无穷级数的和 幂级数的和 一、函數项级数的和的概念 二、幂级数的和及其收敛性 三、幂级数的和的运算 * 考研辅导 * 高等数学（下） 河海大学理学院 1.定义: 2.收敛点与收敛域: 3.和函數: 解 由达朗贝尔判别法 原级数的和绝对收敛. 原级数的和发散. 收敛; 发散; 1.定义: 2.收敛性: P177 Ex1(8) P165 例2(1) 则若存在正数R, 当 | x | ＜ R 时, 幂级数的和绝对收敛. 当 | x | ＞ R 时, 幂级數的和发散.正数 R 称为幂级 数的收敛半径. 幂级数的和的收敛域为 幂级数的和的收敛区间为 3. 幂级数的和的收敛半径与收敛区间: 规定 4.幂级数的和嘚收敛半径求法 注: 该定理反之不成立 .即 : 幂级数的和的收敛半径为 R , 未必 例如 的收敛半径是 R ＝ 1 . 但 例2 求下列幂级数的和的收敛区间: 发散 收敛 故收斂区间为 (0,1]. 解 缺少偶次幂的项 级数的和收敛, 2.和函数的分析运算性质: (收敛半径不变, 但收敛域会变.) (收敛半径不变, 但收敛域会变.) 如求 的和函数。 解 兩次积分得 首先该级数的和的收敛域为 [－1 , 1 ] 例9 求 的和函数 . 解 令 x2 ＝ t , 即求 的和函数. 求导 , 得 所以 解 收敛区间(－1,1), 例11 的和 = P168(3)(4) 例12 (08考题) 设银行存款年利率为 r = 0.05, 並按年复利计算. 某基金会希望通过存款 A 万元实现第一年提取19万元, 第二年提取28万元,第 n 年提取(10+9n)万元, 并能按此规律一直提款下去, 问 A 至少应为多少萬元? 解 设 An 为用于第n年提取 (10+9n)万元的贴现钱 故 例13 设幂级数的和 , 当 时， 且 ; （1）求幂级数的和 的和函数 ； （2）求和函数 的极值 . 解（1）令 求得 * *

复变函数第 4 章复习总结教案组 别 苐 4 小组 组 长 王沛楚 讲 解 员 刘小翠 王沛楚 教 案 作 者 黄月梅 华利蓉 刘青华 李倩茹刘小翠 马丽 马雪燕 彭伊琳 郝春艳 曹阳 董文建 叶盈 曾佳2013 年 06 月时间 2013 姩 编号 4第 4 章 解析函数的幂级数的和表示 复习教案 教学课题：解析函数的幂级数的和表示的复习总结 教学目标：通过对整章知识的复习让哃学们对第四章有个整体的把握，掌握几种基本题 型的做法教学方法：讲授，解析典型习题教学重点：幂级数的和的性质泰勒定理及其基本展式，零点的分类及零点的阶最大模与最 小模原理。教学难点：利用幂级数的和的性质泰勒定理及其基本展式，零点的分类及零点的阶最大模 与最小模原理等具体知识来解决实际问题。教学过程： 一 把本章的基本内容回顾一遍4.1 复数列与复级数的和 P136——p 复数列与複级数的和（敛散性）4.1.2 复函述项级数的和的一致收敛与判别（定义与判别）4.1.3 复数项级数的和和函数的性质（连续性、逐项积分性、逐项微汾性）重点掌握：幂级数的和收敛半径 R 的计算幂级数的和的几个性质，加减性、乘积性、连续性逐项积分性、和函数的解析性与逐项微汾性定理：4.12 4.13 4.15 4.16例题 4.84.2 幂级数的和 p149——p 幂级数的和的敛散性（幂级数的和的定义、阿贝尔第一定理）4.2.2 幂级数的和收敛半径的计算 4.2.3 幂级数的和的幾个性质重点掌握：幂级数的和收敛半径 R 的计算 lim ,或 lim ，或 lim幂级数的和的几个性质加减性、乘积性、连续性逐项积分性、和函数的解析性与逐项微分性。｛｛定理：4.12 4.13 4.15 4.16例题 4.84.3 泰勒定理与解析函数的幂级数的和展开 p165——p 解析函数零点的孤立性4.4.2 解析函数的唯一性4.4.3 最大模与最小模原理4.4.4 施瓦兹引理重点掌握：零点的分类及零点的阶、解析函数的唯一性、最大模与最小模原理 定义：4.8 4.9 4.10定理：4.21 4.22 4.23 4.24引理：4.1例题 4.18——例题 4.20，例题 4.23——例題 4.27二 讲解四个习题1.p177—11 ｛｛一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一?z?? r一?z?? ?一 ,一 一 一 一 一f? z???n?0? an?zn,g? z???n?0? bn?zn一 一 0? r,? ? ?? ,┅ 一 f? z??一?z??? r一 一 一 ,一 一 一???z???? ?r一 ?n?0? an?bn?zn? 12??i??? ?rf? ? ?g??z????? ??一 一 :一 一 一?z?? ?r,一???? r一 ,一????z? ????? ?,一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一g??z?????n?0? bn??z???n一???? r一 一 一 一 一 ,一 一 一 一 一 一 ?f? ?? ?一?????????? r一 一 一 ,一 一 f? ? ?g??z????1? ??n?0? bn?f? ?? n?1 ?zn一???? r一 一 一 一 一 ,,一 一 一 一 一 一 一 一 一 ┅ 一 一 ? 12??i? ?? ?rf? ?? n?1 ?? ? ?fn? 0?n? ? an?一 一?n?0? an?bn?zn?12??i? ?? ?rf? ? ?g??z???? ? ??小结：幂级数的和内闭一致收敛性和绝对收敛性逐项积分性2.p180—21(2)指出下列函数在零点 z = 0 ，使得在 U (a)内 f (z) ≠ 0，注意到 f (z)g(z) ≡ 0 从而，在 U (a)内g (z) ≡ 0。由解析函数的惟一性在区域 D 內，g (z) ≡ 0小结：连续函数的局部不等性，解析函数的唯一性4.p181—31设 D 为有界区域其边界为光滑简单闭曲线 C，f (z)在区域 D 内解析在闭域D = D +C 上连续，其模 f (z) 在 C 上为常数．证明：若 f (z)不恒为常数则 f (z)在D 内至少有一个零点.（提示：用反证法及最大与最小模原理）证明（反证法）：倘若 f (z)在 D 内无零點，即 f (z) ≠ 0z ∈D ，由最大模和最小模原理 f (z) 在 D 内的最大值和最小值都可在 D 的边界 C 上取到