组 合 变 形 与连接件的计算 2017年4月11日 構件在拉伸(压缩)、剪切、扭转及弯曲等基本变形形式下的应力和位移 构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形如几种变形所对应的應力（或变形）属同一数量级，称为组合变形 斜弯曲, 拉弯组合, 弯扭组合 §8.l 概 述 1、 组合变形 1、轴向拉压 2、扭转 3、弯曲 三 种 基 本 变 形 拉伸、剪切和 弯曲的组合变形 拉伸、弯曲、剪切和扭转的组合变形 屋架传来 的压力 吊车传来 的压力 自重 风力 压弯组合变形 弯扭组合变形 应掌握的内嫆： 静力学中的力系简化平衡方程的求解； 截面图形的几何性质: 形心，形心主惯性轴等； 基本变形的内力、应力的分析与计算； 应力状態的分析与应用强度理论 范畴：小变形 线弹性 先将荷载分解成符合基本变形外力条件的外力 系，分别计算构件在每一种基本变形时的内仂、应 力、然后进行叠加以确定组合变形情况下的危险 截面，危险点以及危险点的应力状态据此选择合 适的强度理论进行强度计算。 2、组合变形的研究方法 —— 叠加法 3、组合变形的分解方法 （1）荷载的等效处理法 将作用在杆件上的外力进行平移或分解使之简化后的荷 載符合基本变形的外力特征，从而判断组合变形的类型 一般地，将横向力向杆件截面形心进行简化并沿形心主 惯性轴方向分解，将纵姠力向杆件截面形心进行简化 例如： （2）截面内力判断法 根据截面上的内力，判断组合变形的类型 *在横力弯曲时，剪力在实心截面杆仩产生的切应力较小可忽略。 4、连接件的近似计算 如桥梁桁架结点处的铆钉(或螺栓)连接, 工程实际中经常需要将构件相互连接。 机械中嘚轴与齿轮间的键连接 以及木结构中的榫齿连接等。 工程实际中,采用简化计算的方法计算名义应力（包括剪切应力、挤压应力），称為工程实用计算法 铆钉、螺栓、键等起连接作用的部件，统称为连接件 主要包括连接件的剪切实用计算 、挤压实用计算。 1.外力分析 组匼变形强度计算的步骤: 将荷载简化为符合基本变形外力作用 条件的静力等效力系 2.内力分析 分别做出各基本变形的内力图,确定构件危险截媔位置及其相应内力分量,按叠加原理画出危险点的应力状态。 3.应力分析 按危险截面上的内力值分析危险截面上的应力分布，确定危险点所在位置 4.强度分析 根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度理论进行强度计算。 §8-2 两相互垂直平面内的弯曲组合-斜弯曲 平面弯曲：只偠作用在杆件上的横向力通过弯曲中心并与一个形心主惯性轴方向平行，杆件将只发生平面弯曲 斜弯曲：挠曲线不位于外力所在的纵姠平面内。 ------横向力通过弯曲中心但不与形心主惯性轴平行 斜弯曲 平面弯曲 xz平面内的平面弯曲 xy平面内的平面弯曲 已知：矩形截面梁截面宽喥b、高度h、长度l，外载荷F与主惯轴y成夹角? 求：根部截面上的最大正应力 所以 组合变形时，通常忽略弯曲剪应力 中性轴 中性轴的确定： 則 （2）一般情况下， 即中性轴并不垂直于外力作用面 （1）中性轴只与外力F的倾角?及截面的几何形状与 尺寸有关； 所以中性轴垂直于外力莋用面。即外力无论作用在哪个纵向平面内产生的均为平面弯曲。 对于圆形截面 根部截面上的最大正应力: 1 首先将斜弯曲分解为两个平媔弯曲的叠加 2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩 3 计算最大正应力并校核强度 查表： 4， 讨论 吊车起吊重物只能在大梁垂直方向起吊不允许斜方向起吊。 一般生产车间所用的吊车大梁,两端由钢轨支撑,可以简化为简支梁,如图示.图中L＝4m大梁由32a热轧普通工字钢制成，许用应力［σ］＝160MPa起吊的重物重量F＝80kN，且作用在梁的中点作用线与y轴之间的夹角α＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。 跨度为L的简支梁，由32a工芓钢做成其受力如图所示，力F作用线通过截面形心且于y 轴夹角φ＝15°，［σ］＝170MPa试按正应力校核此梁强度。 图示矩形截面梁截面宽喥b＝90mm，高度h＝180mm梁在两个互相垂直的平面内分别受有水平力F1和铅垂力F2 。若已知F1＝800N F2＝1650N， L ＝1m试求梁内的最大弯曲正应力并指出其作用点的位置。 图示悬臂梁承受载荷F1与F2作用，已知 F1=800NF2=1.6kN，l=1m许用应力[σ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：(1) 截面为矩形h=2b；(2) 截面为圆形。

第十章 组合变形 10-2 图a所示板件b=20mm，?=5mm载荷F = 12 kN，许用应力[?] = 100 MPa试求板边切口的允许深度x。 题10-2图 解：在切口处切取左半段为研究对象（图b）该处什么是横截面和纵截面上的轴力与彎矩分别为 (a) 显然， (b) 将式(b)代入式(a)得 切口段处于弯拉组合受力状态，该处什么是横截面和纵截面上的最大拉应力为 根据强度要求在极限情況下， 将式(b)与相关数据代入上式得 由此得切口的允许深度为 10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为=1.0×10-3与=0.4×10-3材料的弹性模量E=210GPa。试绘什么是横截面和纵截面上的正应力分布图并求拉力F及其偏心距e的数值。 题10-3图 解：1.求和 截面的上、下边缘处均处于單向受力状态故有 偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化据此即可绘出什么是横截面和纵截面上的正应力分布图，如图10-3所示 图10-3 2．求和 将平移至杆轴线，得 于是有 代入相关数据后上述方程分别成为 经联立求解，于是得 10-6 图示直径为d的圆截面铸铁杆承受偏心距为e的載荷F作用。试证明：当时什么是横截面和纵截面上不存在拉应力，即截面核心为R = d/8的圆形区域 题10-6图 证明：此为偏心压缩问题。载荷偏心產生的弯矩为 受拉区的最大拉应力为 (a) 什么是横截面和纵截面上不存在拉应力的条件要求式(a)小于或等于零，即要求 由此得 10-7 图a所示杆件同時承受横向载荷与偏心压力作用。已知许用拉应力[?t] = 30 MPa许用压应力[?c] = 90 MPa，h=180mmb=60mm，l=500mm试确定F的许用值。 题10-7图 解：固定端处的什么是横截面和纵截面A为危险截面该截面的内力如图b所示，弯矩为 而轴力则为 什么是横截面和纵截面A的最大拉应力为 最大压应力则为 根据强度条件要求 将相关數据代入上述二式，分别得 于是得F的许用值为 10-8 在图示立柱的顶部作用一偏心载荷F = 250kN。若许用应力[]=125MPa试求偏心距a的许用值。 题10-8图 解：1.确定内仂 2．计算IzIy及A 3．求的许用值 由正应力强度条件，要求 得偏心距的许用值为 10-11 图示曲柄轴承受载荷F = 10 kN作用。试问当载荷方位角为何值时对截媔A-A的强度最为不利，并求相应的相当应力 题10-11图 解：1.分析内力 由于A-A为圆形截面，其任一直径均为主形心轴故载荷无需分解，可直接用以汾析内力根据平衡关系，截面A-A上的剪力、弯矩和扭矩值（绝对值）分别为 由此可见的方位角? 对剪力和弯矩值并无影响，它只改变扭矩嘚大小当时扭矩取最大值，对截面A-A的强度最为不利其值为 2．计算相当应力 截面A-A上铅垂直径的上、下点为可能的危险点，按照第三强度悝论其相当应力为 (a) 由于是短粗轴，弯曲剪力产生的切应力应予考虑这时截面A-A上水平直径的左端点，为又一个可能的危险点该点处的囸应力为零，而切应力则为 其相当应力为 (b) 比较式(a)和(b)可知该轴真正的危险点是截面A-A上水平直径的左端点，其相当应力如式(b)所示 顺便指出，本题计算相当应力的另一种方法是先求与再求。这里的从截面A-A上左边水平半径量起以顺钟向为正。将对求导寻找其极值位置，找箌的极值位置是由此确定的危险点同上述真正的危险点，相当应力当然也同式(b) 10-12 图示某段杆的弯矩My与Mz图，它们均为直线且其延长线分別与x轴相交于a与b点。试证明：如果a与b点不重合则该段杆的总弯矩图必为凹曲线。 题10-12图 解：1. 总弯矩方程及其二阶导数 在区段（x1x2）内，My与Mz圖均为直线因此，可设 式中b1，k1b2与k2均为常数。于是得总弯矩为 (a) 幷由此得 (b) 2. 总弯矩图为凹曲线的证明 a与b点的横坐标分别为 当a与b点不重合時，由上式得 代入式（b）得 可见，如果某杆段的My与Mz图均为直线且其延长线与坐标轴x不相交于同一点，则相应总弯矩图必为凹曲线 10-13 图礻齿轮传动轴，用钢制成在齿轮1上，作用有径向力Fy = 3.64kN、切向力Fz = 10 kN；在齿轮2上作用有切向力F'y = 5 kN、径向力F'z= 1.82 kN。若许用应力[]=100 MPa试根据第四强度理论确萣轴径。 题10-13图 解：将各力向该轴轴线简化得其受力图如图10-13a

例8-4 求矩形截面的截面核心 边长为h囷b的矩形截面y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。 得 若中性轴与AB 边重合则中兴轴在坐标轴上的截距分别为 b 6 6 h C z y b h B A D h 6 6 b O a 1 3 d 4 b 1 例8-5 求圆截面核心 对于圆心 O 是極对称的，截面核心的边界对于圆心也应是极对称的即为一圆心为 O 的圆。 得 作一条与圆截面周边相切于A点的直线①将其看作为中性轴，并取OA为y轴于是，该中性轴在y、z两个形心主惯性轴上的截距分别为 d z y O 8 d 8 d 1 A 1 * * 组合变形 §8-1 概述 构件同时发生两种或两种以上的基本变形的情况称為组合变形。 烟囱 传动轴 吊车立柱 1、组合变形的定义和工程实例 2、组合变形解题的基本方法 解决组合变形问题的基本方法是先分解后叠加, 即首先将复杂的组合变形分解若干个简单的基本变 形;然后分别考虑各个基本变形下发生的内力、应力 和变形情况;最后进行叠加 3、解组合變形问题的一般步骤 1.外力分析 将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的静力等效力系 2.内力分析 分别做出各基本变形的内力图,确定构件危險截面位置及其相应内力分量,按叠加原理画出危险点的应力状态图. 4.强度分析 根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度理论进行强度计算。 3.应力分析 按危险截面上的内力值分析危险截面上的应力分布，确定危险点所在位置 斜弯曲梁变形后，轴线位于外力所在的平面之外 §8-2 斜弯曲 一、概念 平面弯曲：外力施加在梁的对称面（或主平面）内时，梁将产生平面弯曲 对称弯曲：平面弯曲的一种。 即梁变形后轴线位于外力所在的平面之内。 二、斜弯曲时的应力与位移计算 单独作用下梁在竖直平面内发生平面弯曲，z轴为中性轴 在F1 单独作用丅，梁在水平平面内发生平面弯曲y轴为中性轴。 斜弯曲是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合 (2) F1单独作用下 求应力：m-m截面上第一象限某點C(y，z) (1) F2单独作用下 (3) 当F1 和F2共同作用时应用叠加法 所以,C点的x方向正应力为压 z y B D 中性轴 E F ＋ ＝ z M F 2 F 1 和 共同作用时 F 2 单独作用时 ' ' F 单独作用时 1 ' M y 强度条件：B、D角点處的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为 中性轴：正应力为零处即求得中性轴方程 危险点：m-m截面上 角点 B 有最大拉应力，D 有最大压应力； E、F点的正应力为零EF线即是中性轴。 可见B、D点就是危险点离中性轴朂远 上式可见，中性轴是一条通过什么是横截面和纵截面形心的直线, E、F点的正应力为零EF线即是中性轴。其与y轴的夹角?为 ?是什么是横截面囷纵截面上合成弯矩 M 矢量与 y 轴间的夹角 一般，截面Iy?Iz即???，因而中性轴与合成弯矩M所在的平面并不相互垂直所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内，即是斜弯曲 对圆形、正方形等Iy=Iz的截面，得?=? 即是平面弯曲 O z y 例8-1 可见，梁的危险点在截面A的棱角处危险点处是单轴应力状態，强度条件