3\\ 例4： u_t+cu_x=-\lambda u, \ x,t > 0, \\ u(x,0)=0, x > 0, u(0,t)=g(t), t > 0\\ 特征方程为 \frac{dt}{1}=\frac{dx}{c}=\frac{du}{-\lambda u}\\ 对于 \frac{dt}{1}=\frac{dx}{c}\\ 我们有 x-ct=C\\ 对于 \frac{dt}{1}=\frac{du}{-\lambda u}\\ 我们有 u=Ce^{-\lambda t}\\ 因此 u=e^{-\lambda t} f(x-ct)\\ 问题：在这类问题中如何使用初始边界值?答案：有时候，画个图表会很有帮助。注：我们不能直接用初始边界值来得到结果，我们需要把 x 分成两个不同的区间。回到这个问题，如果 x > ct ，那么我们可以用条件 u(x,0)=0\\ 也就是 f(x)=0\\ 因此 u=0\\ 如果 0<x<ct ，那么我们可以用条件 u(0,t)=g(t)\\ 那么 u(0,t)=e^{-\lambda t} f(-ct)=g(t)\\ 也就是 f(x)=e^{-\lambda x/c} g(-x/c)\\ 我们得到 u=e^{-\lambda t} [e^{-\lambda (x-ct)/c}g(-(x-ct)/c)]\\ 因此 u=e^{-\lambda x/c} g(t-x/c)\\ }