量子力学
第一章
II.波函数及其统计诠释
不确定度关系
平面波与傅里叶变换的回顾
4◆只考虑空间(=b),一维情况下平面波为
y=Aexp(i kx)
◆将f(x)用exp(ikx)展开,有
f(
25F()"dk
f(re dx
√2兀
F(k)为f(x)的傅里叶变换
◆特别地,若F(k)=1/√2z,有
f(x=「
i k dk=d(x)
第2讲目录
自由粒子的波函数
◆二、一般粒子的波函数及其物理意义
◆三、波函数的统计诠释及其性质
◆四、动量分布概率
◆五、测不准关系(不确定度关系)
自由粒子的波函数(1)
自由粒子指的是不受外力作用,静止或匀速运动
的质点。因此,其能量E和动量p=pn都是常量
根据德布罗意波粒二象性的假设,自由粒子的频
率和波长分别为
=E/h,d =hp
(1.1-1)
又因为波矢为k=ke,其中k=2π/,因此,自由
粒子的k都为常量。由(11-1)得到
0=2rv=Ein. k=2t e=D/n(1.1-2)
方=h/27
自由粒子的波函数(2)
和都为常量的波应该是平面波,可
用以下函数描述
平= Explo(kF-Or)
将(12代入,得到
中=中=AP方(DF-B(11-3)
这就是自由粒子的波函数,它将粒
子的波动同其能量和动量联系了起来。
它是时间和空间的函数,即
中=出(x,y,x,t)
二、一般粒子的波函数及其物理意义(1)
◆当粒子受到外力的作用时,其能量和动量
不再是常量,也就无法用
中k=Aexp[(p·F-E)=Aexp[i(k-t
方
◆这样简单的函数来描述,但总可以用某个
波函数=(x,y,z,t)来描述这个粒子的特
性。问题是,该如何理解波函数所代表的
物理意义呢?
一般粒子的波函数及其物理意义(2)
历史上对粒子波动性的认识有两种误解
(1)波包说,认为粒子波就是粒子的某种实
际结构,即将粒子看成是三维空间中连续分
布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大
小,波包的速度即粒子的运动速度。粒子的
干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构
(2)群体说,认为体现粒子波动性的衍射行
为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的
结果。
般粒子的波函数及其物理意义(3)
1、波包
◆能量和动量的关系为,E=p2/2m
◆利用E=Mv=,p=M
◆得到=Mk2/(2m),
≠0
这说明随着时间的推移,粒子将无限增大。
显然物质波包的观点夸大了波动性的一面,
抹杀了粒子性的一面,与实际不符。
三、一般粒子的波函数及其物理意义(4
2、群体说
◆认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或
疏密分布而产生的行为。
然而,电子衍射实验表明,就衍射效果而
弱电子密度+长时间=强电子密度+短时间
由此表明,对实物粒子而言,波动性体现
在粒子在空间的位置是不确定的,它是以一
定的概率存在于空间的某个位置。
3、般粒子的波函数及其物理意义(5)
概率波(Born,1926)
◆粒子的波动性可以用波函数来表示
v=y(r,,y(r,y,le s(x, 3,2
其中,振幅lv(x,y,x)表示波动在空间一
点(xy,x)上的强弱。所以,|v(x,y,3)
应该表示粒子出现在点(x,y,z附件的概率
大小的一个量。从这个意义出发,可将粒
子的波函数称为概率波。}