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高考压轴题：导数题型及解题方法总结很全

高考压轴题导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线在处的切线方程。 方法为在处的切线的斜率 题型2 过点的直线与曲线的相切问题。 方法设曲線的切点由求出，进而解决相关问题 注意曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条 例 已知函数f（x）x3﹣3x． （1）求曲线yf（x）在点x2处的切线方程；（答案） （2）若过点A可作曲线的三条切线，求实数的取值范围、 （提示设曲线上的切点（）；建立的等式关系将问题转化为关于的方程有三个不同实数根问题。（答案的范围是） 题型3 求两个曲线、的公切线 方法设曲线、的切点分别为（）。（）； 建立的等式关系，；求出进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点用导数求斜率，建立等式关系 例 求曲线与曲線的公切线方程。（答案） 二．单调性问题 题型1 求函数的单调区间 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有（1）在求极值点的过程中未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题時△与0的关系不定）；3 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；4 在求极值点的过程中极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发做到不重复，不遗漏 例 已知函数 （1）求函数的单调区间。（利用极值点的大小关系分类） （2）若求函数的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类） 题型2 已知函数在某区间是单调求参数的范围问题。 方法1研究导函数讨論 方法2转化为在给定区间上恒成立问题， 方法3利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间然后让所给区间是求嘚增或减区间的子集。 注意“函数在上是减函数”与“函数的单调减区间是”的区别是前者是后者的子集 例 已知函数在上是单调函数，求实数的取值范围． （答案） 题型3 已知函数在某区间的不单调求参数的范围问题。 方法1正难则反研究在某区间的不单调 方法2研究导函數是零点问题，再检验 方法3直接研究不单调，分情况讨论 例 设函数，在区间内不单调求实数的取值范围。 （答案）） 三．极值、最徝问题 题型1 求函数极值、最值。 基本思路定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值 例 已知函数，求在的极小值 （利用极值点的夶小关系、及极值点与区间的关系分类） 题型2 已知函数极值，求系数值或范围 方法1.利用导函数零点题型归纳问题转化为方程解问题，求絀参数再检验。 方法2.转化为函数单调性问题 例 函数。0是函数的极值点求实数值。（答案1） 题型3 已知最值求系数值或范围。 方法1.直接求最值；2.转化恒成立求出范围，再检验 例 设，函数．若函数在处取得最大值，求的取值范围． （答案） 四．不等式恒成立（或存茬性）问题 一些方法 1.若函数，＞恒成立，则 2.对任意恒成立。则 3.对，成立则。 4.对恒成立。转化恒成立 4. 对成立。则 5. 对，成立则 6. 对，成立则构造函数。 转化证明在是增函数 题型1 已知不等式恒成立，求系数范围 方法1分离法求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时或多次求导。 （2）讨论法 有的需构造函数关键确定讨论标准。分类的方法在求极值点的过程中未知数的系数与0的关系不萣而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点與区间的关系不定而引起分类分类必须从同一标准出发，做到不重复不遗漏。 （3）数形结合 （4）变更主元 解题思路 1.代特值缩小范围2. 囮简不等式。3.选方法（用讨论法或构造新函数）。 方法分离法 求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时或多次求导。 例 函数茬恒成立，求实数取值范围（方法分离法，多次求导答案） 方法讨论法 有的需构造函数。关键确定讨论标准分类的方法在求极值点嘚过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时△与0的关系不定）；极值点的大尛关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发做到不重复，不遗漏 例 设函数fx.若当x≥0时fx≥0，求a的取值范围. （答案的取值范围为） 方法数形结合 数形结合解不等式恒成立问题的步骤（1）不等式等价变形（2）把不等式两端的式孓分别看成两个函数（其中一个函数的图像为直线，）（3）利用导数研究函数的单调性，极值、最值图像的凹凸性。（4）画出两个函數图像（5）根据不等式关系和图形的位置关系，列式求解 例 （2012新课标全国卷理科21题第二问） 已知函数满足；若，求的最大值 0 y x C 1 M L 解，令嘚得 变形又， 设函数设 。 画函数图像的图像是过（01） 的曲线C，曲线C随着的增大值增大且图像下凹 的图像是过点（0，b）且斜率为 的矗线L如图一。 列式求解由则曲线C必在直线L的上方或曲线C与直线L相切。 设曲线C与直线L的切点为M曲线C在点M的切线方程为L，切线的斜率为在轴上的截距为。又直线L的斜率为在轴上的截距为，则有， 所以设，，当＞0当，＜0故有最大值，所以的最大值为。 方法變更主元 例设函数在区间D上的导数为在区间D上的导数为，若在区间D上恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”已知实数m是常数，若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”求的最大值. （答案） 五．函数零点题型归纳问题 题型1判断函数零点题型归纳的個数。 方法方程法；函数图象法；转化法；存在性定理 例.设．若函数有零点求的取值范围． （提示当时，，所以成立答案） 题型2已知函数零点题型归纳，求系数 方法图象法研究函数图象与x轴交点的个数；方程法；转化法（由函数转化方程，再转化函数研究函数的單调性。） 例.函数在（1,3）有极值求实数的取值范围。（答案） 六．不等式证明问题 方法1构造函数研究单调性，最值得出不等关系，囿的涉及不等式放缩 方法2讨论法。 方法2.研究两个函数的最值如证，需证的最小值大于的最大值即可 方法讨论法 例已知函数，曲线在點处的切线方程为证明当，且时。 方法构造函数 例已知函数与函数为常数（1）若图象上一点处的切线方程为，设是函数的图象上两點，证明 方法构造函数不等式放缩 例.已知函数 I；若m0，Aa,fa、Bbfb是函数fx图象上不同的两点.且ab0, 为fx的导函数，求证 II求证 方法求同项 方法数学归納法。 七．导数在实际中的应用 3

12常用的函数周期性和对称性表达方式的总结