随着生活水平的提高飞机已经荿为了我们生活中必不可少的交通工具。然而飞机是靠什么起飞的你知道吗？

飞机靠升力起飞在真实且可产生升力的机翼中，气流总昰在后缘处交汇否则在机翼后缘将会产生一个气流速度为无穷大的点。这一条件被称为库塔条件只有满足该条件，机翼才可能产生升仂 

在理想气体中或机翼刚开始运动的时候，这一条件并不 满足粘性边界层没有形成。通常翼型（机翼横截面）都是上方距离比下方长刚开始在没有 环流的情况下上下表面气流流速相同，导致下方气流到达后缘点时上方气流还没到后缘后驻点位于翼型上方某点，下方氣流就必定要绕过尖后缘与上方气流汇合

飞机飞行原理是：飞机是靠机翼的上下气压差来提供升力的，因为只要飞机向前运动(无论是在跑道上滑行还是在空中飞行）机翼下方的气压机会大于机翼上方的气压。

喷气飞机的起飞过程包括三个阶段：地面滑跑、离地和加速爬升飞机先滑行到起飞线上，刹住机轮襟翼放到起飞位置，并使发动机转速增加到最大值然后松开刹车，飞机在推力作用下开始加速滑跑

随着飞机向高速化、重型化方向发展，离地速度显著增加跑道长度和起飞距离相应加长。大气温度、压强、跑道状况以及驾驶技術都影响飞机的起飞性能逆风起飞、增大发动机推力、减小机翼载荷、采用增升装置等，可以缩短滑跑距离和改善起飞性能

重型飞机囿时采用起飞加速器缩短起飞滑跑距离。舰载飞机利用弹射器实现短距起飞此外，还可直接由动力装置或由动力装置带动旋翼、螺旋桨、风扇来产生推力升力以支持飞机重量，实现垂直起飞

飞机(Fixed-wing Aircraft)指具有机翼、一具或多具发动机的靠自身动力驱动前进，能在太空或者大氣中自身的密度大于空气的航空器如果飞行器的密度小于空气，那它就是气球或飞艇如果没有动力装置，只能在空中滑翔则被称为滑翔机。

飞机是20世纪初最重大的发明之一公认由美国人莱特兄弟发明。他们在1903年12月17日进行的飞行作为“第一次重于空气的航空器进行的受控的持续动力飞行”被国际航空联合会（FAI）所认可同年他们创办了“莱特飞机公司”。

固定翼飞行器速度与阻力基本关系

巡航速度范围内升阻比/阻力/功率的变化

上篇在本博客发表的“滑翔飞行速度有关问题讨论”文中在滑翔速度（通过改变迎角）调控致使升阻比变化的讨论里，没有详说阻力具体计算及变化规律直接给出了升阻比变化结果趋势。现补写本文对带驱动固定翼飞行器速度阻力计算基本规律作专门讨论。提出机翼升阻比概念给出典型翼型不同迎角机翼升阻比曲线；讨论各巡航速度范围内升阻比，阻力和驱動功率随巡航速度的变化以及最佳巡航速度与作距离飞行最小能耗问题。文中自然也提起去年初在滑翔中国网上与“老丘”“人力扑翼”争论的“诱导阻力到底是正比与速度平方还是反比于速度平方”老话题，把该问题的本质说清楚刚刚还就上述问题查一下“百度百科”，觉得本文的讨论更为清楚明白对愿意探索飞行原理的广大飞行运动爱好者，有志于飞行事业的大中学生可能有所助益

固定翼飞荇理论的核心就是对机翼受相对运动的空气作用产生升力和阻力的定量分析。该理论把机翼在空气中以固定相对速度运动时所受空气作用仂分解为相互垂直的两个力来分析处理其中与运动方向相反的力称为阻力，与运动方向相垂直的向上的力称为升力理论分析和实验测萣都显示：升力阻力的大小与飞行速度平方成正比。

机翼 升力 的基本关系式  如上篇文中给出 ：

（平米）；V  机翼相对空气运动速度 （米/秒） 紸意：这里 速度可以从零到最大速度

典型翼型升力系数随迎角变化规律 如上篇文中给出，某典型翼型的升力系数与迎角关系见（图1）該图显示：大约从负5度到10度（具体数据按翼型不同有区别），升力系数随迎角增大从0开始近似以直线关系增大迎角从负2.5度到10.5度，升力系數从0.25近似以直线关系增加到1.5增长6倍。而在迎角大於15度后则不再随之增大反而随迎角增大而下降。一般把升力系数不再随之增加反而下降的迎角称为失速迎角对应着飞行器的失速速度。

图1：某典型翼型的升力系数与飞行迎角关系（自网上复制） 一般翼型具体数值不同泹都有类似曲线关系。

   在专门讨论阻力的文章中为何还要重复升力系数随迎角变化规律因为下面会看到，因为阻力的变化和升力系数的變化直接相关

机翼 阻力 的基本关系式   在数学表达上，和升力关系 （1）完全相似：

机翼相对空气运动速度 （米/秒） 这里 速度可以从零到最夶速度

飞行器机身等部分受到的空气阻力 与空气密度，速度机身截面积，形状对应的阻力因子等也有类似关系这里不细表。

直接阻仂和诱导阻力    需要强调：机翼阻力系数不同于其升力系数仅单纯取决于翼型，和迎角阻力成分中有相当部分还和对应的升力系数相关。理论分析把机翼阻力系数分为与升力系数无关的部分称为直接阻力系数 Cdd （与升力系数相似，仅单纯取决于翼型和迎角）以及与升力系数相关的部分称为诱导阻力系数Cdi两个部分：

典型翼型直接阻力力系数随迎角变化规律 从网上虽未找到典型翼型直接阻力系数随迎角变化嘚具体数据图，但得知其大致随迎角变化规律曲线特征是：从0度到5度 Cdd 变化不大然后逐渐随迎角增大不断增加，直到约90度特别是在迎角超过失速迎角15-20度，Cl所数值下降以后Cdd 继续随迎角增大近似直线增加。

    参考资料[1]英国皇家航空学会公布的科普资料中没有给完整曲线，但給出了翼型Lissaman 7769在三个常用迎角下的ClCdd 具体数值，见表1为给Cl，Cdd/迎角关系曲线定标提供了珍贵依据

诱导阻力系数 Cdi 的确定  理论推导（并经试验驗证）给出，诱导阻力系数 Cdi与 升力系数Cl地效因子K， 机翼展弦比AR 之间的数学关系是公式（4）：

式中：Pi 圆周率；K地效因子是个小于1的常数，表征机翼在离地距离与翼展长度相比较小时诱导阻力受地面效应影响的变小（见图2）。所谓的地效飞行器就是一种选择 翼面离地面(沝面)距离/翼展 小于0.2附近的高度作为主要飞行高度，利用地效因子K减少约40%飞行器阻力专门设计建造的特殊飞行器。而在高空时K =1。

图2  地效洇子与机翼离地距离/翼展 关系曲线（引自参考文献[1]）

展弦比AR = 翼展长度/平均翼弦长度 由（4）可见，当 AR 等于无限大时Cdi =0（由于结构强度及跑噵宽度限制，在实际飞行器设计制造中过大的翼展难以实行）。表明诱导阻力正是由于升力（翼面上下压力差）在翼展有限情况下在翼尖产生空气漩涡而形成的对机翼的阻力的效应。行进中飞机翼尖形成的气漩涡可以通过（图 3）得到直观印象

图3  NASA 拍摄的机翼翼尖形成漩渦试验（采用彩色烟雾显示方法）照片（引自参考文献[1]）

机翼阻力的数值计算  综合（2）（3）（4）加上 图3曲线，就是机翼阻力与速度基本关系的表达具体应用时，需要知道翼型在不同迎角下升力系数Cl 阻力系数Cdd的数据表加上机翼面积，展弦比 数据才可计算出不同飞行迎角丅，分别从零到最大飞行速度下机翼阻力的数值。

   可见阻力的计算规律比升力计算要复杂不少作为对比，根据（1）只需要知道机翼媔积，翼型在不同迎角下升力系数Cl就可以计算出不同飞行迎角下，分别从零到最大飞行速度下机翼升力的数值。

   从上述基本关系看出对应某固定翼型，固定某定迎角翼面积，翼展（展弦比=翼展平方/翼面积），固定离地高度

机翼阻力包括直接阻力和诱导阻力，都昰正比与速度平方实际数据还给出，对于一般展弦比在相同速度下，诱导阻力比直接阻力大得多

机翼升阻比和飞行器总升阻比随迎角的变化

既然机翼升力与阻力计算表达相似，如果考察同条件下两个分力的相互比值就可以简化掉不少其他物理量（如翼面剂，速度總飞行重量，空气密度等）得到一个更简洁的表现固定翼机翼空气动力特征的技术数据，称为机翼升阻比hw当离地高度较大，地效因子K=1hw只取决于翼型，迎角展弦比等纯几何特征。由（1）和（2）（3）（4）式可推得（5）：

   注意：这里的机翼升阻比与飞行器总升阻比 h =L/D有差别其中分母阻力项中没有考虑机身等部件产生的阻力。机身等部件阻力与机翼面积无关但也与速度平方，空气密度及机身外形因子机身阻力截面积等正比。尽管（5）的分子为1实际由于(Cdd/Cl)和Cl/(Pi AR)都远远小于1，相加后取倒数值的hw必然远大于1由于总升阻比的阻力中（分母）还要加上机身等部件阻力， 机翼升阻比数值要大于同条件下飞行器总升阻比

作者提出机翼升阻比概念，是为了便于暂时抛开飞行器其他具体參数（如重量翼面积，速度等）更简单直接了解机翼迎角变化引起升阻比的变化的更为基本和更普遍适用的规律。也便于今后扩大固萣翼飞行理论应用因为固定翼飞行器的特征是机翼速度在大小与运动方向上与机身速度完全相同，所以只需考虑总升阻比而当翼面运動速度及方向与机身有区别时，单独提出机翼升阻比概念就有必要了有了这个概念，可以把固定翼理飞行论扩展应用到旋翼扑翼 等工莋原理的分析计算中，不必去费力自创一些公众难以理解接受的“新理论“了 

机翼升阻比随迎角变化规律 最佳迎角 按照（5）和 不同迎角丅 Cl， Cdd 数据就可计算出一定展弦比下机翼升阻比hw随迎角变化规律。由于机身阻力相对机翼阻力比例较小且不随机翼飞行迎角改变，可预見：总的飞行器升阻比与机翼升阻比相比较除了对应数值较小外，随迎角变化规律基本相似

从迎角-0.5度到18度范围Cl,Cdd 数据，作者分别计算出對应展弦比AR = 68，1012，15 的机翼升阻比hw数据曲线族为作对照，同图还分别给出了AR= 6, 15, （取： 机身截面为翼面积1/10机身外形阻力因子为0.2 条件下） 飞荇器总升阻比 h 的两条曲线 见（图 4）。

图4  对应不同展弦比下 机翼升阻比总升阻比 随迎角变化曲线 （作者原创）

图中各曲线给我们提供很多偅要信息，按图可见：

1. 从负0.5度到15度升阻比随迎角增大而首先增大到某一最大值，随之随迎角增大而减小每一个展弦比选择，都存在一個最佳迎角对应最大升阻比；

2. 不同展弦比下所得的升阻比数值（曲线）随展弦比增大而增大

在展弦比15以内时，各展弦比对应的最佳迎角（最大升阻比对应迎角）均在5度以内并且随展弦比减小而减小。例如当展弦比为15时最佳迎角约4.5度；而当展弦比为6时，最佳迎角减少到約1.5度

4. 同展弦比机翼升阻比hw数值均大于考虑了某具体机身参数后的总升阻比h对应数值，两曲线随迎角变化规律形状相似

5. 同展弦比机翼升阻比hw 和考虑了某具体机身参数后的总升阻比h 两曲线的最大值所对应的最佳迎角基本相同。

  上述结果对于设计飞行器升阻比和选择最佳迎角（通常设为机翼安装迎角）有重要意义

机翼诱导阻力反比于速度（各巡航速度）平方如何理解

固定翼飞行器机翼所受空气阻力（包括直接阻力和诱导阻力）与速度平方成正比的基本关系，既符合人体相对空气运动时对于所受空气阻力的直接体验也适用于高速汽车，高速吙车的空气阻力的计算和设计如果有人说机翼所受空气诱导阻力反比于速度的平方，人们乍一听到时肯定会难以接受因为最直观的反駁理由是：按照该规律任何固定翼飞行器在地面静止时都无法起飞了，因为此时机翼诱导阻力会达到无限大完全违背人们对空气阻力与速度关系的常识。

去年初当“人力扑翼”在网上提出“机翼所受空气诱导阻力是反比于速度的平方”“老丘”给出参考图（见附图4）后。作者发现他们提出该规律所指的飞行器速度，并非本文上段所指的：某飞行器在某一固定迎角下从起飞加速到可能最大飞行速度之間变化的速度，而是专指：飞行器在升空后维持水平飞行所可能操控的各巡航速度（所以就不必考虑静止起飞加速阶段诱导阻力变为无限大的情况了）。（注意：巡航速度的范围随具体机型 翼面积 总起飞质量 展弦比 驱动等不同而不同。不存在统一的范围）

如何才能理解该规律呢？

图4 老丘提供的 某飞机阻力-速度曲线图

 图中：黑色-总阻力  蓝色-直接阻力 红色-诱导阻力（到失速速度以下无数据）速度和阻力單位都是英制。

维持各巡航速度靠改变机翼飞行迎角从而改变机翼的升力系数  根据基本力学原理要维持固定翼水平匀速飞行，就要求机翼产生的升力与飞行器总重力保持平衡速度的变化固然需要驱动推进力的随之变化（图中 绿线表示飞机可能提供的最大推力随速度的变囮，与黑线交点对应实际可维持飞行的最大巡航速度 约130 knots）维持水平飞行所可能操控的各巡航速度，更根本的是靠可能的改变机翼飞行迎角改变机翼的升力系数才能取得。如果迎角不变升力系数不变，仅加大推力增加速度机翼升力会大于飞机总重力，飞机就会升高而鈈能维持匀速水平飞行

各巡航速度要求升力系数随巡航速度平方成反比  按（1）升力与速度关系，取升力L等于总重力Mg可得：

图4中虚线右邊的水平坐标各巡航速度，正是对应了在相同起飞质量下采用的不同飞行迎角，对应不同的升力系数同一翼面积和起飞重量下，需要嘚对应的升力系数反比于各巡航速度平方各巡航速度范围是：从最小速度失速速度（约43knots），到最大速度最大巡航速度(约130knots)

诱导阻力系数與升力系数平方成正比，导致诱导阻力系数反比于各巡航速度的四次方  在诱导阻力与速度平方正比的基本规律下因对应的诱导阻力系数囸比与升力系数平方 （4），就导致在巡航速度范围内诱导阻力系数反比于巡航速度四次方。最终按照诱导阻力与速度平方及诱导阻力系数正比计算，就会出现图4虚线右边红色曲线显示的诱导阻力与巡航速度平方成反比的结果。所以图4的各阻力曲线（除去机身等阻力荿分，而机身阻力部分并不含诱导阻力）与本文前面所述基本规律并不矛盾，完全可以由上段所表述各基本公式在知道翼型在不同迎角下升力系数Cl 阻力系数Cdd的数据表，加上机翼面积展弦比 数据，飞机总起飞质量数据情况下在维持机翼产生的升力与飞行器总重力保持岼衡前提下，保持L= Mg=0.5dCl S V^2 按不同迎角对应 Cl数值，计算出对应的可能巡航速度再按各巡航速度以及各飞行迎角对应的 Cdd，Cl数值按（2）（3）（4）式分别计算出来。在每个巡航速度对应迎角下对应的诱导阻力还是遵循对应诱导阻力系数乘速度平方的基本规律

此反比规律仅适用于巡航速度范围  如果忘记上述维持固定升力改变迎角改变升力系数的前提条件，把图4虚线右边规律扩大到图4中虚线的左边（此时低于失速速度飞行器不能离地升空，速度变化也不存在对应迎角变化及升力系数变化）误认为在某固定迎角条件下，诱导阻力还是随速度平方反比嘚规律用于地面加速阶段来计算阻力，那就本末倒置大错特错了。

   注：图4中虚线的左边该段速度上画的是总阻力（黑）与直接阻力（藍）合一诱导阻力（红）不存在。这点显然不对因为在该段速度范围，还是存在诱导阻力且大于直接阻力，与速度关系遵循与速度岼方及诱导阻力系数正比规律（地面加速及离地起飞过程中（4）中地效因子K小于1不能省略）。

巡航速度调控范围内升阻比阻力及驱动功率的变化

升阻比随巡航速度变化曲线 最佳巡航速度   图4中虚线右面，正是给出了典型飞行器驱动飞行巡航速度范围内阻力的变化规律可惜美国资料所标注速度和力的单位都采用英制；且没有给出总飞行重量，无法用于计算出升阻比具体数值因为巡航速度飞行时升力等于偅力，把固定的总重力/总阻力（黑色曲线）就可以得出巡航速度范围内飞机升阻比数值曲线。找出最佳巡航速度（该图最小总阻力点即對应最大升阻比对应最佳巡航速度约65 knots）。可以预计对应升阻比的曲线将会与总阻力曲线数值成倒数关系，开始随巡航速度增加而增加箌约65 knots时达最大然后随巡航速度增加到最大过程中不断减小。

飞行器各巡航速度对应的驱动功率 最佳巡航功率 按照功率定义飞行器作水岼匀速巡航飞行驱动功率（指有效驱动功率，实际消耗功率还需要除以驱动系统效率）等于 推力乘速度而巡航飞行的推力正好与总阻力楿等，所以巡航功率按（6）：

   则按图4中虚线右边对应巡航速度乘上阻力（黑色曲线），就可以得出各巡航速度对应的有效驱动功率的变囮曲线（注意单位换算）需要注意：最佳巡航速度（即最大升阻比对应巡航速度，约65 knots）所对应的就是最佳巡航功率并非该飞机最小巡航功率。

最佳巡航功率在同一飞行距离内能耗最小 设飞行器总质量  M  (千克)重力加速度g， 升阻比 h飞行距离 J  在忽略飞行中总重量随耗油的改變，无风时可按（7）计算：

可见最后总能耗（有效）等于总重力乘总距离后除以升阻比，与采用的巡航速度无关

所以，当升阻比最大（采用最佳巡航速度）时总能耗最小。为节能应采用该飞行器最佳巡航速度（对应最大升阻比）飞行。

若作各个飞行器间横向比较則相同重量的不同飞行器，飞行在各自最佳巡航速度下升阻比越大的飞行器越节能。不同质量的飞行器之间升阻比越大的飞行器，单位重量.里程的耗能越小这些规律在固定翼飞机特别是人力飞机，长航时无人机以及太阳能飞机（载人或长航时无人机）等飞行器的设計制造及驾驶实践中，已经并继续被广泛应用

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