在公务员考试的数量关系模块中考生经常会遇到余数相关的问题，很多考生对此类题目感觉无从下手其实余数问题是整除特性的一个具体应用。

　　一、余数关系式囷恒等式的应用 　　余数的关系式和恒等式比较简单但余数的范围(0≤余数＜除数)需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口

　　余数基本关系式：被除数与除数扩大余数÷除数=商…余数(0≤余数＜除数)

　　余数基本恒等式：被除数与除数扩大余数=除数×商＋余数

　　【例1】两个整数相除，商是5余数是11，被除数与除数扩大余数、除数、商及余数的和是99求被除数与除数扩大余数是多少？(    )

【解析】余数是11因此，根据余数的范围(0≤余数＜除数)我们能够确定除数＞11。除数为整数所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数与除數扩大余数=除数×商＋余数≥12×商＋余数=12×5＋11=71因此被除数与除数扩大余数最小为71，选D

 另解，结合我们的整除思想将关系式被除数与除数扩大余数÷除数=商…余数进行转化，被除数与除数扩大余数-余数=除数×商，又知除数为整数，所以（被除数与除数扩大余数-余数）应該是5的整数倍可以被5整除，结合选项排除A、C选项代入B、D选项，就可以选出正确选项

　　【例2】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超過400并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6A除以D商是7余7。那么这四个自然数的和是？

　　【解析】利用余数基本恒等式：被除数与除数扩大余數=除数×商＋余数，有A=B×5+5= (B+1)×5由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除同理，A还可以被6、7整除因此，A可以表示为5、6、7的公倍数即210n。由于A、B、C、D的和不超过400所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29得到A+B+C+D=314，选C

　　二、同余问题 　　这类问题在考试中比较常见，主要是从被除数與除数扩大余数与余数的关系入手来求得最终答案。

　　【例3】一个数除以4余1除以5余1，除以6余1请问这个数如何表示？

　　【解析】設这个数为A则A除以4余1，除以5余1除以6余1，那么A－1就可以被4、5、6整除4、5、6的最小公倍数为60，所以A－1就可以表示为60n因此，A=60n+1

结论：如果整数M分别除以a,b,c，得到的余数均为n那么M=a×b×c+n

三、差同问题 【例4】一个数除以4余1，除以5余2除以6余3，请问这个数如何表示

结论：如果一个被除数与除数扩大余数的除数不同，除数与余数的差相等那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数减去除数与余数的差。