下文中所有 a、b、c 都是常数.解这个问题最重要的就是二项式定理了，先列出来：二项式定理： {(a+b)}^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{C_{k}^{n}x^{n-k}y^{k}}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{n!}{k!(n-k)!}x^{n-k}y^{k}} 废话不多说，直接入题：我们观察到 f(x)=x^{n} 在区间 [0,p] 的积分 \displaystyle\int_{0}^{p}x^{n}=\frac{p^{n+1}}{n+1} ,所以我们可以考虑用" \triangle^{n+1} "的形式求得 \displaystyle\sum_{k=1}^{a}{k^{n}} .但是" \triangle^{n+1} "有个 1 ，算起来麻烦，所以我们把这个 1 "换掉"，即用" \triangle^{n} "的形式求得 \displaystyle\sum_{k=1}^{a}{k^{n-1}}为了方便表达，我们使用 \displaystyle{S(n,a)代表\sum_{k=1}^{a}{k^{n}}} 由二项式定理得到： {(a+1)}^{n+1}-{a}^{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}a^{k}} 可是我们要求 S(n,a) ，也就是 1^{n}+2^{n}+.......+a^{n} ，但现在我们只有 \displaystyle\frac{(n+1)!}{n!}a^{n}+......=(n+1)a^{n}+...... ,怎么办？找规律，可以发现 b^{n+1}-(b-1)^{n+1}=(n+1)(b-1)^n+...... 那么 {(a+1)}^{n+1}+a^{n+1}-a^{n+1}+{(a-1)}^{n+1}-......-1\\=(n+1)S(n,a)+...... 也就是 {(a+1)}^{n+1}-1=(n+1)S(n,a)+...... 换而言之，只要将那个省略号所代表的多项式剔除掉，就可以轻易的到 S(n,a) 的表达式。将求 (n+1)S(n,a) 的步骤运用到求 S(n-1,a)、S(n-2,a)......、S(1,a) 上，可以发现: \displaystyle{(a+1)}^{n+1}-1=(n+1)S(n,a)+\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{(n+1)!}{k!(n-k-1)!}}S(k,a) 移项，得到最终结果： \displaystyle{S(n,a)=\frac{1}{n+1}\left( {(a+1)}^{n+1}-1-\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{(n+1)!}{k!(n-k-1)!}S(k,a)} \right)} 写累了，就这样吧}