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. All Rights Reserved游戏中的基本数学概念-矢量与点(转载) - macken - ITeye技术网站
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我们所感知到的世界是一个几何的世界, 物理的世界. 从感观上我们很容易描述这个世界, 但是计算机不能接受这种描述方式. 计算机需要的是更加抽象的表达方式. 长期以来, 数学家发展出了用数学概念来抽象出现实世界的方式. 计算机接受的就是这种数学的方式. 这篇文章是 "游戏中的基本数学概念" 的第一篇, 它要介绍的是构成我们三维游戏世界的基本元素--矢量与点.
在游戏中, 矢量 (Vector& 和点 (Point) 是构成我们三维世界的基本元素. 其它元素, 从简单的线 (Line), 面 (Plane), 到复杂的视觉平截体 (View Frustm) 都是由矢量和点组合而成的. 要正确有效地编程, 理解相关的知识非常重要.
在游戏中矢量经常应用在两个方面. 第一个是用来表示方向. 例如表示三角形的法线 (Normal) 方向. 另一个例子是用矢量表示游戏中摄像机 (Camera) 面对的方向. 矢量的第二个用处是用来描述变化. 在游戏中我们常常利用速度来计算物体位置的变化, 这个速度其实就是一种矢量.
图一所示就是一个矢量. 矢量有大小和方向. 矢量的大小很好理解, 它就是矢量的长度. 对三维空间矢量v = & x, y, z &而言:
矢量的方向也很好理解, 但它在程序中的描述要复杂一些. 矢量的方向可由矢量v本身描述, 但通常我们都用单位矢量来描述方向, 即
v = v / ||v||
没有线性代数基础的读者可能会不能理解上面的描述. 我将从几何角度作进一步的分析. 从几何上来说, 矢量的箭头指向就是它的方向. 这虽然容易理解, 但是在程序中我们难以表达和保存这种概念. 我们需要更抽象的数学表达方法. 前面我们说了矢量本身就能描述方向. 那么矢量保存的 & x, y, z & 怎样和箭头的指向建立联系呢? 这时候矢量的点积 (Dot Product) 就派上了用场.
u * v = ||u|| ||v|| cosá
考虑u和v是两个用单位矢量表示的方向, 就有
||u|| = ||v|| = 1.0.
u * v = cosá -------- (1)
所以两个单位矢量的点积就描述了这两个矢量之间的夹角. 在三维游戏中, 我们经常定义三个标准方向i: &1, 0, 0&, j: &0, 1, 0&, k: &0, 0, 1&. 然后任意矢量的方向都能用它与这三个标准方向的点积来表示. 例如对矢量u = & ux, uy, uz & 而言, 由公式(1)我们可以得到:
cosá = u * i = ux * 1 + uy * 0 + uz * 0 = ux
从以上推导可知, ux反映的是矢量u与标准矢量i的夹角. 同理, 我们可以得出uy和uz反映的是矢量u分别与标准矢量j与k的夹角. 这样一来, 我们得出了结论, 矢量的方向是相对于标准矢量的. 在我们确定一组标准矢量后 (对三维空间来说, 一组意味着三个标准矢量) , 任意矢量的方向都能用它与这三个标准矢量的夹角来表示.
点是构成三维游戏世界的另外一个要素. 它比矢量更容易理解. 点在游戏中被用来标识位置. 三维模型由许多的三角形组成. 每个三角形由三个点来标识三角形三个顶点的位置 (具体见). 物体在空间中的位置也要由点来标识.
与矢量相似, 空间任意一点的位置也是相对的. 它们的位置都是相对于空间中某一参照点的位置. 这个参照点就叫做原点 (Origin). 原点的选择与标准方向一样也是可变的. 一个原点与一组标准方向一起决定了一个坐标系, 如图二 (在游戏中通常用到的都是这种坐标系, 称为笛卡尔坐标系). 坐标系确定以后, 空间中的任意一点都能用该坐标系的原点和标准方向唯一决定, 表达的方式是一组实数 & x, y, z &. 它和空间中的点一一对应. 矢量的确定不需要原点的概念, 空间中的任意矢量通过一组标准方向就能唯一决定. 表达的方式也是一组实数 & x, y, z &.
在游戏中点与矢量通常都有相同的表示方式 ( & x, y, z & ), 但它们是完全不同的两个概念. 对它们的操作也不尽相同. 认识到这一点对正确的编程和使用标准的库函数都非常重要. 例如: 对两点来说, 它们之间有距离的概念, 但对矢量而言, 距离毫无意义. 同样, 对点来说, 很难想象夹角有什么意义, 但对矢量而言, 这是它的基本意义. 这些都是不难理解的. 下面给出点和矢量之间的合法运算.
1) 如果我们有两点P, Q, 那么
代表了一个矢量. 它的大小是P, Q两点之间的距离, 方向则是从Q点指向P的方向.
2) 如果我们有一点P和一个矢量u, 那么
标识了一个点Q. Q点在空间的位置是P点沿着u矢量的方向移动||u||单位 (u矢量的长度) 得到的位置.
需要指出的是: 在一个游戏中常常会应用到多个标准方向和原点. 不同的标准方向和原点的选择对应了不同的坐标系. 这样就涉及到不同坐标系之间的变换. 这是掌握三维游戏编程的又一个重点
浏览: 93135 次
来自: 北京
我也是用ultroiso做的mini启用盘，然后再把iso拷到 ...
蛮不错的。
HTTPClient完胜？
chenweinjupt 写道你好，请问一下跨域后cookie ...游戏编程数学和物理基础（含盘）/（美）斯达乐 著，徐明亮 等
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基本信息:书名:游戏编程数学和物理基础（含盘）作者:（美）斯达乐 著，徐明亮 等译出版社:机械工业出版社出版时间:印刷时间:印次:1纸张:胶版纸页数:305ISBN:2开本:16开包装:平装字数: 内容简介:本书介绍了成功开发一款游戏所必需的数学物理概念、定律和公式等。主要内容包括三角几何知识、向量和矩阵运算、变换、碰撞和能量，以及1d/2d/3d空间内的运动等专题，循循善诱地教导读者如何利用数学与物理知识提升自身游戏开发水平。本书适合于所有对游戏开发与编程感兴趣的读者，如果你想踏入游戏行业，或者想对代数、几何和三角函数知识有所了解的话，本书非常适合您！作者简介: 目录:译者序前言第1章点和直线1.1点的定义1.2线的定义1.3线的属性1.4在相交检测中的应用本章总结能力测试第2章相关几何知识2.1两点间的距离2.2抛物线2.3圆和球2.4在碰撞检测中的应用2.5碰撞检测的视觉体验编辑推荐：本书是“游戏开发技术系列丛书”之一，全书分14个章节，对成功开发一款游戏所必需的数学物理概念、定律和公式等内容作了介绍，主要包括三角几何知识、向量和矩阵运算、变换、碰撞和能量等。该书可供各大专院校作为教材使用，也可供从事相关工作的人员作为参考用书使用。掌握开发游戏所必需的数学和物理知识：　　如果你想踏入游戏行业，或者想对代数、几何和三角函数等知识有所了解的话，本书非常适合您！本书向读者介绍了成功开发一款游戏所必需的数学物理概念、定律和公式等。本书讨论了三角几何知识，向量和矩阵运算，变换，碰撞和能量，以及1d／2d／3d空间内的运动等内容，循循善诱地指导读者如何利用数学与物理知识达到提升自身游戏开发水平的目的。　　本书包括以下内容：　　进入3d实时游戏编程高级领域的必备知识。　　以简易的形式提供开发3d游戏所必需掌握的重要公式。　　书中程序都采用c++语言编写，教导读者如何将相关概念在具体编程中实现。　　本书除包含读者应该掌握的基础知识之外，还包含一些有用的工具，引导读者在实际项目中运用所学到的知识：　　可视化体验：这些演示程序在交互性环境下，用图形直观地阐述每章中的重要概念。　　自我测试：在进一步学习下一章之前，对您所学的知识进行检验。　　练习与程序设计：通过这些训练，提升在实践中运用所学知识的能力。　　问题讨论：这些问题会对每章中的一些重要概念进行思维拓展。、　　光盘资源：在光盘上可以找到“可视化体验”中用到的程序，使您能够直接感受到所涉及的每个概念。　　在线网站（/gamedesdev）包含以下内容：　　一些测试题目和项目，可帮助您巩固本书所学内容。　　一些有用的链接，能够帮助您在游戏开发领域内进一步发展。
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